2025年高考數(shù)學(xué)競(jìng)賽模擬試卷：代數(shù)幾何創(chuàng)新應(yīng)用題

2025年高考數(shù)學(xué)競(jìng)賽模擬試卷：代數(shù)幾何創(chuàng)新應(yīng)用題一、選擇題要求：在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.已知等差數(shù)列{an}的首項(xiàng)為a1，公差為d，若a1=3，d=2，則第10項(xiàng)an=？A.19B.21C.23D.252.已知函數(shù)f(x)=ax^2+bx+c，其中a≠0，且f(1)=3，f(2)=7，f(3)=11，則a+b+c=？A.9B.10C.11D.12二、填空題要求：將正確答案填入空格中。3.已知等比數(shù)列{bn}的首項(xiàng)為b1，公比為q，若b1=1，q=2，則第5項(xiàng)bn=______。4.已知函數(shù)f(x)=x^3-3x^2+4x-1，則f(2)=______。三、解答題要求：解答下列各題。5.（1）已知等差數(shù)列{an}的首項(xiàng)為a1，公差為d，若a1=5，d=3，求第10項(xiàng)an。（2）已知等比數(shù)列{bn}的首項(xiàng)為b1，公比為q，若b1=2，q=3，求第5項(xiàng)bn。6.（1）已知函數(shù)f(x)=ax^2+bx+c，其中a≠0，且f(1)=3，f(2)=7，f(3)=11，求a+b+c的值。（2）已知函數(shù)g(x)=x^3-3x^2+4x-1，求g(2)的值。四、解答題要求：解答下列各題，并寫(xiě)出解題過(guò)程。7.（1）已知函數(shù)f(x)=x^2-4x+4，求f(x)的頂點(diǎn)坐標(biāo)。（2）已知函數(shù)g(x)=x^3-6x^2+9x，求g(x)的圖像與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)。五、證明題要求：證明下列各題。8.證明：若等差數(shù)列{an}的首項(xiàng)為a1，公差為d，且a1+a5=2a3，則d=0。六、綜合題要求：結(jié)合所學(xué)知識(shí)，完成下列綜合題。9.已知等差數(shù)列{an}的首項(xiàng)為a1，公差為d，且a1=1，d=2。設(shè)等比數(shù)列{bn}的首項(xiàng)為b1，公比為q，且b1=3，q=3。求：（1）等差數(shù)列{an}的第10項(xiàng)an。（2）等比數(shù)列{bn}的第5項(xiàng)bn。（3）求出數(shù)列{anbn}的前n項(xiàng)和Sn，并求出當(dāng)n=10時(shí)的Sn。本次試卷答案如下：一、選擇題1.B解析：等差數(shù)列的第n項(xiàng)公式為an=a1+(n-1)d，代入a1=3，d=2，n=10，得an=3+(10-1)×2=3+18=21。2.D解析：由題意得方程組：a+b+c=34a+2b+c=79a+3b+c=11解得a=1，b=2，c=0，所以a+b+c=1+2+0=3。二、填空題3.32解析：等比數(shù)列的第n項(xiàng)公式為bn=b1×q^(n-1)，代入b1=1，q=2，n=5，得bn=1×2^(5-1)=1×2^4=16。4.3解析：將x=2代入函數(shù)f(x)=x^3-3x^2+4x-1，得f(2)=2^3-3×2^2+4×2-1=8-12+8-1=3。三、解答題5.（1）第10項(xiàng)an=21解析：同選擇題1的解析。（2）第5項(xiàng)bn=162解析：同選擇題2的解析。6.（1）a+b+c=3解析：同選擇題2的解析。（2）g(2)=3解析：將x=2代入函數(shù)g(x)=x^3-6x^2+9x，得g(2)=2^3-6×2^2+9×2=8-24+18=2。四、解答題7.（1）頂點(diǎn)坐標(biāo)為(2,-4)解析：函數(shù)f(x)=x^2-4x+4可以寫(xiě)成f(x)=(x-2)^2，所以頂點(diǎn)坐標(biāo)為(2,0)，由于常數(shù)項(xiàng)為4，所以頂點(diǎn)坐標(biāo)為(2,-4)。（2）交點(diǎn)坐標(biāo)為(0,0)和(3,0)解析：令g(x)=0，得x^3-6x^2+9x=0，因式分解得x(x-3)^2=0，解得x=0和x=3，所以交點(diǎn)坐標(biāo)為(0,0)和(3,0)。五、證明題8.證明：d=0解析：由等差數(shù)列的性質(zhì)，a5=a1+4d，a3=a1+2d，代入a1+a5=2a3得a1+a1+4d=2(a1+2d)，化簡(jiǎn)得2a1+4d=2a1+4d，兩邊相減得0=0，說(shuō)明等式恒成立，因此d=0。六、綜合題9.（1）第10項(xiàng)an=21解析：同選擇題1的解析。（2）第5項(xiàng)bn=162解析：同選擇題2的解析。（3）前n項(xiàng)和Sn=4n^2-5n解析：等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和公式為Sn=n/2×(2a1+(n-1)d)，代入a1=1，d=2，得Sn=n/2×(2×1+(n-1)×2)=n/2×(2+2n-2)=n/2×2n=n^2。等比數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和公式為Sn=b1×(q^n-1)/(q-1)，代入b1=3，q=3，得Sn=3×(3^n-1)/(3-1)=3×(3^n-1)/2。數(shù)列{anbn}的前n項(xiàng)和為Sn=(anbn)1+(anbn)2+...+(anbn)n，代入an和bn的表達(dá)式得Sn=(1×3^1)+(3×3^2)+...+(21×3^n)。利用錯(cuò)位相減法，設(shè)Tn=Sn-3Sn，得Tn=(1×3^1-3×3^2)+(3×3^2-3×3^3)+...+(21×3^n-3×3^(n+1))，化簡(jiǎn)得Tn=3+2×(3^2+3^3+...+3^n)-3×3^(n+1)。由等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式得2×(3^2+3^3+...+3^n)=2×3^2×(3^(n-1)-1)/(3-1)=3^2×(3^(n-1)-1)，代入Tn得Tn=3+3^2×(3^(n-1)-1)-3×3^(n+1)?；?jiǎn)得Tn=3+3^(2n)-3^2-3^(n+2)，代入n=10得Tn=3+3^20-9-3^12=3^20-3^12-6。因此，數(shù)列{anbn}的前n項(xiàng)和Sn=Tn+3Sn=(3^20-3^12-6)+3×(3^2+3^3+...+3^n)=3^20-3^12-6+3×3^2×(3^(n-1)-1)/(3-1)。代入n=10得Sn=3^20-3^12-6+3×3^2×(3^9-1)/