流體力學第3章流體運動學

第3章流體運動學

選擇題：

d2r

[3.[1]拉法表示流體質點的加速度”等于：（o）dr7；cudv

（b）~dt；（c）（v-V）v;（d）歷個〃'°

解：用歐拉法表示的流體質點的加速度為dvdvz.

〃了k（R（M

[3.[2]流是：（o）流動隨時間按一定規(guī)律變化；（。）各空

間點上的運動要素不隨時間變化；（c）各過流斷面的速度分布

相同；（d）遷移加速度為零。

解：恒定流是指用歐拉法來觀察流體的運動，在任何固定的空間

點若流體質點的所有物理量皆不隨時間而變化的流動.（6）

[3.[3]一元流動限于：（“）流線是直線；〃）速度分布按直

線變化；（c）運動參數(shù)是一個空間坐標和時間變量的函數(shù)；（d）

運動參數(shù)不隨時間變化的流動。

解：一維流動指流動參數(shù)可簡化成一個空間坐標的函數(shù)。3

[3.[4]流是：（〃）當?shù)丶铀俣葹榱?；?遷移加速度為零;

（C向心加速度為零：（?）合加速度為零。解：按歐拉法流體

質點的加速度由當?shù)丶铀俣群妥兾?/p>

加速度（亦稱遷移加速度）這兩部分組成，若變位加速度等于零，

稱為均勻流動（b）

[35]無旋運動限于：（〃）流線是直線的流動；（b）跡線是直線的流

動；（o）微團無旋轉的流動；（d）恒定流動。

解：無旋運動也稱勢流，是指流體微團作無旋轉的流

動，或旋度等于零的流動。

（d）

[3.6]變直徑管，直徑4=320mm,4=160mm，流速K=L5m/so

匕為：（。）3m/s；（b）4m/s；（c）6m/s；（d）9m/s0

解：按連續(xù)性方程,吊？4之二匕?/,故

（A丫"20?7

匕叫尤卜⑶[160=6ni/s

（o）

[37]平面流動具有流函數(shù)的條件是：（〃）理想流體；（少）無旋流

動；（c）具有流速勢；（d）滿足連續(xù)性。

解：平面流動只要滿足連續(xù)方程，則流函數(shù)是存在的。（d）

[3.8]恒定流動中，流體質點的加速度：（“）等于零；（。）等于常

數(shù)；（o）隨時間變化而變化；（d）與時間無關。解：所謂恒定

流動（定常流動）是用歐拉法來描述的，指任意一空間點觀察流

體質點的物理量均不隨時間而變化，但要注意的是這并不表示流

體質點無加速度。（d）

[3.[9]流動中，流線和跡線重合：（o）無旋；（b）

有旋；（c）恒定；（d）非恒定。

解：對于恒定流動，流線和跡線在形式上是重合的。

（C）

[3.[10]微團的運動與剛體運動相比，多了一項運

動：（，，）平移；（力）旋轉；（c）變形；（d）加速。

解：流體微團的運動由以下三種運動：平移、旋轉、變形迭加而

成。而剛體是不變形的物體。

（C）

[3.[11]一維流動的連續(xù)性方程%4二c成立的必要條件是：（。）

理想流體；（％）粘性流體；（c）可壓縮流體；（d）不可壓縮

流體。

解：一維流動的連續(xù)方程必1二c成立的條件是不可壓縮流體，

倘若是可壓縮流體，則連續(xù)方程為

（d）

[3.[12]與流線，在通常情況下：（〃）能相交，也能相切；

（o）僅能相交，

但不能相切；（c）僅能相切，但不能相交；（d）既不能相交，

也不能相切。

解：流線和流線在通常情況下是不能相交的，除非相交點該處的

速度為零（稱為駐點），但通常情況下兩條流線可以相切。

(o)

[3.[13]法描述流體質點的運動：（,,）直接；（。）

間接；（c）不能；

（d）只在恒定時能。

解：歐拉法也稱空間點法，它是占據(jù)某一個空間點去觀察經過這

一空間點上的流體質點的物理量，因而是間接的。而拉格朗日法

（質點法）是直接跟隨質點運動觀察它的物理量（b）

[3.[14]定流動中，流線與跡線：（“）一定重合；3）一定不

重合；（C）

特殊情況下可能重合；（d）一定正交。

解：對于恒定流動，流線和跡線在形式上一定重合，

但對于非恒定流動，在某些特殊情況下也可能重合，

舉一個簡單例子，如果流體質點作直線運動，盡管是

非恒定的，但流線和跡線可能是重合。（。）

[3.[15]一維流動中，“截面積大處速度小，截面積小處速度

大”成立的必要條件是：（o）理想流體；（〃）粘性流體；（。）

可壓縮流體；（d）不可壓縮流體。

解：這道題的解釋同3.11題一樣的。

（d）

[3.[16]勢函數(shù)存在于流動中：（〃）不可壓縮流

體；（“）平面連續(xù)；（c）所有無旋；（d）任意平面。解：速

度勢函數(shù)（速度勢）存在的條件是勢流（無旋

流動）（C）

[3.17]流體作無旋運動的特征是：（“）所有流線都是直線；所

有跡線都

是直線；（c）任意流體元的角變形為零；（d）任意一點的渦量

都為零。

解：流體作無旋運動特征是任意一點的渦量都為零。

（d）

[3.18]速度勢函數(shù)和流函數(shù)同時存在的前提條件是：（o）兩維不可

壓縮連續(xù)運動；（8）兩維不可壓縮連續(xù)且無旋運動；（C）三維

不可壓縮連續(xù)運動；（d）三維不可壓縮連續(xù)運動。

解：流函數(shù)存在條件是不可壓縮流體平面流動，而速度勢存在條

件是無旋流動，即流動是平面勢流。

（o）

計算題

[3.19J設流體質點的軌跡方程為

x=_t_1

y-C2c+r-l>z=C3

其中G、G、G為常數(shù)。試求（1）uo時位于x=y=T

Z二c處的流體質點的軌跡方程；（2）求任意流體質點的速度；（3）

用Euler法表示上面流動的速度場；（4）用Euler法直接求加速度場

和用Lagrange法求得質點的加速度后再換算成Euler法的加速度場，

兩者結果是否相同。

解：（1）以1=0,x=,yy=bfz=c代入軌跡方程，得

4=G-1h=c2~\

Q=o+1

<c2=b+|

故得L=c

當/=0時位于（。也c）流體質點的軌跡方程為

x=(a+l)ez-r-l

<y=(b+l)ez+,-1

(。)

dx

=qe/-1

~dt

w=0

⑵求任意質點的速度（

(b)

⑶若用Euler法表示該速度場

由（《）式解出。也。；

a-C(x+/+1)-1e

/?=(v-/+1)-1

C=Z

(c)(〃)式對1求導并將⑹式代入得

所

—

初

/P

—IIs

初

華1o

—

%

⑷用Eu-er法求加速度場

dudududu

av-—d11+—VHw

dtOxdydz

=l+(x+t)=x+t+\

dvdvdvdv

ci,--+—u+—v+—rrdtoxdydz

=-l+(>'T+2)=y-f+1

dyvd\vdwd\v

a.=-----+------u-------v+------iv=0ofoxdydz

由(〃)式Lagrange法求加速度場為

%=。=(o+1〃

Ct

、

二r二S+De公

cfzn

dt

(e)

將(c)式代入(e)式得

ax=x+t-f-|

<ay-y-r+1

a.=0

4

兩種結果完全相同

[3.20]已知流場中的速度分布為

u=yz-f-t

v=xz-t>

w-xy

(1)試問此流動是否恒定。(2)求流體質點在通過場

中(1,1,1)點時的

加速度。

解：(1)由于速度場與時間/有關，該流動為非恒定流

動。

dudududu

z、ax--+------u+-v+------w

(2)dtdxdydz.

=1-f-z(xz-t)-f-y(xy)

dvdvdvdv

a..-——+——〃+——v+——wdtdxdydz

=-1+z(yz+f)+Qy)

dwdwdwdw

a.——F---u+----v+----w

dtdxdydz

=y(yz+t)+x(xz.-t)

Wx=1,y=1,z=1代入上式，得

b

4-3-/av~|+ta.-2

[3,[21]一流動的速度場為

v=(x+\)ri+(y+2)rj

試確定在Zn時通過⑵1)點的軌跡線方程和流線方程。

解：跡線微分方程為

dxdy.

一=—=druv

A=(y+2)產

以上兩式積分得ln*+l)=#+q

ln(?+2)=|r-+C2

,x+1f

兩式相減得1。一一二in

即二c(y+2)

將x=2,y=i代入得

故過⑵1)點的軌跡方程為

流線的微分方程為

dxdy

itv

dxdv

即(x^\7r^(y+2jr

消去/,兩邊積分得

ln(x+l)=ln(y+2)+Inc

或者x+I=c(y+2)

以x=2,),二1代入得積分常數(shù)c=1

故在~1,通過(2,1)點的流線方程為

x-y=I

[3,[22]流動的速度分布為

1(=ay(y-X2)

v-ax(y-xJ)

其中〃為常數(shù)。(1)試求流線方程，并繪制流線圖；(2)

判斷流動是否有旋，若無旋，則求速度勢夕并繪制等勢線。

解：對于二維流動的流線微分方程為

_dy

uv

ay"-x2)cix(/-x2)

習題

[3,23]一二維流動的速度分布為u=Ax-f-Byv=Cx+Dy

其中*、B、Go為常數(shù)。(1)*、B、C.。間呈何種關系時流動

才無旋；

(2)求此時流動的速度勢。

解：⑴該流動要成為實際流動時，須滿足diw=0,

du8v八

—+—=0

dxdy

或者力+0=0,得A=_￡)

該流動無旋時，須滿足rotv=0,

dvdu八

----------=(J

dxdy

或者C—8=0,得C=8

〃=Av+

(2)滿足以上條件時，速度分布為By

積分得“二*\叼+小)

..+f\y)=v=Bx-Ay

由于內

f(y)=-Ay

因此速度勢*02)十甌

[3.24]設有粘性流體經過一平板的表面。已知平板近旁的

速度分布為

?Hy

v=v°。為常數(shù)，y為至平板的距離）試求平板上

的變形速率及應力。

解：流體微團單位長度沿X方向的直線變形速率為

du.

菽現(xiàn)〃（五）（為X軸方向）

、生_=0

dxv-4}

dv

,=0

力v=0

同理沿y方向直線變形速率為

沿Z方向直線變形速度為

dw

在xQv平面上的角變形速率

產八_-%

丸v=o2a

-VoCOS（一）

v=o2aa

在j侖平面上的角變形速率

/”=（不+在）=°

在zOx平面上的角變形速率

牛頓流體的本構關系為(即變形和應力之間關系)

/「PT/菽

Pi〃

〃「P-2〃在

dvdit

仁不)

dud\v

Tv.=Trr=//(--1~)

a.<z<r?cc,

dzOX

,dwd\)

%=%=〃?+二)dyoz

故在平板上，PLPH)

r=r=0

6(，冗y、丸〃乃％

而.內了02。2。尸02a

[3.[25]可壓縮流體運動的3個速度分量為

u=ax

N-ay>w--2?z

其中“為常數(shù)。試證明這一流動的流線為y?z二consJ

yconsr兩曲面的交線。

解：由流線的微分方程

drdydzcixay-2&z

dv_dy

cixaydy_dzay_2az

積分(“)得

—=q

)，

積分(。)得

即證明了流線為曲面Vz二常數(shù)與曲面7=常數(shù)的交線。

[3.[26]平面流動的速度場為y=(4y-6x)"+(6y-9x)求rT時的

流線方程，并畫出1區(qū)間穿過X軸的4條流線圖形。

y解：流線的微分方程為

、"，二1時的流線為

dv_dy習題3.26圖4y—6x

6y-9x

dvdy

/或者2(2y~3x)3(2y-3x)

即3dx=2dy

積分得3x-2y=c為流線方程

設c=3,6,9,12時可畫出I—“穿過x軸的4條流線

[3.27]已知不可壓縮流體平面流動，在y方向的速度分量

為p=y-2x+2y0

試求速度在X方向的分量〃。

解：此平面流動必須滿足diw=O對于二維流動即

dudv八

-H----0

-6以y=）廣-2x+2y代入”，+2=0du

故瓦二一2〉」2枚u=-2xy^2x+f（y-t）

[3.[28]平行板間，流體的單寬流量。已知速度分布為

〃二〃max

式中尸0為中心線，k±6為平板所在位置，〃max為常數(shù)。

〃“〃/，'-〃〃〃〃〃〃〃

習/您.28圖

解：如圖，由〃二%-一（》」，平板間的速度分布為拋物線

分布。

通過dy截面的體積流量dQ為

dO=〃d）,="maxU-（》[dy

Q=2/dQ=2〃m,[,1—（工產dy則平板間的流

量」。b\.

二2小竺，小

HUSAIIHA

[3.[29]兩個流動，哪個有旋？哪個無旋？哪個有角變形？哪個

無角變形？

(1)W=-ay?V=ax,Cp=O

cyex

lt=v=

(2)一廠+)',廠+尸，vv=0

式中八C是常數(shù)。

解：(1)判別流動是否有旋，只有判別28是否等于零。

-=0-0=0

dy&

電一a=0.0=0

&dx

史一包二L二2"

dxdy

所以rotv=23A流動為有旋流動。

.Iodu17.、八

.4.九二一(---+----)二一(。一〃)二0

角變形F2』/2

2dy'||T

/xzI燃+，

八&?-

所以流動無角變形。

(2)本蛾二。一。二0

一空=0-0=0

dx

du_c(x2+y2)-lex[-c(x2+y2)+2cy]_

dy&+。(素+//

枚流動為無旋

77、

._!:（廠一）廠）

同理4—,+/）、

〃

二。

7=0

[3.30）已知平面流動的速度分布〃=大+2x-4y,p=~2xy-2y。試確

定流動：

（1）是否滿足連續(xù)性方程；（2）是否有旋；（3）如存在速度勢和流函

數(shù)，

求出。和W0

解：（1）由divy是否為零

得

dudv

一十—=2x+2-2x-2=0dxdy

故滿足連續(xù)性方程

（2）由二維流動的28

dy型浴妗他

故流動有旋

（3）此流場為不可壓縮流動的有旋二維流動，存在流函

數(shù)-

而速度勢。不存在

〃二〃二x2+2x-4ydy

積分得:春+2xy-2必+f（x）

一=t-2xy+2ydx

板2xy+2y+f\x)=2冷，+2y

因此『二+2xy-2/(常數(shù)可以作為零)