廣東省清遠(yuǎn)市2024-2025學(xué)年高二下學(xué)期期中聯(lián)合學(xué)業(yè)質(zhì)量監(jiān)測考試數(shù)學(xué)試題（解析）

第頁，共頁2024~2025學(xué)年度第二學(xué)期期中聯(lián)合學(xué)業(yè)質(zhì)量監(jiān)測考試高二數(shù)學(xué)注意事項(xiàng)：1．本試卷滿分150分，考試時間120分鐘.2．答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號等填寫在答題卡的相應(yīng)位置.3．全部答案在答題卡上完成，答在本試題卷上無效.4．回答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號.5．考試結(jié)束后，將本試題卷和答題卡一并交回.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.某物體沿直線運(yùn)動，位移（單位：）與時間（單位：）的關(guān)系為，則該物體在時的瞬時速度是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的物理意義直接求解即可.【詳解】，當(dāng)時，，即該物體在時的瞬時速度是.故選：D.2.從1，2，3，4，5中不放回地抽取2個數(shù)，則在第1次抽到偶數(shù)的條件下，第2次抽到奇數(shù)的概率是()A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】設(shè)事件為“第i次抽到偶數(shù)”，i＝1，2，則所求概率為【詳解】設(shè)事件為“第i次抽到偶數(shù)”，i＝1，2，則事件“在第1次抽到偶數(shù)的條件下，第2次抽到奇數(shù)”的概率為：.故選：D.3.某學(xué)校為了了解學(xué)生美育培養(yǎng)的情況，用分層隨機(jī)抽樣方法抽樣調(diào)查，擬從美術(shù)、音樂、舞蹈興趣小組中共抽取30名學(xué)生，已知該校美術(shù)、音樂、舞蹈興趣小組分別有20,30,50名學(xué)生，則不同的抽樣結(jié)果共有（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)分層抽樣的定義，分別求出每個興趣小組要抽取的學(xué)生人數(shù)，結(jié)合分步乘法計數(shù)原理計算即可.【詳解】由題意，美術(shù)組要抽取的學(xué)生數(shù)為，音樂組要抽取的學(xué)生數(shù)為，舞蹈組要抽取的學(xué)生數(shù)為，由分步乘法計數(shù)原理可知，不同的抽樣結(jié)果.故選:C.4.在的展開式中，只有第五項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，則展開式中的系數(shù)是（）A. B. C. D.7【答案】C【解析】【分析】由題意利用二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)，求得的值，再利用二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)公式，求得的系數(shù)．【詳解】在的展開式中，只有第5項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，它的展開式共計有9項(xiàng)，，故二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式為，令，求得，可得在的展開式中的系數(shù)為，故選：C．5.已知隨機(jī)變量的分布是，則等于（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用分布列求出，求出期望即可．【詳解】由題意可得，解得，．．故選：C．6.已知函數(shù)，則不等式的解集為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性與對稱性解函數(shù)不等式即可.【詳解】由函數(shù)，所以，則為偶函數(shù)，當(dāng)時，又因?yàn)?且恒成立，則，所以在時單增,綜上可得等價于,即或,解得故選:C7.現(xiàn)有四種不同的顏色要對如圖形中的五個部分進(jìn)行著色，其中任意有公共邊的兩塊著不同顏色的概率為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)題意，由分步計數(shù)原理計算“用四種不同得顏色要對如圖形中的五部分進(jìn)行著色”和“任意有公共邊的兩塊著不同顏色”的涂色方法，由古典概型公式計算可得答案.【詳解】根據(jù)題意，用四種不同的顏色要對如圖形中的五個部分進(jìn)行著色，每個部分都有4種涂色方法，則有種涂色方法；若其中任意有公共邊的兩塊著不同顏色，有兩種情況：①只用三種顏色涂這5個區(qū)域，則有種涂色方法；②用四種顏色涂這5個區(qū)域，則有種涂色方法，所以若其中任意有公共邊的兩塊著不同顏色，共有144種涂色方法，故四種不同的顏色要對如圖形中的五個部分進(jìn)行著色，其中任意有公共邊的兩塊著不同顏色的概率為.故選：C8.已知函數(shù)，，則下列說法正確的是（）A.當(dāng)時，有2個零點(diǎn)B.當(dāng)時，存在增區(qū)間C.若只有一個極值點(diǎn)，則或D.當(dāng)時，對任意實(shí)數(shù)t，總存在實(shí)數(shù)，，使得【答案】D【解析】【分析】對A，由題的零點(diǎn)個數(shù)轉(zhuǎn)化為方程根的個數(shù)，令，求導(dǎo)由單調(diào)性可判斷；對B，利用導(dǎo)數(shù)證明恒成立，即是減函數(shù)，得解；對C，結(jié)合選項(xiàng)B，可知，即在R上單調(diào)遞減，無極值，可判斷；對D，求導(dǎo)，判斷單調(diào)性，作出的圖象，觀察圖象可得.【詳解】對于A，當(dāng)時，，令，得，令，則，所以在R上單調(diào)遞增，所以至多有一個零點(diǎn)，即方程至多有一個根，故A錯誤；對于B，，令，得，設(shè)，則，當(dāng)時，，單調(diào)遞增，當(dāng)時，，單調(diào)遞減，所以，又當(dāng)時，，所以恒成立，即時，是減函數(shù)，故B錯誤；對于C，當(dāng)時，由B知，，即，所以，所以在R上單調(diào)遞減，無極值，故C錯誤；對于D，當(dāng)時，，，由切線放縮知，，即在R上單調(diào)遞減，當(dāng)時，，當(dāng)時，，可得大致圖象如下：由圖可知對任意實(shí)數(shù)，總存在實(shí)數(shù)，使得，故D正確.故選：D.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.下列說法正確的是（）A若，則B.從五個人中選三個人站成一排，則不同的排法有60種C.過三棱柱任意兩頂點(diǎn)的直線中，異面直線共有36對D.用0，1，2，…，9這十個數(shù)字，可以組成有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)的個數(shù)為252【答案】BCD【解析】【分析】利用組合數(shù)的性質(zhì)可判斷A；根據(jù)排列數(shù)的概念可判斷B；利用組合的定義結(jié)合四面體的性質(zhì)可判斷C；利用間接法結(jié)合分步計數(shù)原理可判斷D.【詳解】對A，由，則或，解得或，故A錯誤；對B，從五個人中選三個人站成一排，則不同的排法有種，故B正確；對C，三棱柱有六個頂，可組成個四面體，而每個四面體有3對異面直線，則共有對，故C正確；對D，根據(jù)分步計數(shù)原理可知用0，1，2，…，9這十個數(shù)字，可以組成三位數(shù)的個數(shù)為，其中沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)的個數(shù)為，所以可以組成有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)的個數(shù)為，故D正確.故選：BCD10.設(shè)N為正整數(shù)，在平面直角坐標(biāo)系中，若（，，且）恰好能表示出12個不同的橢圓方程，則N的可能取值為（）A.6 B.8 C.7 D.5【答案】AC【解析】【分析】根據(jù)組合數(shù)的性質(zhì)和橢圓的定義即可判斷【詳解】若（，，且）恰好能表示出12個不同的橢圓方程，設(shè)有z個不同的值，則,解得,根據(jù)其對稱性可知，當(dāng)或時滿足，故選:AC11.已知編號為1，2，3的三個盒子，其中1號盒子內(nèi)裝有兩個1號球，一個2號球和一個3號球；2號盒子內(nèi)裝有兩個1號球，一個3號球；3號盒子內(nèi)裝有三個1號球，兩個2號球．若第一次先從1號盒子內(nèi)隨機(jī)抽取1個球，將取出的球放入與球同編號的盒子中，第二次從該盒子中任取一個球，則下列說法正確的是（）A.在第一次抽到2號球的條件下，第二次抽到1號球的概率為B.第二次抽到3號球的概率為C.如果第二次抽到的是1號球，則它來自2號盒子的概率最大D.如果將5個不同的小球放入這三個盒子內(nèi)，每個盒子至少放1個，則不同的放法有300種【答案】AB【解析】【分析】計算條件概率判斷A；利用全概率公式計算判斷B；利用貝葉斯公式求解判斷C；求出不同元素的分組分配種數(shù)判斷D作答.【詳解】記第一次抽到第i號球的事件分別為，則有，對于A，在第一次抽到2號球的條件下，則2號球放入2號盒子內(nèi)，因此第二次抽到1號球的概率為，A正確；對于B，記第二次在第i號盒內(nèi)抽到3號球的事件分別為，而兩兩互斥，和為，，記第二次抽到3號球事件為，，B正確；對于C，記第二次在第i號盒內(nèi)抽到1號球的事件分別為，而兩兩互斥，和為，，記第二次抽到1號球的事件為，，第二次的球取自盒子的編號與第一次取的球的號數(shù)相同，，，，即第二次抽到的是1號球，則它來自1號盒子的概率最大，C不正確；對于D，把5個不同的小球分成3組的不同分組方法數(shù)是種，將每一種分組方法分成的小球放在3個盒子中有種不同放法，由分步乘法計數(shù)原理得不同的放法種數(shù)是種，D不正確.故選：AB三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知X服從參數(shù)為0.3的兩點(diǎn)分布，則________；若，則________.【答案】①.0.7##②.0.3##【解析】【分析】根據(jù)兩點(diǎn)分布的基本性質(zhì)即可求解.【詳解】因?yàn)榉膮?shù)為0.3的兩點(diǎn)分布，所以，.當(dāng)時，，所以.故答案為：0.7，0.313.為確保學(xué)生身心健康，全面發(fā)展，高中課程內(nèi)容覆蓋學(xué)科教學(xué)、體育、藝術(shù)等類別，我校按照教育部的指導(dǎo)，安排上午四節(jié)課，下午三節(jié)課，現(xiàn)在安排我班一天中語文、英語、物理、政治、體育各一節(jié)，數(shù)學(xué)兩節(jié)，要求兩節(jié)數(shù)學(xué)課都排在上午或下午、且連續(xù)，體育課排在下午，則不同的排法有________種．【答案】264【解析】【分析】分兩節(jié)數(shù)學(xué)排在上午、下午兩種情況討論即可.【詳解】（1）若兩節(jié)數(shù)學(xué)排在下午，有兩種情況，1,2節(jié)或2,3節(jié)，剩下一節(jié)對應(yīng)體育，第二步，上午4節(jié)課全排列即可，有，故共有種，（2）若兩節(jié)數(shù)學(xué)排在上午，有1,2或2,3或3,4，共3種排法，第二步，排體育，易知有3種排法，第三步，剩下4節(jié)課，全排列，有，故共有，所以共有種，故答案為：26414.從商業(yè)化書店到公益性城市書房，再到“會呼吸的文化森林”——圖書館，建設(shè)高水平、現(xiàn)代化、開放式的圖書館一直以來是大眾的共同心聲.現(xiàn)有一塊不規(guī)則的地，其平面圖形如圖所示，（百米），建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，將曲線看成函數(shù)圖象的一部分，為一次函數(shù)圖象的一部分，若在此地塊上建立一座圖書館，平面圖為直角梯形（如圖），則圖書館占地面積（萬平方米）的最大值為______.【答案】##【解析】【分析】根據(jù)圖中的點(diǎn)的坐標(biāo)可求得和直線的方程，設(shè)，令，則可將直角梯形的面積表示為關(guān)于的函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)可求得的最大值，即為所求結(jié)果.【詳解】由圖象可知：圖象過點(diǎn)，即，解得：，；由，得：直線方程為：；設(shè)，則，，則直角梯形的面積；令，則，，當(dāng)時，；當(dāng)時，；在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞增，，即圖書館占地面積（萬平方米）的最大值為.故答案為：.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查利用導(dǎo)數(shù)求解面積最值的問題，解題關(guān)鍵是能夠?qū)⑺笾苯翘菪蚊娣e表示為關(guān)于某一變量的函數(shù)的形式，從而利用導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而確定最值.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程及演算步驟.15.已知的展開式中的第二項(xiàng)和第三項(xiàng)的系數(shù)相等．（1）求n的值；（2）求展開式中所有二項(xiàng)式系數(shù)的和；（3）求展開式中所有的有理項(xiàng)．【答案】（1）5（2）32（3）答案見解析【解析】【分析】（1）根據(jù)展開式中的第二項(xiàng)和第三項(xiàng)的系數(shù)相等，列出方程求出n的值；（2）利用展開式中所有二項(xiàng)式系數(shù)的和為2n，即可求出結(jié)果；（3）根據(jù)二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)，求出展開式中所有的有理項(xiàng)．【小問1詳解】的展開式的通項(xiàng)為（r＝0，1，2，…，n），∵展開式中的第二項(xiàng)和第三項(xiàng)的系數(shù)相等，∴，即，∴n2－5n＝0，解得n＝5或n＝0（舍）；【小問2詳解】展開式中所有二項(xiàng)式系數(shù)的和為；【小問3詳解】二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)為（r＝0，1，2，…，5），當(dāng)r＝0，2，4時，對應(yīng)項(xiàng)有理項(xiàng)，所以展開式中所有的有理項(xiàng)為，，．16.已知在時有極值0．（1）求常數(shù)a、b及的圖象在處的切線方程；（2）求函數(shù)在區(qū)間上的最大值與最小值．【答案】（1），切線方程為（2）最大值為，最小值為0.【解析】【分析】（1）根據(jù)極值的定義列式，求出的值并檢驗(yàn)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線方程；（2）利用導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性，求出最值.【小問1詳解】因?yàn)?，又在時有極值0，則，解得或，當(dāng)時，恒成立，則無極值，不合題意；當(dāng)時，，當(dāng)或時，，即單調(diào)遞增，當(dāng)時，，即單調(diào)遞減，所以是的極小值點(diǎn)，合題意.所以，故，，所以在處的切線方程為，即.【小問2詳解】由（1），，，所以當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，，，，所以函數(shù)在區(qū)間上的最大值為112，最小值為0.17.計算機(jī)二級資格證考試包括語言程序設(shè)計、數(shù)據(jù)庫程序設(shè)計和辦公軟件高級應(yīng)用三類科目，每年可以考3次，分別在3月、5月和9月進(jìn)行，一旦某次考試通過，便可領(lǐng)取資格證書，不再參加以后的考試，否則就繼續(xù)參加考試，直到用完3次機(jī)會．李明決定參加考試，如果他每次參加考試通過的概率依次為0.6，0.7，0.8，且每次考試是否通過相互獨(dú)立．（1）求李明在一年內(nèi)領(lǐng)到計算機(jī)二級資格證書的概率；（2）求李明在一年內(nèi)參加考試次數(shù)X的分布列及期望；（3）已知每次考試報名費(fèi)用為200元，求李明一年內(nèi)參加考試花費(fèi)的費(fèi)用Y的期望．【答案】（1）（2）答案見詳解（3）304元【解析】【分析】（1）根據(jù)題意，利用相互獨(dú)立事件乘法公式和互斥事件的概率加法公式求解；（2）的取值分別為1，2，3，分別求出每個取值相應(yīng)的概率，由此能求出李明參加考試次數(shù)的分布列和期望；（3）由，結(jié)合期望的性質(zhì)求解.【小問1詳解】由題，李明在一年內(nèi)領(lǐng)到計算機(jī)二級資格證書分3種情況，第一次領(lǐng)證，第二次領(lǐng)證，第三次領(lǐng)證，所以概率為.【小問2詳解】的取值分別是，，，，所以李明參加考試次數(shù)的分布列為：123.【小問3詳解】已知每次考試報名費(fèi)用為200元，考試次數(shù)為，則花費(fèi)的費(fèi)用，所以元.所以李明一年內(nèi)參加考試花費(fèi)的費(fèi)用的期望為元.18.袋中有20個大小相同的球，其中標(biāo)記上0號的有10個，標(biāo)記上號的有n個．現(xiàn)從袋中任取一球，用表示所取球的標(biāo)號．（1）求的分布列、期望和方差；（2）若，，，試求a，b的值；（3）若每次取球后不放回，先取一個球記標(biāo)號為X，再取一個球記標(biāo)號為Y，求Y的標(biāo)號大于1的概率．【答案】（1）分布列見解析，，（2）或（3）【解析】【分析】（1）由條件可得的可能取值，然后分別求得其對應(yīng)概率，即可得到結(jié)果；（2）由期望以及方差的性質(zhì)代入計算，即可得到結(jié)果；（3）結(jié)合全概率公式代入計算，即可得到結(jié)果.【小問1詳解】的可能取值為則，，，，，則分布列為：則，．【小問2詳解】由（1）可知，，，且，由期望以及方差的性質(zhì)可得，，即，解得，當(dāng)時，，解得，當(dāng)時，，解得，所以或.【小問3詳解】記事件表示的標(biāo)號大于，由（1）可知，當(dāng)時，此時袋中還剩個球，其中標(biāo)號大于的有個，所以，，當(dāng)時，此時袋中還剩個球，其中標(biāo)號大于的有個，所以，，當(dāng)時