2025年美國(guó)商學(xué)院入學(xué)考試（GMAT）數(shù)學(xué)模擬試卷（數(shù)據(jù)分析與邏輯推理）-數(shù)學(xué)建模挑戰(zhàn)

2025年美國(guó)商學(xué)院入學(xué)考試（GMAT）數(shù)學(xué)模擬試卷（數(shù)據(jù)分析與邏輯推理）——數(shù)學(xué)建模挑戰(zhàn)一、數(shù)據(jù)分析要求：根據(jù)所給數(shù)據(jù)，進(jìn)行描述性統(tǒng)計(jì)分析，包括計(jì)算平均值、中位數(shù)、眾數(shù)、標(biāo)準(zhǔn)差和方差，并解釋這些統(tǒng)計(jì)量的意義。1.一個(gè)班級(jí)有30名學(xué)生，他們的英語(yǔ)成績(jī)?nèi)缦拢▎挝唬悍郑?0,85,90,75,88,92,78,95,82,70,85,89,90,75,82,88,91,76,93,84,79,86,87,94,77,85,80,82,89,90,81。（1）計(jì)算這些成績(jī)的平均值、中位數(shù)、眾數(shù)、標(biāo)準(zhǔn)差和方差。（2）解釋這些統(tǒng)計(jì)量的意義。二、概率與統(tǒng)計(jì)推斷要求：根據(jù)所給數(shù)據(jù)，計(jì)算概率、進(jìn)行假設(shè)檢驗(yàn)和置信區(qū)間估計(jì)。2.某公司生產(chǎn)的產(chǎn)品，其重量服從正態(tài)分布，均值為100克，標(biāo)準(zhǔn)差為5克?，F(xiàn)從生產(chǎn)線上隨機(jī)抽取10個(gè)產(chǎn)品，其重量分別為：102克、98克、99克、104克、96克、100克、97克、101克、103克、99克。（1）計(jì)算這10個(gè)產(chǎn)品重量的平均值、標(biāo)準(zhǔn)差和方差。（2）計(jì)算這10個(gè)產(chǎn)品重量超過(guò)100克的概率。（3）進(jìn)行假設(shè)檢驗(yàn)，檢驗(yàn)這10個(gè)產(chǎn)品重量的平均值是否顯著高于100克（顯著性水平為0.05）。（4）計(jì)算這10個(gè)產(chǎn)品重量的平均值95%的置信區(qū)間。三、邏輯推理要求：根據(jù)所給條件，進(jìn)行邏輯推理，判斷陳述的真假。3.甲、乙、丙、丁四個(gè)學(xué)生參加數(shù)學(xué)競(jìng)賽，已知以下條件：（1）甲的成績(jī)高于乙。（2）丙的成績(jī)低于丁。（3）乙的成績(jī)高于丙。（4）丁的成績(jī)低于甲。根據(jù)以上條件，判斷以下陳述的真假：（1）甲的成績(jī)最高。（2）乙的成績(jī)最低。（3）丙的成績(jī)高于丁。（4）丁的成績(jī)低于乙。四、線性規(guī)劃要求：根據(jù)所給條件，使用線性規(guī)劃方法求解最優(yōu)解。4.某工廠生產(chǎn)兩種產(chǎn)品A和B，每種產(chǎn)品都需要經(jīng)過(guò)兩個(gè)加工步驟：步驟1和步驟2。每個(gè)步驟所需時(shí)間和機(jī)器數(shù)量如下表所示：|產(chǎn)品|步驟1（小時(shí)）|步驟2（小時(shí)）|機(jī)器1（臺(tái)）|機(jī)器2（臺(tái)）||------|--------------|--------------|------------|------------||A|2|3|1|2||B|1|4|2|1|工廠每天有8小時(shí)的工作時(shí)間和4臺(tái)機(jī)器1和3臺(tái)機(jī)器2可用。產(chǎn)品A的利潤(rùn)為每單位100元，產(chǎn)品B的利潤(rùn)為每單位200元。要求最大化總利潤(rùn)。（1）建立線性規(guī)劃模型。（2）求解該線性規(guī)劃模型的最優(yōu)解。五、時(shí)間序列分析要求：根據(jù)所給時(shí)間序列數(shù)據(jù)，進(jìn)行時(shí)間序列分析，包括趨勢(shì)分析、季節(jié)性分析和周期性分析。5.某商店的月銷售額如下（單位：萬(wàn)元）：120,130,125,140,135,145,150,155,160,165,170,175。（1）繪制月銷售額的時(shí)間序列圖。（2）分析月銷售額的趨勢(shì)、季節(jié)性和周期性。（3）根據(jù)時(shí)間序列分析結(jié)果，預(yù)測(cè)下一個(gè)月的銷售額。六、決策樹分析要求：根據(jù)所給條件，使用決策樹方法進(jìn)行決策分析。6.某公司計(jì)劃投資一個(gè)新的項(xiàng)目，項(xiàng)目可能成功或失敗。成功時(shí)，公司可以獲得100萬(wàn)元的收益；失敗時(shí)，公司會(huì)損失50萬(wàn)元。根據(jù)歷史數(shù)據(jù)，項(xiàng)目成功的概率為0.6，失敗的概率為0.4。公司還可以選擇投資或不投資，不投資時(shí)，公司不會(huì)有收益也不會(huì)有損失。（1）繪制決策樹，包括投資和不投資兩個(gè)決策節(jié)點(diǎn)。（2）計(jì)算投資和不投資兩個(gè)決策節(jié)點(diǎn)的期望值。（3）根據(jù)期望值，判斷公司應(yīng)該選擇投資還是不投資。本次試卷答案如下：一、數(shù)據(jù)分析要求：根據(jù)所給數(shù)據(jù)，進(jìn)行描述性統(tǒng)計(jì)分析，包括計(jì)算平均值、中位數(shù)、眾數(shù)、標(biāo)準(zhǔn)差和方差，并解釋這些統(tǒng)計(jì)量的意義。1.（1）計(jì)算結(jié)果：平均值=(80+85+90+75+88+92+78+95+82+70+85+89+90+75+82+88+91+76+93+84+79+86+87+94+77+85+80+82+89+90+81)/30=85.2中位數(shù)=(82,85,85,86,87,88,88,89,89,90,90,90,91,92,93,94,95,96,97,98,99,100,101,102,103,104,105)/2=89.5眾數(shù)=85,88,89,90標(biāo)準(zhǔn)差=√[Σ(x-平均值)2/n]=√[Σ(x-85.2)2/30]≈8.7方差=Σ(x-平均值)2/n=[Σ(x-85.2)2]/30≈75.92（2）解釋：平均值是所有成績(jī)的平均水平，可以反映整體的成績(jī)水平。中位數(shù)是所有成績(jī)中間的值，不受極端值的影響，可以反映成績(jī)的中間位置。眾數(shù)是出現(xiàn)次數(shù)最多的成績(jī)，可以反映成績(jī)的集中趨勢(shì)。標(biāo)準(zhǔn)差和方差是衡量成績(jī)波動(dòng)程度的指標(biāo)，標(biāo)準(zhǔn)差越大，成績(jī)的波動(dòng)越大。二、概率與統(tǒng)計(jì)推斷要求：根據(jù)所給數(shù)據(jù)，計(jì)算概率、進(jìn)行假設(shè)檢驗(yàn)和置信區(qū)間估計(jì)。2.（1）計(jì)算結(jié)果：平均值=(102+98+99+104+96+100+97+101+103+99)/10=100標(biāo)準(zhǔn)差=√[Σ(x-平均值)2/n]=√[Σ(x-100)2/10]≈5.3方差=Σ(x-平均值)2/n=[Σ(x-100)2]/10≈27.69（2）計(jì)算結(jié)果：超過(guò)100克的概率=(數(shù)量超過(guò)100克的產(chǎn)品數(shù)量)/(總產(chǎn)品數(shù)量)=7/10=0.7（3）假設(shè)檢驗(yàn)：H0：μ=100H1：μ>100t=(樣本均值-總體均值)/(樣本標(biāo)準(zhǔn)差/√樣本數(shù)量)=(100-100)/(5.3/√10)≈0由于t值為0，且自由度為9（n-1），查表得臨界值t(0.05,9)≈1.833由于t值小于臨界值，拒絕原假設(shè)，認(rèn)為樣本均值顯著高于100克。（4）置信區(qū)間：置信區(qū)間=樣本均值±(t值*樣本標(biāo)準(zhǔn)差/√樣本數(shù)量)=100±(1.833*5.3/√10)≈(96.1,103.9)三、邏輯推理要求：根據(jù)所給條件，進(jìn)行邏輯推理，判斷陳述的真假。3.（1）解析：根據(jù)條件（1）和（4），甲的成績(jī)高于乙且丁的成績(jī)低于甲，因此甲的成績(jī)不是最高的。根據(jù)條件（3）和（4），乙的成績(jī)高于丙且丁的成績(jī)低于甲，因此乙的成績(jī)不是最低的。根據(jù)條件（2），丙的成績(jī)低于丁，因此丙的成績(jī)高于丁。根據(jù)條件（1）和（3），甲的成績(jī)高于乙且乙的成績(jī)高于丙，因此丁的成績(jī)低于乙。（2）解析：根據(jù)條件（1），甲的成績(jī)高于乙，因此甲的成績(jī)最高。根據(jù)條件（3），乙的成績(jī)高于丙，因此乙的成績(jī)不是最低的。根據(jù)條件（2），丙的成績(jī)低于丁，因此丙的成績(jī)高于丁。根據(jù)條件（1）和（3），甲的成績(jī)高于乙且乙的成績(jī)高于丙，因此丁的成績(jī)低于乙。四、線性規(guī)劃要求：根據(jù)所給條件，使用線性規(guī)劃方法求解最優(yōu)解。4.（1）解析：設(shè)生產(chǎn)A產(chǎn)品x單位，生產(chǎn)B產(chǎn)品y單位，總利潤(rùn)為z。目標(biāo)函數(shù)：z=100x+200y約束條件：2x+1y≤8（機(jī)器1工作時(shí)間）3x+4y≤12（機(jī)器2工作時(shí)間）x≥0,y≥0（非負(fù)約束）（2）解析：五、時(shí)間序列分析要求：根據(jù)所給時(shí)間序列數(shù)據(jù)，進(jìn)行時(shí)間序列分析，包括趨勢(shì)分析、季節(jié)性分析和周期性分析。5.（1）解析：繪制時(shí)間序列圖，觀察數(shù)據(jù)的變化趨勢(shì)、季節(jié)性和周期性。（2）解析：觀察時(shí)間序列圖，可以發(fā)現(xiàn)銷售額呈現(xiàn)上升趨勢(shì)，沒有明顯的季節(jié)性和周期性。（3）解析：由于沒有明顯的季節(jié)性和周期性，可以簡(jiǎn)單預(yù)測(cè)下一個(gè)月的銷售額為上一個(gè)月的銷售額加上一個(gè)小的增量，例如：175+2=177萬(wàn)元。六、決策樹分析要求：根據(jù)所給條件，使用決策樹方法進(jìn)行決策分析。6.（1）解析：繪制決策樹，包括投資和不投資兩個(gè)決策節(jié)點(diǎn)，每個(gè)節(jié)點(diǎn)標(biāo)注對(duì)應(yīng)的概率和收