2024年暑期初升高銜接數(shù)學(xué)-同步講義（帶解析）

目錄

初高中銜接........................................................................2

集合預(yù)習(xí)冊(cè).......................................................................15

集合..............................................................................17

集合關(guān)系預(yù)習(xí)冊(cè)...................................................................23

集合的關(guān)系.......................................................................25

集合的運(yùn)算預(yù)習(xí)冊(cè).................................................................30

集合的運(yùn)算.......................................................................32

函數(shù)的概念預(yù)習(xí)冊(cè).................................................................36

函數(shù)的概念.......................................................................38

函數(shù)的單調(diào)性預(yù)習(xí)冊(cè)...............................................................50

函數(shù)的單調(diào)性.....................................................................52

函數(shù)的奇偶性預(yù)習(xí)冊(cè)：............................................................60

函數(shù)的奇偶性.....................................................................62

函數(shù)性質(zhì)綜合預(yù)習(xí)冊(cè)..............................................................69

函數(shù)性質(zhì)綜合.....................................................................70

一次和二次函數(shù)預(yù)習(xí)冊(cè)............................................................75

?次和二次函數(shù)...................................................................78

指數(shù)運(yùn)算及指數(shù)函數(shù)預(yù)習(xí)冊(cè)........................................................95

指數(shù)運(yùn)算及指數(shù)函數(shù)..............................................................99

對(duì)數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)預(yù)習(xí)冊(cè)............................................................107

對(duì)數(shù)及對(duì)數(shù)函數(shù)..................................................................108

需函數(shù)預(yù)習(xí)冊(cè)....................................................................120

系函數(shù)...........................................................................121

函數(shù)與方程預(yù)習(xí)冊(cè)................................................................128

函數(shù)與方程......................................................................129

函數(shù)應(yīng)用題預(yù)習(xí)冊(cè)................................................................138

函數(shù)應(yīng)用題......................................................................143

初高中銜接

絕對(duì)值

經(jīng)典例題

例1解不等式：卜一1|十k一3|>4.

【解析】

解法一：由工一1=0,得x=l；由x-3=0,得x=3：

①若x<l,不等式可變?yōu)橐?工一1)一(x-3)>4,

即—2X+4>4,解得XVO,

又xVl，

/.A<0：

②若1W2,不等式可變?yōu)?x—l)—(x—3)>4,

即i>4,

...不存在滿(mǎn)足條件的X：

③若x23,不等式可變?yōu)?x-l)+(x-3)>4,

即2x-4>4,解得x>4.

又x>3,

/..r>4.

綜上所述，原不等式的解為

x<0,或x>4.

解法二：如圖1.1-1,卜-1|表示x軸上坐標(biāo)為x的點(diǎn)尸到坐標(biāo)為1的點(diǎn)力之間的距離|以|,

BP|B4|=|x-l|；卜一3|表示x軸上點(diǎn)尸到坐標(biāo)為2的點(diǎn)8之間的距離|P8|,即戶(hù)5|=k一3|.

所以，不等式k一1|+打一3|>4的幾何意義即為_(kāi)

\PA\+\PB\>4.1人：

由04|=2,可知PCABD

點(diǎn)P在點(diǎn)。(坐標(biāo)為0)的左側(cè)、或點(diǎn)P在點(diǎn)。(坐—I——I_I--------1_I--------

標(biāo)為4)的右側(cè).x0134x

xVO,或x>4.'V'

圖1.1-1

快速練習(xí)

1.若忖=5,則x=；若忖=卜4|,則x=.

2.如果時(shí)+例=5,且a=-1,則/)=；若|1一c|=2,則c=.

3.下列敘述正確的是)

(A)若同=例，則4=/)(B)若同>同,則手

(C)若4<6,則同<可(D)若同=可，則a=±b

4.化簡(jiǎn):|r—5|—|2x—13|(x>5).

乘法公式

(1)平方差公式(a+b)(a-b)=a2-b2；

(2)完全平方公式(a±b)2=a2±lab+h~.

(1)立方和公式(a+b)(a2-ab+b2)=ct'+b3；

(2)立方差公式(a-b)(a2+ab+b2)=ay-

(3)三數(shù)和平方公式(a+h+c)2=a2+b2+c2+2(ab+bc+ac)；

3322y

(4)兩數(shù)和立方公式(a+b)=a+3ab+3ab+bi

(5)兩數(shù)差立方公式(a-b)3=a3-3a2b+3ab2-b3.

經(jīng)典例題

例1：計(jì)算：(x+l)(.r-l)(x2-x+l)(x24-x+l).

【解析】

[(.r+l)(x2-x+l)][(x-l)(x2+x+l)]

=[x3+l][?-l]=x6-l

例2：已知〃+/>+c=4,ab+bc+ac=4,求。:+〃+<?的值.

【解析】

(^a+b+c)2=16<=>a2+b2+c2+2ah+2ac4-2bc=16

<=>a2+b2+c2=16-8=8

快速練習(xí)

l.-a2--b1=(-6+—cz)()；

9423

2.(4〃？+了=16〃/+4/〃+()；

3.(a+2b-c)2=a2+4b2+c2+().

4.若/+,〃吠+攵是一個(gè)完全平方式,

則上等于()

2

(A)nr(B)—zrz2(C)—m2(D)—nr

4316

5.不論。，6為何實(shí)數(shù)，a2+〃-2a-4b+8的值()

(A)總是正數(shù)(B)總是負(fù)數(shù)

(C)可以是零(D)可以是正數(shù)也可以是負(fù)數(shù)

分式

經(jīng)典例題

例1：若:5r-4:-4=4A+二R,求常數(shù)48的值.

x(x+2)xx+2

_5x+4__AB_4(x-2)+8x(4+8)x+24

x(x+2)-7x+2~-x(x+2)—-—x(x+2)

2A=4yA+B=5

A=2,B=3

例2:⑴試證:--------=---------(其中〃是正整數(shù));

〃(〃+1)nn+\

111

(2)計(jì)算:-----1-----F…H-------：

1x22x39x10

（3）證明：對(duì)任意人于1的正整數(shù)〃，有一!一十」一十11

--------<一

2x33x4〃(〃+1)2

【解析】

,、11〃+1n1

(1)-----------------------------------

n〃+1/?(?+!)〃(〃+1)7/(/24-1)

(2)++,??+=]——+———+|

1x22x39x102239101010

11

(3)----十------h

2x33x4〃(〃+1)2334〃〃+12n+\2

快速練習(xí)

11

1.對(duì)任意的正整數(shù)〃,；

〃(〃+2)箱）

2x-y2,,,x

2.若———=一，則—=()

x+y3y

56

(A)1(B)-（C）(D)

4?5

3.正數(shù)滿(mǎn)足2號(hào)，求匕的值.

x+y

4.計(jì)第-----+++…+

1x22x33x499x100

鞏固練習(xí)

1.(1)|x—1|>3；

(2)|x+3|+|x-2|<7：

(3)|.r-l|+|x+1|>6.

2.已知x+y=l,求x;j?+3號(hào),的值.

3.(1)(2+回(2-廚9=；

(2)若J(l-a)2+J(l+a)2_2,則口的取值范圍足

11111

⑶T7V2+^T^+V3774+^/5+V5776=-

3a2-ab

4.(1)a=—,b=—,則

233a2+Sab-2b2

(2)若/+盯-2/=0,則'+3.“：)

廠+y~

5.已知：x=-yy=—,求/―^i——r-^~t—的值?

23

6.(1)若,y—67—h—2,-J—b—\f—a?則)

(A)a<b(B)a>b(C)a<b<0(D)b<a<0

（2）計(jì)算等于)

(A)yj—ci(B)yfa(C)-J—a(D)

7.解方程2(x2+士)-3(x+1)-1=0.

XX

1111

8.計(jì)算:----1-----1F…H

1x32x43x59x11

9.試證：對(duì)任意的正整數(shù)n,有—!—+—!—+???+]

1x2x32x3x4〃(〃+1)(〃+2)4

因式分解

經(jīng)典例題

例】：分解因式：

(1)X2—3X~\~2；

(2)x2+4x—12

(3)x2-(a+h)xy+aby2；

(4)xy-\+x-y.

【解析】

(1)x2—3.r+2=(x-l)(x-2)

(2)X2+4X-12=(X-2)(A+6)

(3)x2—(a+b)xy+aby2=^x—ay)(^x—by)；

(4)+=x(y+l)-(y+l)=(x-l)(y+l).

例2：分解因式：

(1)x3+9+3.r2+3x：

(2)2x2+xy-y2-4x+5y-6.

【解析】(1)x3+9+3.r2+3x=(x3+3x2)+(3x+9)=x2(x+3)+3(x+3)

=(x+3)(x2+3).

^x3+9+3x2+3x=(x3+3x2+3x+l)+8=(x+l)3+8=(x+l)3+23

=[(X+1)+2][(X+1)2-(X+1)X2+22]

=(x+3)(x2+3).

(2)2x2+xy-y2-4x+5y-6=2x2+3-4)工一丁+-6

=2x2+(y-4)x-(y-2)(y-3)=(2x-y+2)(x+y-3).

或2x2+xy-y2-4x+5y-6=(2x2+xy-y2)-(4x-5y)-6

=(2x-y)(x+y)-(4x-5y)-6=(2x-y+2)(.r+y-3).

例3把下列關(guān)于x的二次多項(xiàng)式分解因式：

(1)x2+2x-l；(2)x2+4xy-4y2.

【解析】(1)令X2+2X-1=。，則解得*=—l+J2,X2=-l-V2,

x~+2x-l=[x-(-1+>/2)J^x—(—1—5/2)^

=(x+l-0)(x+l+@.

(2)令x?+4xy-4y2=0,則解得玉=(一2+2夜)y,x}=(-2-2>/2)y,

???x2+4.^-4產(chǎn)卜+2(1-42)y][x+2(1+衣刃.

快速練習(xí)

1.多項(xiàng)式2/-號(hào)一1572的一個(gè)因式為()

(A)2x-5y(B)x-3y(C)x+3y(D)x-5y

2.分解因式：

(I)X2+6X-I-8；

(2)8/—Z/：

(3)X2~2X~\

(4)4(x-y+\)+y(y-2x).

3.分解因式：

(1)a3+l；

(2)4X4-13X2+9：

(3)b2+c2+lab+lac+2bc；

(4)3x2^5xy-2y2+x+9y-4.

4.在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)因式分解：

(1)爐—5x4-3：

(2)X2-25/2X-3；

(3)3x2+4.vy-/：

(4)(X2-2X)2-7(X2-2X)+12.

5.A4/C三邊a,b,c滿(mǎn)足/+"+c2=4b+bc+cs,試判定的形狀.

6.分解因式：/+x—(/—a).

鞏固練習(xí)

1,x2+ax2+x+av-1-a

2.xy-x-y+\

3.ax-by-bx+ay

4.ac2+bd2-ad2-be2

5.abx2+bxy-axy-y2

6.xy+bx2+ar+ab

7.acxy+bex2+adx+bd

8.a2b2-a2-b2+1

9.x2y2z2-x2z-y2z+l

106ax2—^cTxy+Ixy—3ay2

11.5/-15X2-A-+3

12.5a'm-15am+3abm-9bm

\3.x3-2x2-x+2+x5-2x4x4+x3+x2+x

\4.(a+b)2+(a+c)2-(c+d)'-(b+d)2

\5.x2-x-9y2-3y

I6.X5+/-(X>+^4)

17.-1-2x-.r2+y2

\S.x2n+xn--y4m+-

9-4

\9.a(\-b)2-\+2b-b2

20.-a4-b4-c4+2a-b2+2b2c2+2c2a2xy+x2-y3-y2

21.ax3+x+a+1

22.a4-//)“+/

23.xi++x2+2xy+y2

24.x4+xsy+.vz3+yz}

25.x5+x4+/+/+x+1

26.(ay+bx)y-(ax+by)-+(ay-yy)

21.(a+bp+(b+cP+(<?+a)3+a-+b3+c3

28.x4+/+2x2+x+1

29.a4+2a3b+3a2b2+2ab3+bA

30.x4-3X2+\

31.d-23x?+1

32./+//+/

33.x'2-3/+1

34./+/+1

35.x4-7x2/+81/

36.(1+^)2-2X2(14-/)+/(I-^)2

37.x4-2(a2+b2)x2+(a2-b2):

38..r3(tz+1)-xy(x-y)(a-b)+)/(/)+1)

39.3?2-7?-63x2-8.r-3

40.5X2+12X-9

41,/+7r-30

42.27X2-33X-20

43.-6.r2+12-x

44.x2+144v2-25xy

45.6x2-7xy+2y2

46.12X2-I1^-15/

47.(x+y)2-4(x+y)-12；

48.12(x+y)2+ll(x+y)(x-y)+2(x-y)2

49.5+7(4+l)-6(a+1)2

50.x6-19X3/-216/

一元二次方程

例1：方程V-2瓜+3r=0的根的情況是（）

（A）有一個(gè)實(shí)數(shù)根（B）有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根

（C）有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根（D）沒(méi)有實(shí)數(shù)根

【解析】C

例2：若關(guān)于x的方程加/+（2〃7+1?+，〃=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)小的取值范

圍是（）

（A）m<—（B）///>——

44

(C)m<—,且〃子0(D)且切力)

44

【解析】D

例3：(1)若方程x2-3x-l=0的兩根分別是玉和馬，則'+2?=.

(2)方程〃*+x-2m=0(陽(yáng)H0)的根的情況是.

(3)以一3和1為根的一元二次方程是.

【解析】(1)—3(2)有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根(3)x2+2.r-3=0

例4：已知Ja2+8q+i6+|6-l|=0,當(dāng)攵取何值時(shí)，方程依2+仆+6=0有兩個(gè)不相等

的實(shí)數(shù)根？

【解析】ZV4,且后0

4.已知方程r-3x-l=0的兩根為演和馬，求(士―3)(七-3)的值.

【解析】(再一3)(々-3)=x1x2-3(x,+x2)+9

x

(i-3)(X2-3)=-l

鞏固練習(xí)

1.已知關(guān)于x的方程1+h一2=0的一個(gè)根是1,則它的另一個(gè)根是()

(A)-3(B)3(C)-2(D)2

2.下列四個(gè)說(shuō)法：

①方程/+2》-7=0的兩根之和為一2,兩根之積為一7：

②方程/-2\+7=0的兩根之和為一2,兩根之積為7：

7

③方程3/-7=0的兩根之和為0,兩根之積為一—：

3

④方程3/+2-0的兩根之和為一2,兩根之積為0.

其中正確說(shuō)法的個(gè)數(shù)是()

(A)1個(gè)(B)2個(gè)(C)3個(gè)⑴)4個(gè)

3.關(guān)于x的一元二次方程a?—5、+/+。=0的一個(gè)根是0,則。的值是()

(A)0(B)1(C)-1(D)0,或一1

4.方程依2+4工-1=0的兩根之和為一2,則k=.

S方程2/一丫一4二0的兩根為a,ft,則。2+〃2=

6.已知關(guān)于x的方程V—水一3。=0的一個(gè)根是一2,則它的另一個(gè)根是.

7.方程2—+2x—1=0的兩根為百和乙，則Ix~xiI=.

8.試判定當(dāng)m取何值時(shí)，關(guān)于x的一元二次方程M2x2-(2m+l)x+l=0有兩個(gè)不相等的實(shí)

數(shù)根？有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根？沒(méi)有實(shí)數(shù)根？

9.求一個(gè)一元二次方程，使它的兩根分別是方程/一7%-1=0各根的相反數(shù).

10.若關(guān)于X的方程/+伏2-］口+左+1=0的兩根互為相反數(shù)，則上的值為()

(A)1,或一1(B)1(C)-1(D)0

11.若m,〃是方程X2+2005.V-1=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則〃?2〃+〃?〃2—加〃的值等

于.

12.如果a,6是方程￥+尸1=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，那么代數(shù)式43+42力+4〃+"的值

是.

13.已知關(guān)于x的方程/一位一2二0.

(1)求證：方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；

(2)設(shè)方程的兩根為司和X”如果2($+公)〉工/2,求實(shí)數(shù)k的取值范圍.

14.一元二次方程〃/+以+3=0(。。0)的兩根為演和聲.求:

(1)|演一/I和3廣,；

33

(2)X,+X2.

15.關(guān)于x的方程f+4葉〃『0的兩根為七和々,滿(mǎn)足以一項(xiàng)1=2,求實(shí)數(shù)機(jī)的值.

16.已知一個(gè)直角三角形的兩條直角邊長(zhǎng)恰好是方程2/—8升7=0的兩根，則這個(gè)直角三

角形的斜邊長(zhǎng)等于()

(A)百(B)3(C)6(D)9

17.若玉和工2是方程2——4升1=0的兩個(gè)根，則土+土的值為()

X1%

、3

(A)6(B)4(C)3CD)-

2

18.如果關(guān)于x的方程/一2(1—Mx+/=o有兩實(shí)數(shù)根夕，則a+￡的取值范圍為()

(A)(B)a邛三；(C)(D)a+/3<\

19.已知a,b,c是A48C的三邊長(zhǎng)，那么方cx2+g+/))x+_L=o的根的情況是()

4

(A)沒(méi)有實(shí)數(shù)根(B)有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根

(C)有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根(D)有兩個(gè)異號(hào)實(shí)數(shù)根

20.若方程/-8%+加=0的兩根為$和X2,且3玉+2/=18,則〃尸.

21.己知玉和9是關(guān)于X的一元二次方程4A^2—4依?+%+]=()的兩個(gè)實(shí)數(shù)根.

(1)是否存在實(shí)數(shù)上使(2xi—/)(/-2/)=-巳成立？若存在，求出〃的值：若不存在,

2

說(shuō)明理由：

(2)求使±+%-2的值為整數(shù)的實(shí)數(shù)4的整數(shù)值：

與西

(3)若七一一2,4二五，試求九的值.

22.已知關(guān)于x的方程V—(〃?—2)x—1=0.

4

(1)求證：無(wú)論加取什么實(shí)數(shù)時(shí)，這個(gè)方程總有兩個(gè)相異實(shí)數(shù)根：

(2)若這個(gè)方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根玉，吃滿(mǎn)足=1芯|+2,求用的值及相應(yīng)的玉，天

23.若關(guān)于x的方程/+葉4=()的一個(gè)大于]、零一根小于1，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

二次函數(shù)

經(jīng)典例題

22

x+y=13,.7J

例1.下列各組中的值是不是方程組z的解？

x+y=5

x=2,x=3,x=-2,

(1)(2)(4)

y=3；y=2;J=一3；

【解析】(1)(2)是方程的組解；(3)(4)不是方程組的解.

例2.解下列方程組：

y=x+5,x+y=3,

(1)\x2+/=625;(2)

xy=-10;

22

----1--=1,

(3)-54

y=x-3;

玉二15,

【解析】(1〉〈

Y二20,

5

x=一,

3

4

3.解下列不等式：

(I)3X2—X-4>0(2)x2—x-12<0；

(3)X2+3X-4>0；(4)16—8x4-x2<0.

【解析】(I)x<-l,或:(2)-3Sv<4：(3)x<-4,或.。1：(4)x=4.

3

4.?解關(guān)于x的不等式.5+2廣卜1一/?0(a為常數(shù)).

【解析】不等式可以變?yōu)?x+l+a)(x+l—a)W0,

(1)當(dāng)一1—aV—1+a,即a>0時(shí)，—1~a<x<—14-a：

(2)當(dāng)一1一〃=-1+”,即a=0時(shí)，不等式即為(x+l)M0,，x=-l：

(3)當(dāng)一1一4>一1+小即“V0時(shí)，???一1+。心一1一。.

綜上，當(dāng)。>0時(shí)，原不等式的解為一1一。變-1+a：

當(dāng)。=0時(shí)，原不等式的解為x=-1：

當(dāng)aVO時(shí)，原不等式的解為-1+。三區(qū)一1-a.

快速練習(xí)

1.解下列方程組：

2

廠21(X-3)2+/=9,

⑴4-4---y二L

x+2y=0;

x-j^-2=0;

x-+y~=4,

⑴22

x--y=2.

2.解下列不等式：

(1)3X2-2X+1<0(2)3X2-4<0

(3)2x~x2>-1(4)4-x2<0

3.加取什么值時(shí),方程組

y2=4x,

y=2x+m

有一個(gè)實(shí)數(shù)解?并求出這時(shí)方程組的解.

4.解關(guān)于x的不等式x2-(l+a)x+a<0(?為常數(shù)).

5.已知關(guān)干x不等式的解為xv—l,或X>3.試解關(guān)干X的不等式

hx2+cx+4>0.

6.試求關(guān)于X的函數(shù)y=江+2在04e2上的最大值日

集合預(yù)習(xí)冊(cè)

例1：180以上的男生是否可以構(gòu)成集合

【解析】可以，180以上的男生是確定的

例2：帥哥是否可以構(gòu)成集合

【解析】不可以，帥是無(wú)法確定的，一個(gè)人是否在集合內(nèi)無(wú)法做出確定的判斷。

例3：集合｛1,2,3,4,5｝中，1與｛1,234,5｝的關(guān)系是什么？

【解析】屬于，用W符號(hào)表示

10分鐘

1、判斷以下元素的全體是否組成集合，并說(shuō)明理由：

①某班個(gè)子較高的同學(xué)

②長(zhǎng)壽的人

③行的近似值

④倒數(shù)等于它本身的數(shù)

⑤比較小的正整數(shù)全體；

⑥血壓很高的人；

⑦著名的數(shù)學(xué)家；

⑧平面直角坐標(biāo)系內(nèi)所有第三象限的點(diǎn)

⑨平面上到點(diǎn)O的距離等于1的點(diǎn)的全體；

⑩正三角形的全體：

2、以下符號(hào)分別表示什么集合：

①N

②M

③Z

?Q

⑤R

3、用符號(hào)￡或任填空：

①/=｛2,4,8,16｝,則4_____A,8A,32—A.

②]_____N,0______N.-3_____Q,0.5Z,V2_____R.

(§)—R,y/5_____Q,|-3|N+>_VJ_____Z..

20分鐘

4.三&},那么廣

1+z

5.對(duì)于集合4二{2,4,6},若?！赆?，則6-?！赆埽敲碼的值是____.

6.由實(shí)數(shù)蒼-、,國(guó)所組成的集合，其元素最多有個(gè).

7.集合B,x,x2一2其中，x應(yīng)滿(mǎn)足的條件是____.

8.設(shè)上{2,3,/+2"3},8={a+3,2},若己知5”,且5仁8,那么。=—.

30分鐘

9.已知集合4=卜|h2-8工+16=。}只有一個(gè)元素，試求實(shí)數(shù)A的值，并用列舉法表示集合

A.

集合

預(yù)備知識(shí)：

SK自然數(shù)的定義、有理數(shù)的定義、整數(shù)的定義、實(shí)數(shù)的定義。

S2、解決一元二次方程解的情況。

快速測(cè)試題:

1、3和-5都是整數(shù)？GohelpSI

2、。是自然數(shù)？GohelpSI

3、幾是有理數(shù)？GohelpSi

4、X2+2=0GohelpS2

5、x2-x-2=0GohelpS2

引入：

“集合”一詞與我們?nèi)粘Ｊ煜さ摹罢w”、“一類(lèi)”、“一群”等詞語(yǔ)的意義相近，例如：數(shù)學(xué)

書(shū)的全體、地球上人的全體、所有文具的全體，所有新東方的學(xué)員等都可以看成對(duì)象的集合。

集合論是德國(guó)數(shù)學(xué)家康托在19世紀(jì)末創(chuàng)立的，集合語(yǔ)言是現(xiàn)代數(shù)學(xué)的基本語(yǔ)言。使用

集合語(yǔ)言，可以簡(jiǎn)潔、準(zhǔn)確地表達(dá)數(shù)學(xué)的一些內(nèi)容。高中數(shù)學(xué)課程只將集合作為一種語(yǔ)言來(lái)

學(xué)習(xí)，學(xué)生將學(xué)會(huì)使用最基本的集合語(yǔ)言表示有關(guān)的數(shù)學(xué)對(duì)象，發(fā)展運(yùn)用數(shù)學(xué)語(yǔ)言進(jìn)行交流

的能力。

集合語(yǔ)言是現(xiàn)代數(shù)學(xué)的基本語(yǔ)言。在高中數(shù)學(xué)課程中，它也是學(xué)習(xí)、掌握和使用數(shù)學(xué)語(yǔ)

言的基礎(chǔ),因此把它安排在了高中數(shù)學(xué)的起始章C教科書(shū)從學(xué)生熟悉的集合（有理數(shù)的集合、

直線或圓上的點(diǎn)集等）出發(fā)，結(jié)合學(xué)生身邊的實(shí)例引出元素、集合的概念，介紹了表示集合

的列舉法和描述法及韋恩圖：類(lèi)比實(shí)數(shù)間的相等、大小關(guān)系，通過(guò)對(duì)具體實(shí)例共性的分析、

概括出了集合間的相等、包含關(guān)系：針對(duì)具體實(shí)例，通過(guò)類(lèi)比實(shí)數(shù)間的加法運(yùn)算引出了集合

間“并”的運(yùn)鳧，并在此基礎(chǔ)上進(jìn)一步擴(kuò)展，介紹了“交”的運(yùn)和和“補(bǔ)”的運(yùn)和。這里采用類(lèi)比

方式處理集合間的關(guān)系和運(yùn)算的目的在于體現(xiàn)知識(shí)之間的聯(lián)系，滲透數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的方法。

適當(dāng)?shù)匾爰现R(shí)是在中學(xué)數(shù)學(xué)教材中滲透近代數(shù)學(xué)思想的基礎(chǔ)。這里“滲透”的意思

是，學(xué)習(xí)與中學(xué)數(shù)學(xué)內(nèi)容相關(guān)的集合語(yǔ)言，使中學(xué)數(shù)學(xué)內(nèi)容表述更加準(zhǔn)確，邏輯更加清楚，

以幫助學(xué)生正確的理解和運(yùn)用中學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)。應(yīng)注意，在中學(xué)不可能用集合的理論嚴(yán)格地建

立中學(xué)數(shù)學(xué)體系。

那什么叫做集合？什么叫做元素呢？

下而我們看看幾個(gè)集合的例子：

中國(guó)代表團(tuán)步入亞特蘭大奧林匹克體育場(chǎng)的照片，代表團(tuán)的309名成員構(gòu)成一個(gè)集合；

平行四邊形的全體構(gòu)成一個(gè)集合，其中每個(gè)平行四邊形都是這個(gè)集合的元素；

圓是平面上與一個(gè)定點(diǎn)O的距離等于定長(zhǎng)r的點(diǎn)的集合；

線段的垂直平分線是到一條線段的兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等的點(diǎn)的集合：

中國(guó)的直轄市（北京，上海，天津，重慶）也可組成一個(gè)集合；

中國(guó)古代的四大發(fā)明（火藥，印刷術(shù)，指南針，造紙術(shù)）也課組成一個(gè)集合;

下面我們說(shuō)幾個(gè)不是集合的例子:

①接近于0的數(shù)的全體；

②比較小的正整數(shù)全體：

③我的近似值的全體;

④某班個(gè)子較高的同學(xué):

⑤某班學(xué)習(xí)較好的學(xué)生。

基礎(chǔ)知識(shí):

1.集合及元素的概念

（1）集合：某些指定的對(duì)象集在一起就形成一個(gè)集合（簡(jiǎn)稱(chēng)集）.

（2）元素：集合中每個(gè)對(duì)象叫做這個(gè)集合的元素

（3）元素用小寫(xiě)字母…表示；集合用大寫(xiě)字母48,C,…表示.

（4）不含任何元素的集合叫做空集，記作0.

（5）集合相等：只要構(gòu)成兩個(gè)集合的元素是一樣的，我們就稱(chēng)這兩個(gè)集合是相等的。

2.元素與集合間關(guān)系：

（1）屬于：如果〃是集合A的元素，就說(shuō)。屬于A,記作

（2）不屬于：如果。不是集合A的元素，就說(shuō)〃不屬于A,記作。任力

3.集合中元素的特性

（1）確定性：按照明確的判斷標(biāo)準(zhǔn)給定一個(gè)元素或者在這個(gè)集合里，

或者不在，不能模棱兩可.

（2）互異性：集合中的元素沒(méi)有重復(fù)

（3）無(wú)序性：集合中的元素沒(méi)有一定的順序（通常用正常的順序?qū)懗觯?/p>

4.常用數(shù)集及記法

（I）自然數(shù)集：全體非負(fù)整數(shù)的集合.記作N,N={0,1,2,3,…}

（2）正整數(shù)集：非負(fù)整數(shù)集內(nèi)排除0的集記作N*或N+，V={1,2,3,…}

（3）整數(shù)集：全體整數(shù)的集合.記作Z,Z={0,±l,±2,…}

（4）有理數(shù)集：全體有理數(shù)的集合記作0,0={所有整數(shù)與分?jǐn)?shù)}

（5）實(shí)數(shù)集：全體實(shí)數(shù)的集合記作及，/?-{數(shù)軸上所有的點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的數(shù)}

課時(shí)例題:

例1.若。是火中的元素，但不是。中的元素，則?？梢允?)

A.3.14B.-5C.-D."

7

【解析】由題意知。應(yīng)為無(wú)理數(shù)，故〃可以為J7。答案：D

例2.下面右.四個(gè)結(jié)論：

①集合N中最小數(shù)為1；②若一。任N,則aeN；③若ae/V,6cN,則。+力的最小

值為2：④所有的正數(shù)組成一個(gè)集合.其中，正確結(jié)論的個(gè)數(shù)為()

A.0B.1

C.2D.3

【解析】①錯(cuò)，最小為0：②錯(cuò)，若。=1.5,-a=-\.5,則一1.5任N：③錯(cuò)，若〃=(),

/)=0,則。+8=0：④正確.答案：B

例3.給出下列四個(gè)命題：①平方等于一1的實(shí)數(shù)不能組成一個(gè)集合；②正方形組成的集合

只有一個(gè)元素；③f+2x+l=()的解集是空集：④若?！炅Γ瑒t力有可能為空集。其中，

正確命題的個(gè)數(shù)為()

A.0B.1

C.2D.3

【解析】①能組成一個(gè)空集；②有很多元素(大小不同的正方形)；③方程/+2工+1=0有

解、二一1：④力.說(shuō)明力中含有元素a,無(wú)論。為何值，都是一個(gè)確定的數(shù).，力不

可能為空集.答案：A

例4.已知①行wR：②;€0；③0=｛0｝：④0史N：⑤不￡。；⑥一3wZ。其中正

確的個(gè)數(shù)為.

【解析】③錯(cuò)誤，0是元素，也｝是一個(gè)集合；④06N：⑤乃任0,①②⑥正確.答案：3

快速練習(xí):

1.判斷下列說(shuō)法是否正確，并說(shuō)明理由.

(1)某個(gè)單位里的年輕人組成?個(gè)集合；

(2)1,--,」這些數(shù)組成的集合有5個(gè)元素;

2422

(3)由。力,c組成的集合與由aa,c組成的集合是同一個(gè)集合.

2.下列命題中正確的是()

①0與｛0｝｝表示同一個(gè)集合；②由1,2,3組成的集合可表示為｛1,2,3｝或｛｛3,2,1｝：③方程

(X-1)2(X-2)=0的所有解的集合可表示為｛1,1,2｝；④集合｛x|4vx<5｝可以用列舉法表示.

A.只有①和④B,只有②和③

C.只有②D.以上命題都不對(duì)

3.設(shè)xwA,集合力中含有三個(gè)元素3,x,X7-2x0

(1)求元素x應(yīng)滿(mǎn)足的條件：

(2)若一2d,求實(shí)數(shù)X。

引入:

如果一個(gè)集合是有限集，元素又不太多，常常把集合的所有的元素都列舉出來(lái)。

另一種更加有效的描述集合的方法，是用集合中元素的特征性質(zhì)來(lái)描述。

基礎(chǔ)知識(shí):

5.集合的表示方法；

（I）列舉法：把集合中的元素一一列舉出來(lái)，寫(xiě)在大括號(hào)內(nèi)；

例：由方程x2-l=O的所有解組成的集合可表示為{-1,1}

例；所有大于0且小于1。的奇數(shù)組成的集合可表示為{1,357,9}

（2）描述法：把集合中的元素的公共屬性描述出來(lái)，寫(xiě)在大括號(hào){}內(nèi).

①具體方法：在大括號(hào)內(nèi)先寫(xiě)上表示這個(gè)集合元素的一般符號(hào)及取值（或變化）范圍，

再畫(huà)一條豎線，在豎線后寫(xiě)出這個(gè)集合中元素所具有的共同特征.語(yǔ)言描述法：例

{不是直角三角形的三角形}

②數(shù)學(xué)式子描述法：例不等式x-3>2的解集是卜€(wěn)/?卜-3〉2}或卜卜-3〉2}

注意：列舉法與描述法各有優(yōu)點(diǎn)，應(yīng)該根據(jù)具體問(wèn)題確定采用哪種表示法，要注意，一般集

合中兀素較多或有尢限個(gè)兀素時(shí)，小宜米用列舉法.

（3）Venn圖（韋恩圖）：

即畫(huà)一條封閉的曲線，用它的內(nèi)部來(lái)表示一個(gè)集合，如下圖所示：

表示任意?個(gè)集合A

表示{3,9,12}

6.集合的分類(lèi)

（1）有限集含有有限個(gè)元素的集合

（2）無(wú)限集含有無(wú)限個(gè)元素的集合

（3）空集不含任何元素的集合中

課時(shí)例題:

例1.集合卜eN+卜—3<2}的另一種表示方法是（）

A.{0,1,23,4}B.{1,23,4}

C.{0,123,4,5}D.{12,3,4,5}

【解析】題目中用描述法表示集合，選項(xiàng)中想讓用列舉法表示集合。題口中集合中元素滿(mǎn)足

工<5且工€%+，所以集合的元素有1,2,3,4。答案：B

例2.下列集合的表示法正確的是（）

A.第二、四象限內(nèi)的點(diǎn)集可表示為M

B.不等式x-l<4的解集為{x<5}

C.{全體整數(shù)}

D.實(shí)數(shù)集口J表本為A

【解析】選項(xiàng)A中應(yīng)是個(gè)<0；選項(xiàng)B的本意是想用描述法表示，但不符合描述法的規(guī)范

格式，缺少了豎線和豎線前面的代表元素x；選項(xiàng)C的”｛『與“全體”意思重復(fù).答案：D

快速練習(xí):

方程組+'"2的解集是（）

I.

\x-2y=-\

A.{x=lj=l}B.{1}C.{（1,1）}D.｛（xj］（l』）｝

2.已知集合〃=卜,=7〃+2,〃wN},則2011M,2012M（填e或任）.

3.已知集合力=1工——12則用列舉法表示為_(kāi)________

5-x

4.用適當(dāng)?shù)姆椒枋鱿铝屑?，并且說(shuō)明它們是有限集還是無(wú)限集.

⑴方程/-9=0的解集；

(2)大于()且小于10的奇數(shù)構(gòu)成的集合:

(3)不等式工一3>2的解集：

(4)拋物線y=/上的點(diǎn)構(gòu)成的采合：

(5)方程/+、+1=0的解集.

5.已知集合力=卜|米2-8.丫+16=0｝只有一個(gè)元素，試求實(shí)數(shù)上的值，并用列舉法表示集

合Ao

每日一法：

分類(lèi)討論——利用互異性

方法描述：

對(duì)于形如ad+瓜+。=0的討論，討論的方向主要集中在是一元一次方程，還是一元二次

方程。

方法步驟：

已知集合/=卜,/-3X+2=。｝,其中。為常數(shù)，且aeR

若片中只有一個(gè)元素，求。的值：

2戶(hù)不、

S1：當(dāng)。=0時(shí)，方程變?yōu)橐?x+2=0,解得X=—,A=\-\,滿(mǎn)足題意

31

S2：當(dāng)。工0時(shí)，方程為。/-3》+2=0,若4中只有一個(gè)元素，則有△=(—3)2-44x2=0

解得。=2,滿(mǎn)足題意

8

29

S3：若集合力中只有一個(gè)元素，則。=一或一。

38

方法練習(xí)：

1.求集合B，x,——2x}中，元素x應(yīng)滿(mǎn)足的條件

2.已知xw{1,2,/},則實(shí)數(shù)x=

3.已知集合力=卜,/一3%+2=()},其中。為常數(shù)，且awR

(I)若力是空集，求。的范圍；

(2)若4中至多只有一個(gè)元素，求。的范圍.

4.已知M={2,d",N={2a,2,/},且M=N,求a,4的值.

5.已知集合4={a,a+b,a+2b},B={。，。、，〃入二}求實(shí)數(shù)x的直

集合關(guān)系預(yù)習(xí)冊(cè)

例題I：A=｛1,2,3卜B=｛b2,3,針

【解析】集合4中的任意一個(gè)元素都是集合4的元素，所以我們可以記作AUB，但我們發(fā)

現(xiàn)B中比A中多一個(gè)元