甘肅省甘南藏族自治州卓尼縣柳林中學(xué)2024-2025學(xué)年高一下學(xué)期4月期中考試數(shù)學(xué)試題（解析版）

階段測試卷（二）數(shù)學(xué)試題注意事項：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號、考場號、座位號填寫在答題卡上．2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑；如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號．回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效．3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回．考試時間120分鐘，滿分150分一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用輔助角公式化簡即可.【詳解】．故選：B.2.設(shè)為虛數(shù)單位，若，則（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】結(jié)合復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算，以及共軛復(fù)數(shù)的定義，即可求解．【詳解】，故，故選：D3.已知復(fù)數(shù)（為虛數(shù)單位），則復(fù)數(shù)在復(fù)平面上對應(yīng)的點位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】D【解析】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算化簡，即可根據(jù)共軛復(fù)數(shù)的定義,結(jié)合幾何意義求解.【詳解】，故，因此復(fù)數(shù)在復(fù)平面上對應(yīng)的點為，位于第四象限，故選:D4若復(fù)數(shù)z滿足，則（）A.1 B. C.2 D.【答案】D【解析】【分析】利用復(fù)數(shù)的乘方及除法運(yùn)算求出復(fù)數(shù)，再利用復(fù)數(shù)模的意義求解.【詳解】由，得，所以.故選：D5.已知平面向量，則“”是“與的夾角為鈍角”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】B【解析】【分析】若與的夾角為鈍角，則且與不共線，結(jié)合向量的坐標(biāo)運(yùn)算求得m得取值范圍，再根據(jù)包含關(guān)系分析充分、必要條件.【詳解】若與的夾角為鈍角，則且與不共線，可得，解得且，因為是真子集，所以“”是“與的夾角為鈍角”的必要不充分條件.故選：B.6.已知，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)誘導(dǎo)公式和余弦二倍角公式得到，化弦為切，代入求值即可.【詳解】，故.故選：A7.在△ABC中，內(nèi)角A、B、C所對邊分別為a、b、c，若，則∠B的大小是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)正弦定理，可得，令，，，再結(jié)合公式，列出關(guān)于的方程，解出后，進(jìn)而可得到的大小.【詳解】解：∵，∴，即，令，，，顯然，∵，∴，解得，∴，B＝．故選：D.【點睛】本題考查正弦定理邊角互化的應(yīng)用，考查兩角和的正切，用k表示，，是本題關(guān)鍵8.已知函數(shù)在上有且僅有2個零點，則的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】分析】先化簡函數(shù)，利用換元法結(jié)合零點個數(shù)可得答案.【詳解】，令，因為，所以，令可得,因為在上有且僅有2個零點，所以，解得.故選：C二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9.已知復(fù)數(shù)，以下說法正確的是（）A.z的實部是3 B.C. D.在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點在第一象限【答案】ABC【解析】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)實部的概念判斷A的真假；計算復(fù)數(shù)的模判斷B的真假；根據(jù)共軛復(fù)數(shù)的概念判斷C的真假；根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義判斷D的真假.【詳解】對A：復(fù)數(shù)的實部為3，故A正確；對B：因為，故B正確；對C：根據(jù)共軛復(fù)數(shù)的概念，，故C正確；對D：因為在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點的坐標(biāo)為，位于第四象限，故D錯誤.故選：ABC10.已知函數(shù)，則（）A.是偶函數(shù) B.的最小正周期為C.最大值為 D.在上單調(diào)遞增【答案】AC【解析】【分析】由偶函數(shù)的定義可得選項A正確；根據(jù)可得選項B錯誤；根據(jù)，結(jié)合倍角公式可得選項C正確；當(dāng)時，函數(shù)可化為，根據(jù)正弦型函數(shù)的性質(zhì)可得選項D錯誤.【詳解】因為定義域為，，所以，為偶函數(shù)，選項A正確．因為，的最小正周期不為選項，B錯誤．，選項C正確．，，，時，，在上單調(diào)遞增，時，，在上單調(diào)遞減，選項D錯誤．故選：AC.11.已知為方程的根，則（）A. B.C. D.【答案】ACD【解析】【分析】設(shè)，根據(jù)復(fù)數(shù)與一元二次方程根的關(guān)系，可得的關(guān)系，即可求得對應(yīng)的值，逐項分析即可得結(jié)論.【詳解】設(shè)，因為為方程的根，且，則，所以，即，解得或，所以，則；，所以，故ACD正確，B錯誤.故選：ACD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.在中，已知為方程的兩個根，則___________．【答案】##0.75【解析】【分析】根據(jù)方程根與系數(shù)的關(guān)系結(jié)合和角公式可得答案.【詳解】因為為方程的兩個根，所以；,故答案為：13.已知，且，則___________．【答案】【解析】【分析】先利用條件求出，結(jié)合平方關(guān)系及倍角公式可得答案.【詳解】因為，所以，所以；因為，所以，所以，.故答案為：14.已知i為虛數(shù)單位，若復(fù)數(shù)滿足，則的最大值是______.【答案】##【解析】【分析】利用復(fù)數(shù)模的幾何意義求解.【詳解】設(shè)復(fù)數(shù)，則，即，則點的軌跡為圓心在，半徑為的圓，，其表示點到點的距離，其最大值為到圓心的距離加上半徑，即，故答案為：.四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.已知復(fù)數(shù)．（1）若復(fù)數(shù)為純虛數(shù)，求實數(shù)的值；（2）若復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)點位于第二象限，求實數(shù)的取值范圍．【答案】（1）（2）．【解析】【分析】（1）根據(jù)純虛數(shù)的定義即可求解，（2）根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義，結(jié)合第二象限點的特征即可求解.【小問1詳解】因為復(fù)數(shù)為純虛數(shù)，所以，解的解得，；【小問2詳解】因為復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點在第二象限，所以解之得得．所以實數(shù)的取值范圍為．16.化簡求值：（1）；（2）；（3）已知，，求的值．【答案】（1）4（2）1（3）【解析】【分析】（1）由二倍角公式，利用兩角和與差的正弦公式化簡即可得出答案；（2）利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系、兩角和的正弦公式和誘導(dǎo)公式化簡即可得出答案；（3）利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系和二倍角的余弦公式求解即可得出答案.【小問1詳解】.【小問2詳解】.【小問3詳解】已知，，，，所以，.17.近年來，六盤水市認(rèn)真踐行“綠水青山就是金山銀山”生態(tài)文明理念，圍繞良好的生態(tài)稟賦和市場需求，深挖冷水魚產(chǎn)業(yè)發(fā)展優(yōu)勢潛力，現(xiàn)已摸索出以鰻、鱘魚等養(yǎng)殖為主方向．為擴(kuò)大養(yǎng)殖規(guī)模，某鱘魚養(yǎng)殖場計劃在如圖所示的扇形區(qū)域內(nèi)修建矩形水池，矩形一邊在上，點在圓弧上，點在上，且，米，設(shè)．（1）求扇形的面積；（2）求矩形的面積的表達(dá)式；（3）當(dāng)為何值時，取得最大值，并求出這個最大值．【答案】（1）平方米（2），（3）時，最大值為【解析】【分析】（1）利用扇形的面積公式可求答案；（2）先求出矩形的長和寬，利用面積公式可得答案；（3）先確定的范圍，利用三角函數(shù)的性質(zhì)可得最大值.【小問1詳解】因為，，所以，即扇形的面積為平方米.【小問2詳解】在直角三角形中，；在直角三角形中，，所以，所以，，.所以，其中.【小問3詳解】因為，所以，當(dāng)時，即時，取到最大值.18.已知復(fù)數(shù)，，．（1）若，求角；（2）復(fù)數(shù)，對應(yīng)的向量分別是，，（?。┣蟮娜≈捣秶?；（ⅱ）存在使等式成立，求實數(shù)的取值范圍．【答案】（1）（2）（?。?，（ⅱ）【解析】【分析】（1）利用復(fù)數(shù)相等的性質(zhì)和特殊角的三角函數(shù)值，結(jié)合角度的范圍即可求解；（2）（ⅰ）利用向量的數(shù)量積結(jié)合兩角差的正弦公式，再由角度的范圍即可求出的取值范圍；（ⅱ）利用向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算化簡等式，轉(zhuǎn)化為和三角函數(shù)得表達(dá)式，求出三角函數(shù)的整體范圍，進(jìn)而計算的取值范圍.【小問1詳解】，，且，，，即，，又，故.【小問2詳解】（?。┯蓮?fù)數(shù)的坐標(biāo)表示可得，，，，又，則.當(dāng)時，取最大值為，當(dāng)時，取最小值為，的取值范圍為；（ⅱ），，，又，則，化簡得，，，由小問（ⅰ）的結(jié)論可知，，解得或，綜上所述，的取值范圍為：.19.已知函數(shù)．（1）求圖象的對稱中心、對稱軸，的單調(diào)遞增區(qū)間；（2）當(dāng)時，求的最值；（3）當(dāng)時，關(guān)于的不等式有解，求實數(shù)的取值范圍．【答案】（1）對稱中心為；對稱軸為，；增區(qū)間為.（2）最大值為1，最小值為（3）【解析】【分析】（1）先化簡函數(shù)，再利用函數(shù)性質(zhì)可求答案