高中數(shù)學(xué)：定比點(diǎn)差法的應(yīng)用

高中數(shù)學(xué)：定比點(diǎn)差法的應(yīng)用

定比點(diǎn)差法原理

定比分點(diǎn)：若石7-M而.則稱點(diǎn)“為.43的入定比分點(diǎn)，若45.必）.86，4）則”」上上a

1+/1+X

若AM=xJSllZv=ANB.則稱M.V調(diào)和分割4A根據(jù)定義，那么A.B也調(diào)和分割,MN.

定理:在橢圓或雙曲線中，設(shè)43為桶圓或雙曲線上的兩點(diǎn)。若存在E。兩點(diǎn)，滿足.4產(chǎn)APB,AQ=AQB,

一定有三R-

ao

萬，麗則"上公"上空

證明：若陽.?).B(x,,y),

21+x1+A

4Al①

后加則。：（爺打鈴

有①一@得:

三誓出②

（X[+疝0）（』一/■”）+加一生?

?=1-萬即

b'

1X[+*]-后11必+如2Ji-辦hXpX。Vpy_,

f?——r2---:~:~±聲士下~p-1

1+A1-x

定比點(diǎn)差的原理謎整解開，就是兩個互相調(diào)和的定比分點(diǎn)坐標(biāo)滿足有心曲線（橢圓和雙曲線有對稱中心,

故稱為有心曲線）的特征方程：空±上孕=1

"2b-

適用范圍分析

第一求弦長被坐標(biāo)軸分界的兩段的比值范圍，這個最好情

【例"知橢吟+?.過定點(diǎn)心）的長線與橢圓―3E.合），求普螂期皿

刀

解：設(shè)/日.％15（毛,豆）,AP=APB則=5：一尸:但里31巫=(O.3>

PB1+41+4

4+左=1

94

.x,+AX=0+Av,=3(l+2)Kp

2笈+於=矛

94

??屋)得：工^I'二’+,1?-2X.1?2)=1—元即l'i———(1—A)

.?.必=；(1+4)+；(1-4)=5+釬?[-2,2]PA

?5

PB

注意：根據(jù)兩個調(diào)和定比分點(diǎn)的聯(lián)立，將坐標(biāo)求出與比值的關(guān)系式。兩個分點(diǎn)式子齊上場才能解決問題,

這是定比點(diǎn)差法的核心。

2,2

【例2】己知橢網(wǎng)。:三+工亍=1（。>6>0）的上卜.兩個焦點(diǎn)分別為B、B，過點(diǎn)B與y軸垂直的直線交橢

a2b2

圓。于MN兩點(diǎn)，△小的面枳為石，橢圓。的離心率為日

（I）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）己知。為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線￡:y=Ax+m與/軸交「點(diǎn)尸，與橢圓。交「48兩個不同的點(diǎn)，若存在

實(shí)數(shù)2，使得豆+乂3=43，求加的取值范圍.

解：(I)x2+--=1.(n)當(dāng)〃7=0時，A=—1,顯然成立；當(dāng)〃700時,

4

....I.A.

OA+AOB=4OPOP=-OA+-OB,???4P,3三點(diǎn)共線,「?4=3；

44

4尸=3尸8.設(shè)4（不，必），8（々，%），

、片1

x：+—=1①

.{X.+3,X,y3y4

p1+2.,工必+3y2=4m

14-31+3

9x；+=9②

4

(乂+3%)(”-3%)=

①一②得：(％+3.x,)(.^-3X)+即

24

.8

乂-3.乃=一一

m

242

如圖，由于3更加靠近橢圓邊界，故取其作為參照點(diǎn)，.-.y=—H1+——€(—2,2)DI4—E(—3,3)解

233ni

得〃7E（—2,—DU（L2）綜上，7〃的取值范圍為（一2,-DU（L2）U{0}.

第二求證定比分店和調(diào)和分點(diǎn)的坐標(biāo)乘積滿足橢圓和雙曲線的特征方程，這個在2008年安徽高考題出

現(xiàn)了，并且這些年在不斷重復(fù)。也是定比點(diǎn)差法的本質(zhì)探究。

22

【例3】（2008安徽）設(shè)橢圓C:1"+==1,過點(diǎn)河（VL1）,左焦點(diǎn)為石（-、5,0）.

a2b1

（1）求橢圓。的方程.

（2）'與過點(diǎn)尸（4,1）的仃“線/9橢網(wǎng)C相交「48.在:線段上取點(diǎn)0滿足網(wǎng)網(wǎng)=園?網(wǎng).證明：點(diǎn)0

在某定直線匕

X2V2

解：（1）—+^-=1.

42

再+疝2i再一疝2-

⑵￡=

AQ故令NP=ZP3AQ=-A.QB.故，1+41一4

PBQBH+生2一

.1+2-1—2=為

端-1

22

xy42

由于45在橢圓一十二一=1上,故4

42

42

^得.(再一疝2既+生)?伍-儀Vi+"2)_]即板+包=i即2x+”2=0

4(1-2X1+A)2(l-ZXl+2)42"

第三坐標(biāo)軸為角平分線的題型，如2018年高考全國一卷

ADDF）

三角形的內(nèi)角平分線定理：在△48C中，若3是4的平分線，則有絲="

ACDC

證明;作。EJ.4B交48于E,Z>F_L/C交4C于產(chǎn)，設(shè)3c邊上的高為九

易處DE=DF,2=AB.DE=X=處=嗎

SACDACDFDChACDC

22

定理：已知43交橢圓三+二=1（。>6>0）長軸（短軸）于點(diǎn)尸，氏,是橢

ab-

圓上關(guān)于長軸（短軸）對稱的兩點(diǎn),直線W交長軸（短軸）『0，則

或

b2

2

【例4】（2018?全國卷I）設(shè)橢圓C:二+/=1的右焦點(diǎn)為尸，過F的《線/

2,

與C交A,B兩點(diǎn)，點(diǎn)M的坐標(biāo)為（2.0）.

（1）當(dāng)I與x軸垂直時，求直線AM的方程:

（2）設(shè)。為坐標(biāo)原點(diǎn)，證明：2OMA=NOMB.

解：（1）由已知得F（l,0）,/的方程為x=l.由已知可得

點(diǎn)4的坐標(biāo)為（1,注）或（1,_

所以AM的方程為v=—走X+正或v=^x-VL

'22

（2）當(dāng)/與工軸重合時，/。3=/。〃8=0。.當(dāng)/與工軸垂直時，0M為

4s的垂直平分線，所以NOM4=NOMB.當(dāng)/與無軸不重合也不垂直時，設(shè)

4（不，乂），8區(qū)，為），點(diǎn)、B關(guān)于x軸對稱的點(diǎn)3'（工2,-^2）根據(jù)幾何性質(zhì)可

得：令ON為乙4NB的角平分線，與x軸交點(diǎn)為鳥，下面通過證明N

與朋■重合來證明NOM1=NOM3,根據(jù)角平分線定理有：坐二處=空,

1

F2BNBNB

令款=2而，則式廣+生,o]則.麗=Tl@o工a=1,如圖

\1+21-2

A"』①得：&+襖）（?一"2）

+（乂+把）（乂一。）=1-猶

2

^L+A2y-=A2②

即1.玉+網(wǎng).％一應(yīng)?0JT%_]=X/N

=lnN（2.0）

21+%1—A,1-22

即N與Af重合，所以NOA4t4=NQWB.綜上，Z.OMA=Z.OMB.

相交弦問題的定點(diǎn)定值，在2018年高考北京卷，特點(diǎn)是兩弦的交點(diǎn)通常在坐標(biāo)軸上，若43過定點(diǎn)（一般

在兩調(diào)和分點(diǎn)的中點(diǎn)），則CD的斜率與AB比值為定值.

定比點(diǎn)差轉(zhuǎn)換定理：

在橢圓或雙曲線中，設(shè)為橢圓或雙曲線上的兩點(diǎn)。若存在尸，0兩點(diǎn)，滿足方=2麗，~AQ=-AQB,

x

~gzl

22（重點(diǎn)中的重點(diǎn)！?。。?/p>

若A(x1,%),5(勺.v2)一定有

xp4-x^Xp

X2=

222

XX

x,+AX2_P-Q.

XP+--------A

XPXQypyQl+AXj+AX2=xp(1+2)2

證明:+=1n<=><—y<

22X]-AX=XQ(1+2)

ab再-&2_2Xp-xQ

.1-A222~

【例5】（2018?北京文）已知橢網(wǎng)“：三+4=1（。＞6＞0）的離心率為逅，焦距為2亞.斜率為A■的百

a2b13

線/與橢網(wǎng)M有兩個不同的交點(diǎn)4、B.

（1）求橢圓”的方程；

（2）若k=1,求|43|的最大值：

（3）設(shè)尸（-2,0）,直線E4與橢閱A/的另?個交點(diǎn)為C，直線尸8與橢圓”的另?個交點(diǎn)為D若C,D

和點(diǎn)。（-wq）共線,求上

解：(1)由題意得2c=2,所以c=J^,又6=￡=，^,所以a=,所以/>'=a，—c-=1,

a3

X"2e

所以橢圓&f的標(biāo)準(zhǔn)方程為一+F=1.

3,

y=x+ni

（2）設(shè)直線AB的方程為,y=x+"/,由＜,消去y可得4x2+6nix+3nr-3=0,

+廣=1

3

則4=36〃/一4x4(3〃/-3)=48-12/〃2>0,即"/<4,設(shè)4(玉,必)，5(x2,y2),則玉+々二一三

2

XjX,=°”[一^,8'||AB|=yjl+k1Xj-x2|=J+F?&1+.4)2_4中2=

易得當(dāng)〃『=0時，|4B|3x=指，故|4B|的最大值為幾.

⑴設(shè)/即必)，5(x2,.y2),C(x3,y3),D(x4,v4),

設(shè)人女尸:（曾,空利=卬）,六屈“：（安,記

=(-2-0)

&+y：=l①

冬）（再二川）+（乂+衩）（-也）=]

有(,?①~<D得：a+4—―=i.叩

等+萬貨=￡②3(1一矛)1-A2

再一八二3{1,7值-//.43(17

一1——占=—11--

(_2)(再_*)]1-2-2nl44③，同理~44

3(1-4)Xj+AX_7三+小=27

32產(chǎn)x=-j--

iTrr-i4t44"

4/1+〃4

必="

同時,-4,由于CD過定點(diǎn)0，故

4V-當(dāng)

--

一〃

11

必一了2L_1

——i=——in-A4-A4=>乂一三=一!伊_4)⑥結(jié)合⑤⑥可得”包=1，即左=1.

77114不一x?

芭4---XAd-------

3444424〃

x222

【例6】已知橢圖+\=1(。>6>0)的離心率為上，半焦距為c(c>0),且o-c=l.經(jīng)過橢圓的左

b23

焦點(diǎn)產(chǎn),斜率為右(卷W0)的直線與橢圓交于4、8兩點(diǎn),O為坐標(biāo)原點(diǎn).

(1)求橢圓r的標(biāo)準(zhǔn)方程：

(2)當(dāng)月=1時，求$-8的值;

(3)設(shè)&(1,0),延長4R,E及分別與橢圓交卜C、。兩點(diǎn)，江線CD的斜率為用，求證：3■為定值.

—=—m=3x2v2

解：(1)由題意，得《43解得4???〃=〃2一。2=5故橢圓「的方程為一+2L=1.

1c=295

y=x+2

(2)由(I),知F(—2,0),.?.直線28的方程為y=x+2,由，/22

14x+36.x-9=0.ii