特訓(xùn)02 有理數(shù)（解答壓軸題十一大題型歸納）（原卷版）

特訓(xùn)02有理數(shù)（解答壓軸題，十一大題型歸納）目錄：題型1：化簡(jiǎn)絕對(duì)值題型2：絕對(duì)值方程題型3：數(shù)軸上兩點(diǎn)之間的距離，最值問題題型4：數(shù)軸上動(dòng)點(diǎn)-單動(dòng)點(diǎn)問題題型5：數(shù)軸上動(dòng)點(diǎn)-雙動(dòng)點(diǎn)問題題型6：數(shù)軸上動(dòng)點(diǎn)-三動(dòng)點(diǎn)問題題型7：有理數(shù)的運(yùn)算壓軸題-規(guī)律性、材料題題型8：有理數(shù)的運(yùn)算壓軸題-算24點(diǎn)題型9：有理數(shù)的運(yùn)算壓軸題-新定義題題型10：程序框圖題型11：有理數(shù)的四則運(yùn)算的實(shí)際應(yīng)用題型1：化簡(jiǎn)絕對(duì)值1．（1）數(shù)學(xué)小組遇到這樣一個(gè)問題：若a，b均不為零，求的值．請(qǐng)補(bǔ)充以下解答過程（直接填空）①當(dāng)兩個(gè)字母a，b中有2個(gè)正，0個(gè)負(fù)時(shí)，x=；②當(dāng)兩個(gè)字母a，b中有1個(gè)正，1個(gè)負(fù)時(shí)，x=；③當(dāng)兩個(gè)字母a，b中有0個(gè)正，2個(gè)負(fù)時(shí)，x=；綜上，當(dāng)a，b均不為零，求x的值為．（2）請(qǐng)仿照解答過程完成下列問題：①若a，b，c均不為零，求的值．②若a，b，c均不為零，且a+b+c=0，直接寫出代數(shù)式的值．2．在解決數(shù)學(xué)問題的過程中，我們常用到“分類討論”的數(shù)學(xué)思想，下面是運(yùn)用分類討論的數(shù)學(xué)思想解決問題的過程，請(qǐng)仔細(xì)閱讀，并解答題目后提出的探究問題.【提出問題】三個(gè)有理數(shù)a，b，c，滿足abc>0，求的值.【解決問題】解：由題意得：a，b，c三個(gè)有理數(shù)都為正數(shù)或其中一個(gè)為正數(shù)，另兩個(gè)為負(fù)數(shù).①當(dāng)a，b，c，都是正數(shù)，即a>0，b>0，c>0時(shí)，則==1+1+1=3；②當(dāng)a，b，c有一個(gè)為正數(shù)，另兩個(gè)位負(fù)數(shù)時(shí)，設(shè)a>0，b<0，c<0，則==1?1?1=?1；所以的值為3或?1.【探究】請(qǐng)根據(jù)上面的解題思路解答下面的問題：(1)三個(gè)有理數(shù)a，b，c滿足abc<0，求的值；(2)已知=9，=4，且a<b，求a?2b的值.題型2：絕對(duì)值方程3．?dāng)?shù)軸上點(diǎn)A表示數(shù)a，點(diǎn)B表示數(shù)b，點(diǎn)C表示數(shù)c，若規(guī)定，(1)當(dāng)時(shí)，則___，___．(2)當(dāng)時(shí)，則___．(3)當(dāng)，且，求c的值．4．閱讀下列有關(guān)材料并解決有關(guān)問題．我們知道，現(xiàn)在我們可以利用這一結(jié)論來化簡(jiǎn)含絕對(duì)值的代數(shù)式．例如：化簡(jiǎn)代數(shù)式時(shí)，可令和，分別求得和（稱-1，2分別為與的零點(diǎn)值）．在有理數(shù)范圍內(nèi)，零點(diǎn)值和可將全體有理數(shù)分成不重復(fù)且不遺漏的如下3種情況：，，．從而在化簡(jiǎn)時(shí)，可分以下三種情況：①當(dāng)時(shí)，原式；②當(dāng)時(shí)，原式；③當(dāng)時(shí)，原式．通過以上閱讀，請(qǐng)你解決問題：(1)的零點(diǎn)值是__________．(2)化簡(jiǎn)代數(shù)式；(3)解方程．題型3：數(shù)軸上兩點(diǎn)之間的距離，最值問題5．人們通過長(zhǎng)期觀察發(fā)現(xiàn)如果早晨天空中棉絮的高積云，那么午后常有雷雨降臨，于是有了“朝有破絮云，午后雷雨臨”的諺語(yǔ)．在數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)過程中，通過對(duì)簡(jiǎn)單情形的觀察、分析，從特殊到一般地探索這類現(xiàn)象的規(guī)律、提出猜想的思想方法稱為歸納．【數(shù)學(xué)問題】數(shù)軸上分別表示數(shù)a和數(shù)b的兩個(gè)點(diǎn)A、B之間的距離該如何表示？【問題探究】（1）觀察分析（特殊）：①當(dāng)，時(shí)，A，B之間的距離；②當(dāng)，時(shí)，A，B之間的距離______；③當(dāng)，時(shí)，A，B之間的距離______．（2）一般結(jié)論：數(shù)軸上分別表示有理數(shù)a，b的兩點(diǎn)A，B之間的距離表示為______；【問題解決】（3）應(yīng)用：數(shù)軸上，表示x和3的兩點(diǎn)A和B之間的距離是5，試求x的值；【問題拓展】（4）拓展：①若，則______．②若，則______．③若x，y滿足，則代數(shù)式的最大值是______，最小值是______．6．（1）探索材料1（填空）：數(shù)軸上表示數(shù)m和數(shù)n的兩點(diǎn)之間的距離等于．例如數(shù)軸上表示數(shù)2和5的兩點(diǎn)距離為；數(shù)軸上表示數(shù)3和的兩點(diǎn)距離為；的意義可理解為數(shù)軸上表示數(shù)和這兩點(diǎn)的距離；（2）探索材料2（填空）：①如圖1，在工廠的一條流水線上有兩個(gè)加工點(diǎn)A和B，要在流水線上設(shè)一個(gè)材料供應(yīng)點(diǎn)P往兩個(gè)加工點(diǎn)輸送材料，材料供應(yīng)點(diǎn)P應(yīng)設(shè)在才能使P到A的距離與P到B的距離之和最??？

②如圖2，在工廠的一條流水線上有三個(gè)加工點(diǎn)A，B，C，要在流水線上設(shè)一個(gè)材料供應(yīng)點(diǎn)P往三個(gè)加工點(diǎn)輸送材料，材料供應(yīng)點(diǎn)P應(yīng)設(shè)在才能使P到A，B，C三點(diǎn)的距離之和最?。?/p>

③如圖3，在工廠的一條流水線上有四個(gè)加工點(diǎn)A，B，C，D，要在流水線上設(shè)一個(gè)材料供應(yīng)點(diǎn)P往四個(gè)加工點(diǎn)輸送材料，材料供應(yīng)點(diǎn)P應(yīng)設(shè)在才能使P到A，B，C，D四點(diǎn)的距離之和最??？

（3）結(jié)論應(yīng)用（填空）：①代數(shù)式的最小值是______，此時(shí)x的范圍是_______；②代數(shù)式的最小值是_______，此時(shí)x的值為______；③代數(shù)式的最小值是______，此時(shí)x的范圍是______．題型4：數(shù)軸上動(dòng)點(diǎn)-單動(dòng)點(diǎn)問題 7．如圖，已知：、分別是數(shù)軸上兩點(diǎn)、所表示的有理數(shù)，滿足．

(1)求、兩點(diǎn)相距多少個(gè)單位長(zhǎng)度？(2)若點(diǎn)在數(shù)軸上，點(diǎn)到點(diǎn)的距離是點(diǎn)到點(diǎn)距離的，求點(diǎn)表示的數(shù)；(3)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，先向左移動(dòng)一個(gè)單位長(zhǎng)度，再向右移動(dòng)個(gè)單位長(zhǎng)度，再向左移動(dòng)個(gè)單位長(zhǎng)度，再向右移動(dòng)個(gè)單位長(zhǎng)度，如此下去，依次操作次后，求點(diǎn)表示的數(shù)．8．七年級(jí)數(shù)學(xué)興趣小組成員自主開展數(shù)學(xué)微項(xiàng)目研究，他們決定研究“折線數(shù)軸”．探索“折線數(shù)軸”素材1

如圖，將一條數(shù)軸在原點(diǎn)O，點(diǎn)B，點(diǎn)C處折一下，得到一條“折線數(shù)軸”．圖中點(diǎn)A表示，點(diǎn)B表示，點(diǎn)C表示24，點(diǎn)D表示，我們稱點(diǎn)A與點(diǎn)D在數(shù)軸上的“友好距離”為個(gè)單位長(zhǎng)度，并表示為．素材2

動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，以2個(gè)單位長(zhǎng)度/秒的初始速度沿著“折線數(shù)軸”向其正方向運(yùn)動(dòng)．當(dāng)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)O與點(diǎn)B之間時(shí)速度變?yōu)槌跏妓俣鹊囊话耄?dāng)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B與點(diǎn)C之間時(shí)速度變?yōu)槌跏妓俣鹊膬杀叮?jīng)過點(diǎn)C后立刻恢復(fù)初始速度．問題解決探索1

動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)至點(diǎn)B需要多少時(shí)間？探索2

動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，運(yùn)動(dòng)t秒至點(diǎn)B和點(diǎn)C之間時(shí)，求點(diǎn)P表示的數(shù)（用含t的代數(shù)式表示）；探索3

動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，運(yùn)動(dòng)至點(diǎn)D的過程中某個(gè)時(shí)刻滿足時(shí)，求動(dòng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的時(shí)間．題型5：數(shù)軸上動(dòng)點(diǎn)-雙動(dòng)點(diǎn)問題9．?dāng)?shù)軸體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，若數(shù)軸上點(diǎn)A，B表示的數(shù)分別為a，b，則A、B兩點(diǎn)之間的距離表示為．如：點(diǎn)A表示的數(shù)為2，點(diǎn)B表示的數(shù)為3，則．問題提出：(1)填空：如圖，數(shù)軸上點(diǎn)A表示的數(shù)為?2，點(diǎn)B表示的數(shù)為13，A、B兩點(diǎn)之間的距離______，線段AB的中點(diǎn)表示的數(shù)為______．(2)拓展探究：若點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，以每秒3個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿?cái)?shù)軸向右運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā)．以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向左運(yùn)動(dòng)．設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒（t>0）①用含t的式子表示：t秒后，點(diǎn)Р表示的數(shù)為______；點(diǎn)Q表示的數(shù)為______；②求當(dāng)t為何值時(shí)，P、Q兩點(diǎn)相遇，并寫出相遇點(diǎn)所表示的數(shù)．(3)類比延伸：在（2）的條件下，如果P、Q兩點(diǎn)相遇后按照原來的速度繼續(xù)運(yùn)動(dòng)，當(dāng)各自到達(dá)線段AB的端點(diǎn)后立即改變運(yùn)動(dòng)方向，并以原來的速度在線段AB上做往復(fù)運(yùn)動(dòng)，那么再經(jīng)過多長(zhǎng)時(shí)間P、Q兩點(diǎn)第二次相遇．請(qǐng)直接寫出所需要的時(shí)間和此時(shí)相遇點(diǎn)所表示的數(shù)．10．材料閱讀：當(dāng)點(diǎn)C在線段上，且時(shí)，我們稱n為點(diǎn)C在線段上的點(diǎn)值，記作．如點(diǎn)C是的中點(diǎn)時(shí)，則，記作；反過來，當(dāng)時(shí)，則有．因此，我們可以這樣理解：與具有相同的含義．

初步感知：(1)如圖1，點(diǎn)C在線段上，若，則_______；若，則_______；(2)如圖2，已知線段，點(diǎn)P、Q分別從點(diǎn)A和點(diǎn)B同時(shí)出發(fā)，相向而行，運(yùn)動(dòng)速度均為，當(dāng)點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)B時(shí)，點(diǎn)P、Q同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為．請(qǐng)用含有t的式子表示和，并判斷它們的數(shù)量關(guān)系．拓展運(yùn)用：(3)已知線段，點(diǎn)P、Q分別從點(diǎn)A和點(diǎn)B同時(shí)出發(fā)，相向而行，若點(diǎn)P、Q的運(yùn)動(dòng)速度分別為和，點(diǎn)Q到達(dá)點(diǎn)A后立即以原速返回，點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)B時(shí)，點(diǎn)P、Q同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為ts．則當(dāng)t為何值時(shí)，等式成立．題型6：數(shù)軸上動(dòng)點(diǎn)-三動(dòng)點(diǎn)問題11．已知：b是最小的正整數(shù)，且a、b、c滿足，請(qǐng)回答問題．

(1)請(qǐng)直接寫出a、b、c的值．______，______，______；(2)a、b、c所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)分別為A、B、C，點(diǎn)P為一動(dòng)點(diǎn)，其對(duì)應(yīng)的數(shù)為x，點(diǎn)P在0到2之間運(yùn)動(dòng)時(shí)即（時(shí)），請(qǐng)化簡(jiǎn)式子：（請(qǐng)寫出化簡(jiǎn)過程）；(3)在（1）（2）的條件下，點(diǎn)A、B、C開始在數(shù)軸上運(yùn)動(dòng)，若點(diǎn)A以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向左運(yùn)動(dòng)，同時(shí)，點(diǎn)B和點(diǎn)C分別以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度和5個(gè)單位長(zhǎng)度的速度也向左運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t，是否存在t，使A、B、C中一點(diǎn)是其它兩點(diǎn)的中點(diǎn)，若存在，求t的值，若不存在，說明理由．12．閱讀下面材料：若點(diǎn)在數(shù)軸上分別表示實(shí)數(shù)，則兩點(diǎn)之間的距離表示為，且；回答下列問題：(1)①數(shù)軸上表示和2的兩點(diǎn)和之間的距離是；②在①的情況下，如果，那么為；(2)代數(shù)式取最小值時(shí)，相應(yīng)的的取值范圍是．(3)若點(diǎn)在數(shù)軸上分別表示數(shù)，是最大的負(fù)整數(shù)，且，①直接寫出的值．②點(diǎn)同時(shí)開始在數(shù)軸上運(yùn)動(dòng)，若點(diǎn)以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向左運(yùn)動(dòng)，同時(shí)，點(diǎn)和點(diǎn)分別以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度和3個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向右運(yùn)動(dòng)，假設(shè)秒鐘過后，若點(diǎn)與點(diǎn)之間的距離表示為，點(diǎn)與點(diǎn)之間的距離表示為．請(qǐng)問：的值是否隨著時(shí)間的變化而改變？若變化，請(qǐng)說明理由；若不變，請(qǐng)求其值．

題型7：有理數(shù)的運(yùn)算壓軸題-規(guī)律性、材料題13．問題情境：數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，王老師出示了一個(gè)問題：，，，．(1)利用規(guī)律計(jì)算：；(2)問題拓展，求；(3)問題解決：求的值．14．請(qǐng)觀察下列算式，找出規(guī)律并填空．，，，．則第10個(gè)算式是________，第個(gè)算式是________．根據(jù)以上規(guī)律解讀以下兩題：（1）求的值；（2）若有理數(shù)，滿足，試求：的值．題型8：有理數(shù)的運(yùn)算壓軸題-算24點(diǎn)15．現(xiàn)有5張卡片寫著不同的數(shù)字，利用所學(xué)過的加、減、乘、除、乘方運(yùn)算按要求解答下列問題（每張卡片上的數(shù)字只能用一次）．

(1)從中取出2張卡片，使這2張卡片上數(shù)字的和最小，則和的最小值為_________．(2)從中取出2張卡片，使這2張卡片上數(shù)字的差最大，則差的最大值為________．(3)從中取出2張卡片，使這2張卡片上數(shù)字相除的商最大，則商的最大值為_________．(4)從中取出3張卡片，使這3張卡片上數(shù)字的乘積最大，乘積的最大值為__________．(5)從中取出4張卡片，使這4張卡片上的數(shù)字運(yùn)算結(jié)果為24．寫出兩個(gè)不同的等式，分別為，．16．點(diǎn)游戲是一種撲克牌類的益智類游戲，游戲規(guī)則是：從一副撲克牌（去掉大小王）中任意抽取張牌，根據(jù)牌面上的數(shù)字進(jìn)行混合運(yùn)算（每張牌必須用且只能用一次，可以加括號(hào)），使得運(yùn)算結(jié)果為或．例如：抽到的數(shù)字為“，，，”，則可列式并計(jì)算為：．如果?、◆表示正，?、?表示負(fù)（如“◆”為“”，“?”為“”），請(qǐng)對(duì)下面兩組撲克牌按要求進(jìn)行記數(shù)，并按“點(diǎn)”游戲規(guī)則對(duì)兩組數(shù)分別進(jìn)行列式計(jì)算，使其運(yùn)算結(jié)果均為或．①依次記為：_________________

列式計(jì)算：__________________．②依次記為：_________________

列式計(jì)算：_______．題型9：有理數(shù)的運(yùn)算壓軸題-新定義題17．材料一：對(duì)任意有理數(shù)a，b定義運(yùn)算“”，，如：，．材料二：規(guī)定表示不超過a的最大整數(shù)，如，，．(1)______，=______；(2)求的值：(3)若有理數(shù)m，n滿足，請(qǐng)直接寫出的結(jié)果．18．規(guī)定：求若干個(gè)相同的有理數(shù)（均不等0）的除法運(yùn)算叫做除方，如，等.類比有理數(shù)的乘方，我們把記作，讀作“2的圈3次方”記作，讀作“的圈4次方”.一般地，把記作a?，“讀作“a的圈n次方”(1)（初步探究）直接寫出計(jì)算結(jié)果：________，=________.(2)關(guān)于除方，下列說法錯(cuò)誤的是________A．任何非零數(shù)的圈3次方都等于它的倒數(shù)

B．對(duì)于任何正整數(shù)n，1?=1C．

D．負(fù)數(shù)的圈奇數(shù)次方結(jié)果是負(fù)數(shù)，負(fù)數(shù)的圈偶數(shù)次方結(jié)果是正數(shù)（深入思考）我們知道，有理數(shù)的減法運(yùn)算可以轉(zhuǎn)化為加法運(yùn)算，除法運(yùn)算可以轉(zhuǎn)化為乘法運(yùn)算，有理數(shù)的除方運(yùn)算如何轉(zhuǎn)化為乘法運(yùn)算呢？(3)試一試：仿照上面的算式，將下列運(yùn)算結(jié)果直接寫成冪的形式=________；=_________；=_______(4)想一想：將一個(gè)非零有理數(shù)a的圈n次方寫成冪的形式是________(5)算一算：.題型10：程序框圖19．如圖，是一個(gè)“有理數(shù)轉(zhuǎn)換器”（箭頭是數(shù)進(jìn)入轉(zhuǎn)換器的路徑，方框是對(duì)進(jìn)入的數(shù)進(jìn)行轉(zhuǎn)換的轉(zhuǎn)化器）（1）求當(dāng)小明輸入、兩個(gè)數(shù)時(shí)輸出的結(jié)果；（2）當(dāng)輸出的結(jié)果為0時(shí)，求輸入的數(shù)值（寫兩個(gè)即可）；（3）在正數(shù)、0、負(fù)數(shù)中，試探究這個(gè)“有理數(shù)轉(zhuǎn)化器”不可能輸出的數(shù)．20．【知識(shí)背景】在學(xué)習(xí)計(jì)算框圖時(shí)，可以用“”表示數(shù)據(jù)輸入、輸出框；用“”表示數(shù)據(jù)處理和運(yùn)算框；用“”表示數(shù)據(jù)判斷框（根據(jù)條件決定執(zhí)行兩條路徑中的某一條）【嘗試解決】

（1）如圖1，當(dāng)輸入數(shù)時(shí)，輸出數(shù)______；如圖2，第①個(gè)“”內(nèi)，應(yīng)填______；第②個(gè)“”內(nèi)，應(yīng)填______；（2）如圖3，當(dāng)輸入數(shù)時(shí)，請(qǐng)計(jì)算出數(shù)y的值；【實(shí)際應(yīng)用】（3）為鼓勵(lì)節(jié)約用水，某市決定對(duì)家庭用水實(shí)行“階梯價(jià)”，當(dāng)每月用水量不超過10噸時(shí)（含10噸），以3元/噸的價(jià)格收費(fèi)；當(dāng)每月用水量超過10噸時(shí)，超過部分以4元/噸的價(jià)格收費(fèi)．如圖4是小聰設(shè)計(jì)的一個(gè)家庭水費(fèi)“計(jì)算框圖”，請(qǐng)把計(jì)算框圖中①②③方框補(bǔ)充完整．第①個(gè)“”內(nèi)，應(yīng)填____________；第②個(gè)“”內(nèi)，應(yīng)填__