2025年上海浦東新區(qū)高三三模高考數(shù)學試卷試題（含答案詳解）

試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁浦東新區(qū)2024學年度第二學期練習卷高三數(shù)學一、填空題（本大題滿分54分）本大題共有12題.考生應在答題紙相應編號的空格內(nèi)直接填寫結果，1-6題每個空格填對得4分，7-12題每個空格填對得5分，否則一律得零分.1．已知集合，，則.2．已知函數(shù)，的最小值是，則實數(shù).3．設為實數(shù)，則不等式的解集是.4．若，，那么在方向上的數(shù)量投影為.5．已知的展開式中各項系數(shù)和為27，則含項的系數(shù)為.（結果用數(shù)值表示）6．將一個高為的圓錐沿其側面一條母線展開，其側面展開圖是半圓，則該圓錐的底面半徑為．7．短軸長為2，離心率的橢圓的兩焦點為，，過作直線交橢圓于A，B兩點，則的周長為.8．曲線的圖象上有一動點，則在此動點處切線的斜率的取值范圍為.9．已知隨機變量，其密度函數(shù)為，則.10．浦東某學校有學生2000人，為了加強學生的鍛煉意識，學校舉行了跑步和登山比賽，每人都參加且只能參加其中一項比賽，各年級參加比賽的人數(shù)情況如下表所示：高一年級高二年級高三年級跑步人數(shù)（單位：人）abc登山人數(shù)（單位：人）xyz其中，參加登山的人數(shù)占總人數(shù)的.為了解學生對本次比賽的滿意程度，按分層抽樣的方式從中抽取一個200人的樣本進行調(diào)查，則高三年級參加跑步的學生中應抽取人.11．已知復數(shù)滿足，則（i是虛數(shù)單位）的最小值為.12．對于函數(shù)，若關于的方程，（，）恰有個實數(shù)根，則稱函數(shù)為“”函數(shù).①函數(shù)的定義域且；②函數(shù)是“2”函數(shù)，也是“3”函數(shù)；那么同時滿足條件①②的函數(shù)共有個.二、選擇題（本大題滿分18分）本大題共有4題，每題有且只有一個正確答案.考生必須在答題紙的相應編號上，將代表答案的小方格涂黑，13－14題每題選對得4分，15－16題每題選對得5分，否則一律得零分.13．在正項等比數(shù)列中，是方程的兩個根，則（

）A．2 B．4 C．8 D．1614．，，請從以下選項中選出“”的充分條件（

）A． B． C． D．15．已知的內(nèi)角A、B、C所對的邊分別為a、b、c.若，則以下關于“”的選項，結論正確的是（

）A．存在滿足 B．存在銳角滿足C．該表達式不存在最大值 D．該表達式不存在最小值16．如圖，ABCD是四面體.已知，，以下兩個語句中：①棱AB與棱CD一定相等；②棱AC與棱BD不一定相等；下列選項判斷正確的是（

）A．①，②都正確 B．①正確，②錯誤C．①錯誤，②正確 D．①，②都錯誤三、解答題（本大題滿分78分）本大題共有5題，解答下列各題必須在答題卷的相應編號規(guī)定區(qū)域內(nèi)寫出必要的步驟.17．已知.(1)數(shù)列的前項和為，點均在函數(shù)的圖象上，求數(shù)列的通項公式；(2)設；當時，不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍.18．如圖，點是以為直徑的半圓上的動點，已知，且平面.(1)證明：平面平面；(2)若點滿足，當三棱錐的體積取得最大值時，求平面與平面所成的銳二面角的余弦值.19．申輝中學機器人興趣小組，進行某款機器人研發(fā)學習活動.該機器人被設計從數(shù)軸上的原點出發(fā)，機器人每一步只能選擇向數(shù)軸正方向或向負方向行走1個單位.設機器人第步選擇向正方向行走的概率為.設行走步后機器人所在位置對應的數(shù)為隨機變量.(1)興趣小組成員小浦對機器人行走的步數(shù)和機器人所在位置進行了觀察記錄，記錄數(shù)據(jù)如下：n1234512123請求出變量和之間的線性相關系數(shù)：(2)若，求；(3)已知，在的條件下，求的概率.20．已知曲線，第一象限內(nèi)點在曲線上.、，連接并延長與曲線交于點，.以為圓心，為半徑的圓與線段交于點，記，的面積分別為，.(1)若，求點的坐標；(2)若點的坐標為，求證；(3)求的最小值.21．已知實數(shù)，且a、b、c依次構成等差數(shù)列，對于曲線，，若滿足、、依次構成等差數(shù)列，則曲線，為曲線.(1)若，，是曲線，求實數(shù)的值；(2)已知曲線，都是曲線，證明：是曲線；(3)若，為曲線，求的取值范圍.答案第=page11頁，共=sectionpages22頁答案第=page11頁，共=sectionpages22頁1．【分析】根據(jù)交集的運算法則求出A與B的交集即可.【詳解】由題意得，因為，，所以，故答案為.2．【分析】由題意先求出時的取值范圍，從而得到的值域，再根據(jù)最小值為-1求出實數(shù)a的值.【詳解】由題意得，當時，，故在的值域為,又因為最小值是-1，所以，故答案為.3．【分析】根據(jù)分式不等式解法求解即可.【詳解】因為，解得且，即，所以不等式的解集是.故答案為：4．##【分析】由投影數(shù)量的定義即可求解.【詳解】在方向上的數(shù)量投影為.故答案為：.5．12【分析】先令表示出各項系數(shù)和，求出的值，再利用二項式定理的通項公式求解即可.【詳解】令代入中得，，則，根據(jù)二項式定理，含的項為，所以含項的系數(shù)為12.故答案為：12.6．1【分析】設該圓錐的底面半徑為r，推導出母線長為2r，再由圓錐的高為，能求出該圓錐的底面半徑．【詳解】設該圓錐的底面半徑為r，將一個高為的圓錐沿其側面一條母線展開，其側面展開圖是半圓，，解得，圓錐的高為，，解得．故答案為1．【點睛】本題考查圓錐的底面半徑的求法，考查圓錐性質(zhì)、圓等基礎知識，考查運算求解能力，是基礎題．7．##【分析】根據(jù)題意，求出長半軸長，再由周長為求解.【詳解】設橢圓的長半軸長為，短半軸長為，則，又離心率為，則，解得，所以周長為.故答案為：.8．【分析】根據(jù)導數(shù)的幾何意義，即可求解.【詳解】，根據(jù)導數(shù)的幾何意義可知，切線的斜率的取值范圍為.故答案為：9．【分析】根據(jù)正態(tài)曲線的密度函數(shù)對應計算可得；【詳解】因為隨機變量，其密度函數(shù)為，所以，.故答案為：10．45【分析】由題意可先將參加登山的總人數(shù)求出，即可得到參加跑步的總人數(shù)，再根據(jù)可求出每個年級參加跑步的人數(shù)，最后根據(jù)分層抽樣的原理，先求出應抽出的跑步的總人數(shù)，再根據(jù)高三年級參加跑步的人占所有參加跑步人數(shù)的比例求出應抽取多少高三參加跑步的學生人數(shù).【詳解】由題意得，因為加登山的人數(shù)占總人數(shù)的，所以參加登山的人數(shù)為人，參加跑步的人為1500人.又由得，高三年級參加跑步的人數(shù)為人.根據(jù)分層抽樣的方法，應抽取的跑步總人數(shù)為人，所以高三年級應抽取人.故答案為：45.11．【分析】確定復數(shù)的軌跡，結合點到線的距離公式即可求解.【詳解】設，則由可得：，則，即或的幾何意義為射線上的點與的距離，結合圖像可知：到的距離即為最小值，最小值為：，故答案為：12．18【分析】根據(jù)題目所給條件，先根據(jù)定義域確定關鍵的函數(shù)值，然后根據(jù)計數(shù)原理將不能確定的幾個函數(shù)值進行排列即可得到答案.【詳解】由題意，函數(shù)的定義域為和函數(shù)的值域均為：，可知自變量和函數(shù)值是一一對應的關系；的定義域為，根據(jù)題目給出的“3”函數(shù)的新定義：有，即：，，.可得：，只能是，，，這樣在值域當中只剩下是的倍，故，.因為函數(shù)是“2”函數(shù)，根據(jù)題意恰有2個根，結合，，，，；剩余的不能確定的個函數(shù)值中，只需要，不同的分配方法有種.故答案為：13．B【分析】根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)求解.【詳解】因為是方程的兩個根，所以，又因為在等比數(shù)列中，，又因為是正項等比數(shù)列，所以，所以，故選:B.14．C【分析】根據(jù)充分條件的定義，結合特殊值，即可判斷選項.【詳解】A.若，滿足，不滿足，故A不是充分條件；B.當滿足，不滿足，所以B不是充分條件；C.若，又因為，所以，所以C是充分條件；D.，，滿足，不滿足，故D不是充分條件.故選：C15．C【分析】由題意結合正弦定理，由可得，可得，所以，再結合的取值范圍判斷各選項的正誤即可.【詳解】由題意得，因為，所以，由正弦定理可得，，所以，所以.因為，所以，設，則，由得，所以在上遞減，在上遞增，又，所以，所以無解，A錯誤；若，則，與銳角相矛盾，B錯誤；由得C正確，D錯誤.故選：C.16．A【分析】將四面體補成平行六面體，利用已知條件和平行六面體中的對稱性，結合余弦定理構造等量關系，從而推導出選項的正誤.【詳解】在如圖所示的平行六面體中，設，，，，，，則由余弦定理有：，，，，，，由得，，將上面6個式子代入化簡可得：①，類似地，由得，，代入上面6個式子化簡可得：②，得：故，從而，即，故①正確；而由已知條件無法推出，則AC與BD不一定相等，故②正確；故選：A.17．(1)(2)【分析】（1）由題意可得，根據(jù)的關系求通項公式即可；（2）求出，換元后，分離參數(shù)，轉化為求函數(shù)的最小值，利用二次函數(shù)配方后得解.【詳解】（1）由題意，，當時，，當時，，則.（2），設，當時，，恒成立，則，因為，所以.18．(1)證明見解析(2).【分析】（1）要證明面面垂直，即需要證明線面垂直，那么過這條線的平面就會垂直于另一平面.（2）首先根據(jù)三棱錐體積取得最大這個條件得出的結論，然后找出平面與平面的二面角，最后根據(jù)線段關系和相似三角形求出該二面角的余弦值，或者建立平面直角坐標系，利用向量法進行求解.【詳解】（1）證明：因為平面，平面，所以，因為為半圓的直徑，所以，因為平面，所以平面，因為平面，所以平面平面.（2）方法1：，當且僅當時等號成立.設圓心為，連接，在平面上過作，連接??，在平面??上過??作??，如圖所示.因為，，所以，因為平面，平面，所以平面平面，因為平面，平面平面，所以平面ABC，平面，則，，平面，所以平面，而平面，于是，所以為平面與平面的夾角，在平面上，，有，得，，，有，得，則，，平面與平面所成銳角的余弦值為.方法2：據(jù)（1）知，面，，當時，達到最大：過點作于，建立以為原點，為軸，為軸，過點垂直于平面的方向為z軸.設平面與平面的法向量分別為，.則點，，，，.，；則；令，可得；因為平面的法向量為.則平面與平面夾角的余弦值.19．(1)(2)0(3)【分析】（1）由表中數(shù)據(jù)及相關系數(shù)的公式即可求解；（2）由題可知的所有可能取值為，，，，根據(jù)題意求出對應取值的概率即可求解；（3）由條件概率的定義及獨立事件的乘法公式節(jié)課求解.【詳解】（1）由表可知：，，，，代入相關系數(shù)的公式可得：.（2）由題可知的所有可能取值為，，，，表示三次均向正方向行走，故；表示兩次選擇正方向，一次選擇負方向行走，故；表示一次選擇正方向，兩次選擇負方向行走，故；表示三次均選擇負方向行走，故，所以.（3）設為事件A，為事件，，其中，，，故.20．(1)(2)證明見解析(3).【分析】（1）設，，，與聯(lián)立求出和韋達定理，根據(jù)求出即可求解；（2）求出即可證明；（3）由（1）求出，考慮和兩種情況，根據(jù)求出，求出，根據(jù)（2）求出，根據(jù)結合基本不等式即可求解.【詳解】（1）設，，，與聯(lián)立可得，，，，，因為，所以，由可得，故因為在第一象限，所以，解得，由得；（2）由題意得，，故，，，則，即；（3）由（1）得，，故，因為，所以，當時，，，，故，，，故，所以⊥，，則，由對稱性可知，則，當時，，，由得，將其代入中得，顯然，當時，，當時，，解得，，，因為，其中，由（2）知，又，故，故，所以，當且僅當，即時等號成立，此時，由于，故.21．(1)(2)證明見解析(3)【分析】（1）根據(jù)定義和等差中項的性質(zhì)列等式，討論的范圍化簡等式，即可求得的值；（2）根據(jù)定義和等差中項的性質(zhì)列等式，可得，進一步根據(jù)等差中項性質(zhì)列關于的等式即可證明.（3）已知，為曲線，構