2013高考數(shù)學(xué)試題及答案

2013高考數(shù)學(xué)試題及答案

一、單項(xiàng)選擇題（每題2分，共10題）1.集合\(A=\{1,2,3\}\)，\(B=\{2,4\}\)，則\(A\capB=\)（）A.\(\{2\}\)B.\(\{1,2\}\)C.\(\{2,4\}\)D.\(\{1,2,4\}\)2.函數(shù)\(y=\log_2(x+1)\)的定義域是（）A.\((-1,+\infty)\)B.\([-1,+\infty)\)C.\((0,+\infty)\)D.\([0,+\infty)\)3.已知向量\(\vec{a}=(1,2)\)，\(\vec=(-1,1)\)，則\(\vec{a}+\vec=\)（）A.\((0,3)\)B.\((1,3)\)C.\((2,1)\)D.\((3,0)\)4.若\(\sin\alpha=\frac{3}{5}\)，\(\alpha\)是第二象限角，則\(\cos\alpha=\)（）A.\(\frac{4}{5}\)B.\(-\frac{4}{5}\)C.\(\frac{3}{4}\)D.\(-\frac{3}{4}\)5.直線\(y=x+1\)與圓\(x^2+y^2=1\)的位置關(guān)系是（）A.相切B.相交C.相離D.不確定6.等差數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)中，\(a_1=1\)，\(a_3=5\)，則\(a_5=\)（）A.7B.9C.11D.137.函數(shù)\(y=2\sinx\)的最大值是（）A.1B.2C.3D.48.不等式\(x^2-2x-3\lt0\)的解集是（）A.\((-1,3)\)B.\((-3,1)\)C.\((-\infty,-1)\cup(3,+\infty)\)D.\((-\infty,-3)\cup(1,+\infty)\)9.拋物線\(y^2=4x\)的焦點(diǎn)坐標(biāo)是（）A.\((0,1)\)B.\((1,0)\)C.\((0,2)\)D.\((2,0)\)10.已知函數(shù)\(f(x)\)是奇函數(shù)，當(dāng)\(x\gt0\)時(shí)，\(f(x)=x^2-2x\)，則當(dāng)\(x\lt0\)時(shí)，\(f(x)=\)（）A.\(-x^2-2x\)B.\(-x^2+2x\)C.\(x^2+2x\)D.\(x^2-2x\)二、多項(xiàng)選擇題（每題2分，共10題）1.以下哪些是基本初等函數(shù)（）A.冪函數(shù)B.指數(shù)函數(shù)C.對(duì)數(shù)函數(shù)D.三角函數(shù)2.下列命題正確的是（）A.平行于同一直線的兩直線平行B.垂直于同一直線的兩直線平行C.平行于同一平面的兩直線平行D.垂直于同一平面的兩直線平行3.已知復(fù)數(shù)\(z=a+bi\)（\(a,b\inR\)），則下列說(shuō)法正確的是（）A.當(dāng)\(a=0\)時(shí)，\(z\)是純虛數(shù)B.\(|z|=\sqrt{a^2+b^2}\)C.\(z\)的共軛復(fù)數(shù)\(\overline{z}=a-bi\)D.\(z\cdot\overline{z}=a^2+b^2\)4.關(guān)于函數(shù)\(y=\cosx\)，以下說(shuō)法正確的是（）A.周期是\(2\pi\)B.是偶函數(shù)C.值域是\([-1,1]\)D.在\([0,\pi]\)上單調(diào)遞減5.一個(gè)正方體的棱長(zhǎng)為\(a\)，則以下正確的是（）A.表面積是\(6a^2\)B.體積是\(a^3\)C.面對(duì)角線長(zhǎng)是\(\sqrt{2}a\)D.體對(duì)角線長(zhǎng)是\(\sqrt{3}a\)6.以下哪些直線斜率為\(1\)（）A.\(y=x+1\)B.\(y-x=0\)C.\(x-y+2=0\)D.\(y=-x+1\)7.橢圓\(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\)（\(a\gtb\gt0\)）的性質(zhì)有（）A.長(zhǎng)軸長(zhǎng)為\(2a\)B.短軸長(zhǎng)為\(2b\)C.焦距為\(2c\)（\(c^2=a^2-b^2\)）D.離心率\(e=\frac{c}{a}\)8.已知函數(shù)\(f(x)=x^2-4x+3\)，則（）A.對(duì)稱軸為\(x=2\)B.最小值為\(-1\)C.與\(x\)軸交點(diǎn)為\((1,0)\)和\((3,0)\)D.開(kāi)口向下9.以下哪些是等比數(shù)列的性質(zhì)（）A.\(a_n=a_1q^{n-1}\)（\(q\)為公比）B.\(S_n=\frac{a_1(1-q^n)}{1-q}\)（\(q\neq1\)）C.\(a_m\cdota_n=a_p\cdota_q\)（\(m+n=p+q\)）D.等比中項(xiàng)\(G^2=a\cdotb\)10.對(duì)于函數(shù)\(y=\sin(2x+\frac{\pi}{3})\)，說(shuō)法正確的是（）A.周期為\(\pi\)B.初相是\(\frac{\pi}{3}\)C.圖象可由\(y=\sin2x\)向左平移\(\frac{\pi}{3}\)個(gè)單位得到D.圖象關(guān)于點(diǎn)\((-\frac{\pi}{6},0)\)對(duì)稱三、判斷題（每題2分，共10題）1.空集是任何集合的子集。（）2.若\(a\gtb\)，則\(a^2\gtb^2\)。（）3.函數(shù)\(y=x^3\)是偶函數(shù)。（）4.直線\(Ax+By+C=0\)（\(A,B\)不同時(shí)為\(0\)）的斜率是\(-\frac{A}{B}\)。（）5.兩個(gè)向量的數(shù)量積是一個(gè)向量。（）6.圓\(x^2+y^2+2x-4y+1=0\)的圓心坐標(biāo)是\((1,-2)\)。（）7.若\(\alpha\)是第一象限角，則\(\sin\alpha+\cos\alpha\gt1\)。（）8.等差數(shù)列的前\(n\)項(xiàng)和公式\(S_n=na_1+\frac{n(n-1)d}{2}\)（\(d\)為公差）。（）9.雙曲線\(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1\)的漸近線方程是\(y=\pm\frac{a}x\)。（）10.若函數(shù)\(y=f(x)\)在區(qū)間\((a,b)\)內(nèi)導(dǎo)數(shù)\(f^\prime(x)\gt0\)，則\(y=f(x)\)在\((a,b)\)上單調(diào)遞增。（）四、簡(jiǎn)答題（每題5分，共4題）1.求函數(shù)\(y=3x^2-2x+1\)的對(duì)稱軸和頂點(diǎn)坐標(biāo)。答案：對(duì)于二次函數(shù)\(y=ax^2+bx+c\)，對(duì)稱軸\(x=-\frac{2a}\)，此函數(shù)\(a=3\)，\(b=-2\)，則對(duì)稱軸\(x=\frac{1}{3}\)。把\(x=\frac{1}{3}\)代入函數(shù)得\(y=3\times(\frac{1}{3})^2-2\times\frac{1}{3}+1=\frac{2}{3}\)，頂點(diǎn)坐標(biāo)\((\frac{1}{3},\frac{2}{3})\)。2.已知\(\tan\alpha=2\)，求\(\frac{\sin\alpha+\cos\alpha}{\sin\alpha-\cos\alpha}\)的值。答案：將\(\frac{\sin\alpha+\cos\alpha}{\sin\alpha-\cos\alpha}\)分子分母同時(shí)除以\(\cos\alpha\)，得到\(\frac{\tan\alpha+1}{\tan\alpha-1}\)，把\(\tan\alpha=2\)代入，得\(\frac{2+1}{2-1}=3\)。3.求過(guò)點(diǎn)\((1,2)\)且與直線\(2x-y+1=0\)平行的直線方程。答案：已知直線斜率\(k=2\)，所求直線與之平行斜率也為\(2\)，由點(diǎn)斜式\(y-y_1=k(x-x_1)\)（\((x_1,y_1)=(1,2)\)），得\(y-2=2(x-1)\)，即\(2x-y=0\)。4.求數(shù)列\(zhòng)(1,3,5,7,\cdots\)的前\(n\)項(xiàng)和\(S_n\)。答案：此數(shù)列為首項(xiàng)\(a_1=1\)，公差\(d=2\)的等差數(shù)列，根據(jù)等差數(shù)列求和公式\(S_n=na_1+\frac{n(n-1)d}{2}=n\times1+\frac{n(n-1)\times2}{2}=n^2\)。五、討論題（每題5分，共4題）1.討論函數(shù)\(y=\frac{1}{x}\)在\((0,+\infty)\)和\((-\infty,0)\)上的單調(diào)性。答案：在\((0,+\infty)\)上，任取\(x_1\ltx_2\)，\(f(x_1)-f(x_2)=\frac{1}{x_1}-\frac{1}{x_2}=\frac{x_2-x_1}{x_1x_2}\gt0\)，即\(f(x_1)\gtf(x_2)\)，所以在\((0,+\infty)\)上單調(diào)遞減；同理在\((-\infty,0)\)上也單調(diào)遞減。2.討論直線與圓的位置關(guān)系有哪些判斷方法。答案：一是幾何法，通過(guò)比較圓心到直線的距離\(d\)與圓半徑\(r\)的大小，\(d\ltr\)相交，\(d=r\)相切，\(d\gtr\)相離；二是代數(shù)法，聯(lián)立直線與圓方程，消元得一元二次方程，根據(jù)判別式\(\Delta\)，\(\Delta\gt0\)相交，\(\Delta=0\)相切，\(\Delta\lt0\)相離。3.討論如何根據(jù)三角函數(shù)圖象確定其解析式。答案：先根據(jù)圖象的最值確定\(A\)（\(A=\frac{最大值-最小值}{2}\)）；由周期\(T\)確定\(\omega\)（\(\omega=\frac{2\pi}{T}\)）；再根據(jù)圖象上特殊點(diǎn)（如最值點(diǎn)、零點(diǎn)）代入\(y=A\sin(\omegax+\varphi)\)等求\(\varphi\)。4.討論在實(shí)際生活中，如何運(yùn)用數(shù)列知識(shí)解決問(wèn)題。答案：在貸款、儲(chǔ)蓄、人口增長(zhǎng)等問(wèn)題中常用到數(shù)列知識(shí)。如貸款還款計(jì)劃可利用等差數(shù)列計(jì)算等額本息還款金額；儲(chǔ)蓄復(fù)利計(jì)算涉及等比數(shù)列；分析人口增長(zhǎng)趨勢(shì)，若符合一定規(guī)律也可用數(shù)列