崇川區(qū)高二下學(xué)期期末數(shù)學(xué)試卷解析：2024-2025學(xué)年導(dǎo)數(shù)應(yīng)用題解題思路

崇川區(qū)高二下學(xué)期期末數(shù)學(xué)試卷解析：2024-2025學(xué)年導(dǎo)數(shù)應(yīng)用題解題思路一、選擇題（本大題共5小題，每小題6分，共30分）1.函數(shù)$f(x)=ax^3+bx^2+cx+d$的圖像在$R$上單調(diào)遞增，則下列選項(xiàng)中，一定正確的是（）A.$a>0$，$b>0$，$c>0$，$d>0$B.$a>0$，$b\leq0$，$c\leq0$，$d\leq0$C.$a>0$，$b$可以為任意實(shí)數(shù)，$c$可以為任意實(shí)數(shù)，$d>0$D.$a>0$，$b$可以為任意實(shí)數(shù)，$c\geq0$，$d\geq0$2.函數(shù)$f(x)=x^3-3x^2+4x-3$的圖像與$y=x$的圖像的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為（）A.1B.2C.3D.43.若函數(shù)$f(x)=\sqrt{x^2+1}-\frac{1}{\sqrt{x^2+1}}$在$(0,+\infty)$上單調(diào)遞增，則下列選項(xiàng)中，正確的是（）A.$x^2+1>0$B.$x^2+1\leq0$C.$x^2+1>0$，且$x>0$D.$x^2+1\leq0$，且$x>0$4.函數(shù)$f(x)=x^3-3x^2+4x-3$的圖像的拐點(diǎn)個(gè)數(shù)為（）A.0B.1C.2D.35.設(shè)函數(shù)$f(x)=x^3-3x^2+4x-3$，若存在實(shí)數(shù)$a$，使得$f'(a)=0$，則下列選項(xiàng)中，正確的是（）A.$a=1$B.$a=2$C.$a=3$D.$a=4$二、填空題（本大題共5小題，每小題6分，共30分）6.函數(shù)$f(x)=x^3-3x^2+4x-3$在$(0,+\infty)$上單調(diào)遞增的區(qū)間為______。7.函數(shù)$f(x)=x^3-3x^2+4x-3$的圖像的拐點(diǎn)個(gè)數(shù)為______。8.函數(shù)$f(x)=\sqrt{x^2+1}-\frac{1}{\sqrt{x^2+1}}$的圖像的對(duì)稱軸為______。9.函數(shù)$f(x)=x^3-3x^2+4x-3$的圖像的極值點(diǎn)為______。10.函數(shù)$f(x)=x^3-3x^2+4x-3$的圖像的凹凸性為______。三、解答題（本大題共4小題，共40分）11.（本題滿分10分）設(shè)函數(shù)$f(x)=x^3-3x^2+4x-3$，求$f(x)$的極值。12.（本題滿分10分）設(shè)函數(shù)$f(x)=x^3-3x^2+4x-3$，求$f(x)$的拐點(diǎn)。13.（本題滿分10分）設(shè)函數(shù)$f(x)=\sqrt{x^2+1}-\frac{1}{\sqrt{x^2+1}}$，求$f(x)$的單調(diào)區(qū)間。14.（本題滿分10分）設(shè)函數(shù)$f(x)=x^3-3x^2+4x-3$，求$f(x)$的凹凸區(qū)間。四、解答題（本大題共4小題，共40分）15.（本題滿分10分）已知函數(shù)$f(x)=x^3-3x^2+4x-3$，求證：$f(x)$在$x=1$處取得極大值。16.（本題滿分10分）設(shè)函數(shù)$f(x)=\sqrt{x^2+1}-\frac{1}{\sqrt{x^2+1}}$，求證：$f(x)$在$(0,+\infty)$上單調(diào)遞增。17.（本題滿分10分）設(shè)函數(shù)$f(x)=x^3-3x^2+4x-3$，求$f(x)$的導(dǎo)數(shù)$f'(x)$，并分析$f'(x)$的單調(diào)性。18.（本題滿分10分）設(shè)函數(shù)$f(x)=\sqrt{x^2+1}-\frac{1}{\sqrt{x^2+1}}$，求$f(x)$的導(dǎo)數(shù)$f'(x)$，并分析$f'(x)$的符號(hào)。五、解答題（本大題共4小題，共40分）19.（本題滿分10分）已知函數(shù)$f(x)=x^3-3x^2+4x-3$，求$f(x)$在區(qū)間$[0,2]$上的最大值和最小值。20.（本題滿分10分）設(shè)函數(shù)$f(x)=\sqrt{x^2+1}-\frac{1}{\sqrt{x^2+1}}$，求$f(x)$在區(qū)間$[0,1]$上的最大值和最小值。21.（本題滿分10分）設(shè)函數(shù)$f(x)=x^3-3x^2+4x-3$，求$f(x)$的圖像在$x=0$處的切線方程。22.（本題滿分10分）設(shè)函數(shù)$f(x)=\sqrt{x^2+1}-\frac{1}{\sqrt{x^2+1}}$，求$f(x)$的圖像在$x=0$處的切線方程。六、解答題（本大題共4小題，共40分）23.（本題滿分10分）已知函數(shù)$f(x)=x^3-3x^2+4x-3$，求$f(x)$的導(dǎo)數(shù)$f'(x)$，并求出$f'(x)=0$的解。24.（本題滿分10分）設(shè)函數(shù)$f(x)=\sqrt{x^2+1}-\frac{1}{\sqrt{x^2+1}}$，求$f(x)$的導(dǎo)數(shù)$f'(x)$，并求出$f'(x)=0$的解。25.（本題滿分10分）已知函數(shù)$f(x)=x^3-3x^2+4x-3$，求$f(x)$的二階導(dǎo)數(shù)$f''(x)$，并分析$f''(x)$的符號(hào)。26.（本題滿分10分）設(shè)函數(shù)$f(x)=\sqrt{x^2+1}-\frac{1}{\sqrt{x^2+1}}$，求$f(x)$的二階導(dǎo)數(shù)$f''(x)$，并分析$f''(x)$的符號(hào)。本次試卷答案如下：一、選擇題1.C解析：函數(shù)$f(x)=ax^3+bx^2+cx+d$的圖像在$R$上單調(diào)遞增，則其一階導(dǎo)數(shù)$f'(x)=3ax^2+2bx+c$應(yīng)恒大于等于0。由于$a$的系數(shù)為3，$x^2$的系數(shù)為正，故$a>0$。而$2bx+c$的系數(shù)為2b+c，可以取任意實(shí)數(shù)值，不影響$f'(x)$的符號(hào)。因此，正確答案是C。2.C解析：函數(shù)$f(x)=x^3-3x^2+4x-3$與$y=x$的交點(diǎn)個(gè)數(shù)即為$f(x)-x=0$的解的個(gè)數(shù)。通過(guò)計(jì)算$f(x)-x=x^3-4x^2+3x-3$，求其零點(diǎn)，可以找到交點(diǎn)的個(gè)數(shù)。3.C解析：函數(shù)$f(x)=\sqrt{x^2+1}-\frac{1}{\sqrt{x^2+1}}$在$(0,+\infty)$上單調(diào)遞增，說(shuō)明其導(dǎo)數(shù)$f'(x)$在$(0,+\infty)$上恒大于等于0。通過(guò)求導(dǎo)并分析導(dǎo)數(shù)的符號(hào)，可以確定$x^2+1>0$且$x>0$。4.B解析：函數(shù)$f(x)=x^3-3x^2+4x-3$的圖像的拐點(diǎn)個(gè)數(shù)為函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)$f''(x)$的變號(hào)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)。通過(guò)求$f''(x)$并找出其變號(hào)零點(diǎn)，可以得到拐點(diǎn)的個(gè)數(shù)。5.D解析：函數(shù)$f(x)=x^3-3x^2+4x-3$的導(dǎo)數(shù)$f'(x)=3x^2-6x+4$。要找到使得$f'(a)=0$的實(shí)數(shù)$a$，只需解方程$3a^2-6a+4=0$。二、填空題6.$(0,1)$和$(1,+\infty)$解析：根據(jù)函數(shù)$f(x)=x^3-3x^2+4x-3$的導(dǎo)數(shù)$f'(x)=3x^2-6x+4$，求出$f'(x)=0$的解$x=1$，可知$f(x)$在$(0,1)$上單調(diào)遞減，在$(1,+\infty)$上單調(diào)遞增。7.1解析：根據(jù)第四題解析中求得的$f''(x)$，只有一個(gè)變號(hào)零點(diǎn)$x=1$，因此只有一個(gè)拐點(diǎn)。8.$x=0$解析：函數(shù)$f(x)=\sqrt{x^2+1}-\frac{1}{\sqrt{x^2+1}}$的導(dǎo)數(shù)$f'(x)$中，分子和分母的導(dǎo)數(shù)相同，因此$f'(x)$關(guān)于$x=0$對(duì)稱。9.$x=1$解析：函數(shù)$f(x)=x^3-3x^2+4x-3$的導(dǎo)數(shù)$f'(x)=3x^2-6x+4$，求出$f'(x)=0$的解$x=1$，因此$f(x)$在$x=1$處取得極值。10.凸-凹-凸解析：根據(jù)函數(shù)$f(x)=x^3-3x^2+4x-3$的二階導(dǎo)數(shù)$f''(x)=6x-6$，可知當(dāng)$x<1$時(shí)，$f''(x)<0$，函數(shù)$f(x)$在$x<1$的區(qū)間內(nèi)是凸的；當(dāng)$x>1$時(shí)，$f''(x)>0$，函數(shù)$f(x)$在$x>1$的區(qū)間內(nèi)是凹的。三、解答題11.（本題滿分10分）$f(x)$在$x=1$處取得極大值$f(1)=-1$。解析：根據(jù)二階導(dǎo)數(shù)判別法，$f''(1)=-3<0$，因此$f(x)$在$x=1$處取得極大值。12.（本題滿分10分）$f(x)$的拐點(diǎn)為$(1,-1)$。解析：根據(jù)二階導(dǎo)數(shù)$f''(x)$的變號(hào)零點(diǎn)，拐點(diǎn)為$(1,-1)$。13.（本題滿分10分）$f(x)$在$(0,+\infty)$上單調(diào)遞增。解析：$f'(x)=\frac{x^2}{(x^2+1)^{3/2}}$，在$(0,+\infty)$上，$x^2>0$，$x^2+1>0$，因此$f'(x)>0$，函數(shù)$f(x)$在$(0,+\infty)$上單調(diào)遞增。14.（本題滿分10分）$f(x)$的凹凸區(qū)間為$(-\inft