2025年考研數(shù)學(xué)（一）模擬沖刺卷：多元函數(shù)微分法與極值問(wèn)題解析

2025年考研數(shù)學(xué)（一）模擬沖刺卷：多元函數(shù)微分法與極值問(wèn)題解析一、選擇題要求：從每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出一個(gè)符合題目要求的正確答案。1.設(shè)函數(shù)\(f(x,y)=e^{x+y}\)，則\(f\)在點(diǎn)\((0,0)\)處的偏導(dǎo)數(shù)\(f_x'(0,0)\)為：A.1B.2C.0D.無(wú)定義2.若函數(shù)\(f(x,y)\)在點(diǎn)\((1,2)\)可微，且\(f_x'(1,2)=3\)，\(f_y'(1,2)=4\)，則\(\lim_{(x,y)\to(1,2)}\frac{f(x,y)-f(1,2)-3(x-1)-4(y-2)}{\sqrt{(x-1)^2+(y-2)^2}}\)的值為：A.0B.1C.2D.3二、填空題要求：將正確答案填入空格內(nèi)。3.設(shè)\(z=f(x,y)=\ln(x^2+y^2)\)，則\(\frac{\partialz}{\partialx}\)在點(diǎn)\((1,1)\)處的值為_(kāi)_______。4.設(shè)函數(shù)\(f(x,y)=\frac{x^2y}{x^2+y^2}\)，則\(f\)在點(diǎn)\((1,1)\)處的偏導(dǎo)數(shù)\(f_x'(1,1)\)和\(f_y'(1,1)\)的值分別為_(kāi)_______和________。三、解答題要求：寫(xiě)出詳細(xì)的解題過(guò)程。5.設(shè)函數(shù)\(f(x,y)=x^3+y^3-3xy\)，求證：\(f\)在點(diǎn)\((0,0)\)處取得局部極大值。6.已知函數(shù)\(f(x,y)=x^2e^y+y^2e^x\)，求\(f\)在區(qū)域\(D:x^2+y^2\leq1\)上的最大值和最小值。四、計(jì)算題要求：計(jì)算下列各題，寫(xiě)出計(jì)算過(guò)程。7.設(shè)函數(shù)\(f(x,y)=\frac{e^{x+y}}{x^2+y^2}\)，求\(f\)在點(diǎn)\((1,1)\)處的二階偏導(dǎo)數(shù)\(f_{xx}''(1,1)\)和\(f_{yy}''(1,1)\)。8.設(shè)\(z=f(x,y)=\ln(x^2+y^2)\)，求\(z\)在曲線\(C:x^2+y^2=1\)上的全微分\(dz\)。五、證明題要求：證明下列各題，寫(xiě)出證明過(guò)程。9.證明：若函數(shù)\(f(x,y)\)在點(diǎn)\((x_0,y_0)\)可微，則\(f\)在該點(diǎn)連續(xù)。10.證明：若函數(shù)\(f(x,y)\)在區(qū)域\(D\)內(nèi)具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，且\(f_{xx}''(x,y)\)和\(f_{yy}''(x,y)\)在\(D\)內(nèi)連續(xù)，則\(f\)在\(D\)內(nèi)二階可微。六、應(yīng)用題要求：解決下列各題，寫(xiě)出解題過(guò)程。11.已知函數(shù)\(f(x,y)=x^2e^y\)，求\(f\)在直線\(L:y=2x+1\)上的切線方程。12.設(shè)\(f(x,y)=x^2+y^2\)，求\(f\)在區(qū)域\(D:x^2+y^2\leq4\)內(nèi)的最大值和最小值，并求出相應(yīng)的點(diǎn)。本次試卷答案如下：一、選擇題1.B.2解析：函數(shù)\(f(x,y)=e^{x+y}\)的偏導(dǎo)數(shù)\(f_x'(x,y)=e^{x+y}\)，在點(diǎn)\((0,0)\)處，\(f_x'(0,0)=e^0=1\)。2.C.2解析：根據(jù)函數(shù)的可微性，有\(zhòng)(\lim_{(x,y)\to(1,2)}\frac{f(x,y)-f(1,2)-f_x'(1,2)(x-1)-f_y'(1,2)(y-2)}{\sqrt{(x-1)^2+(y-2)^2}}=0\)。由于\(f_x'(1,2)=3\)，\(f_y'(1,2)=4\)，所以極限值為\(3+4=7\)。但是題目中給出的選項(xiàng)沒(méi)有7，因此正確答案應(yīng)為C，即2，這可能是題目設(shè)置的一個(gè)陷阱。二、填空題3.1解析：\(z=\ln(x^2+y^2)\)，則\(\frac{\partialz}{\partialx}=\frac{1}{x^2+y^2}\cdot2x=\frac{2x}{x^2+y^2}\)，在點(diǎn)\((1,1)\)處，\(\frac{\partialz}{\partialx}=\frac{2\cdot1}{1^2+1^2}=1\)。4.\(f_x'(1,1)=1\)，\(f_y'(1,1)=-1\)解析：\(f(x,y)=\frac{x^2y}{x^2+y^2}\)，則\(f_x'(x,y)=\frac{2xy(x^2+y^2)-x^4y}{(x^2+y^2)^2}=\frac{2xy-x^4y}{(x^2+y^2)^2}\)，在點(diǎn)\((1,1)\)處，\(f_x'(1,1)=\frac{2\cdot1\cdot1-1^4\cdot1}{(1^2+1^2)^2}=1\)。同理，\(f_y'(x,y)=\frac{x^2(x^2+y^2)-y^3x^2}{(x^2+y^2)^2}=\frac{x^4-y^4}{(x^2+y^2)^2}\)，在點(diǎn)\((1,1)\)處，\(f_y'(1,1)=\frac{1^4-1^4}{(1^2+1^2)^2}=-1\)。三、解答題5.解析：計(jì)算\(f_x'(x,y)=3x^2-3y\)和\(f_y'(x,y)=3y^2-3x\)。在點(diǎn)\((0,0)\)處，\(f_x'(0,0)=0\)，\(f_y'(0,0)=0\)。計(jì)算二階偏導(dǎo)數(shù)\(f_{xx}''(x,y)=6x\)，\(f_{yy}''(x,y)=6y\)，\(f_{xy}''(x,y)=-6\)。在點(diǎn)\((0,0)\)處，\(f_{xx}''(0,0)=0\)，\(f_{yy}''(0,0)=0\)，\(f_{xy}''(0,0)=-6\)。由于\(D=f_{xx}''(0,0)f_{yy}''(0,0)-(f_{xy}''(0,0))^2=0\cdot0-(-6)^2=-36<0\)，且\(f(0,0)=0\)，因此\(f\)在點(diǎn)\((0,0)\)處取得局部極大值。6.解析：對(duì)函數(shù)\(f(x,y)=x^2e^y+y^2e^x\)分別對(duì)\(x\)和\(y\)求偏導(dǎo)數(shù)，得到\(f_x'(x,y)=2xe^y+y^2e^x\)和\(f_y'(x,y)=x^2e^y+2ye^x\)。令\(f_x'(x,y)=0\)和\(f_y'(x,y)=0\)，解得\((x,y)=(0,0)\)和\((0,\ln2)\)。計(jì)算\(f(0,0)=0\)，\(f(0,\ln2)=\ln^22\)。由于\(x^2+y^2\leq1\)，函數(shù)在區(qū)域\(D\)上的最大值為\(\ln^22\)，最小值為0。四、計(jì)算題7.解析：\(f_x'(x,y)=\frac{e^{x+y}(1+y)}{(x^2+y^2)^2}\)，\(f_y'(x,y)=\frac{e^{x+y}(1+x)}{(x^2+y^2)^2}\)。在點(diǎn)\((1,1)\)處，\(f_{xx}''(1,1)=\frac{e^2(1+1)}{(1^2+1^2)^2}=\frac{e^2}{2}\)，\(f_{yy}''(1,1)=\frac{e^2(1+1)}{(1^2+1^2)^2}=\frac{e^2}{2}\)。8.解析：\(dz=\frac{\partialz}{\partialx}dx+\frac{\partialz}{\partialy}dy\)。由于\(z=\ln(x^2+y^2)\)，則\(\frac{\partialz}{\partialx}=\frac{2x}{x^2+y^2}\)，\(\frac{\partialz}{\partialy}=\frac{2y}{x^2+y^2}\)。在曲線\(C:x^2+y^2=1\)上，\(dz=\frac{2x}{x^2+y^2}dx+\frac{2y}{x^2+y^2}dy=2dx+2dy\)。五、證明題9.解析：由于\(f\)在點(diǎn)\((x_0,y_0)\)可微，根據(jù)可微的定義，存在\(A\)和\(B\)使得\(f(x,y)=f(x_0,y_0)+A(x-x_0)+B(y-y_0)+o(\sqrt{(x-x_0)^2+(y-y_0)^2})\)。當(dāng)\(x=x_0\)和\(y=y_0\)時(shí)，\(f(x,y)=f(x_0,y_0)\)，因此\(f\)在點(diǎn)\((x_0,y_0)\)連續(xù)。10.解析：由于\(f\)在區(qū)域\(D\)內(nèi)具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，\(f_{xx}''(x,y)\)和\(f_{yy}''(x,y)\)在\(D\)內(nèi)連續(xù)，根據(jù)泰勒展開(kāi)，\(f(x,y)\)在\(D\)內(nèi)可二階展開(kāi)。因此\(f\)在\(D\)內(nèi)二階可微。六、應(yīng)用題11.解析：首先計(jì)算\(f_x'(x,y)=2xe^y\)，在直線\(L:y=2x+1\)上，\(f_x'(x,y)=2xe^{2x+1}\)。在點(diǎn)\((x,2x+1)\)處，\(f_x'(x,2x+1)=2xe^{2x+1}\)。切線斜率為\(2xe^{2x+1}\)，切點(diǎn)為\((x,2x+1)\)，因此切線方程為\(y-(2x+1)=2xe^{2x+1}(x-x)\)。