數(shù)學(xué)十八章練習(xí)題

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一、選擇題（每題1分，共5分）

1.第十八章中，以下哪個不是線性方程組的解？

A.(2,3,1)

B.(4,1,6)

C.(0,5,2)

D.(1,2,3)

2.若矩陣A的秩為2，則以下哪個選項(xiàng)正確？

A.A的列向量組線性無關(guān)

B.A的行向量組線性相關(guān)

C.A的列向量組線性相關(guān)

D.A的行向量組線性無關(guān)

3.以下哪個向量組線性相關(guān)？

A.(1,2),(3,4)

B.(1,0),(0,1)

C.(2,4),(1,2)

D.(3,6),(2,4)

4.設(shè)A為3階方陣，若|A|=0，則以下哪個結(jié)論正確？

A.A可逆

B.A不可逆

C.A為對角陣

D.A的列向量組線性無關(guān)

5.若線性方程組Ax=b的解為x=(1,2,3)，則Ax=2b的解為：

A.(2,4,6)

B.(1,2,3)

C.(0,0,0)

D.(4,8,12)

二、判斷題（每題1分，共5分）

1.矩陣的行列式等于其列向量組的線性相關(guān)判定系數(shù)。（）

2.兩個線性相關(guān)的向量組，其線性組合可以得到任意向量。（）

3.若線性方程組的系數(shù)矩陣的秩等于增廣矩陣的秩，則該方程組有唯一解。（）

4.對角矩陣的行列式等于其主對角線元素的乘積。（）

5.兩個矩陣相乘，交換因子的位置，結(jié)果矩陣不變。（）

三、填空題（每題1分，共5分）

1.矩陣A=\(\begin{bmatrix}1&2\\3&4\end{bmatrix}\)，則|A|=_______。

2.若向量組線性相關(guān)，則其線性組合可以表示為_______個參數(shù)的線性組合。

3.設(shè)A為n階方陣，若|A|=0，則A的列向量組線性_______。

4.線性方程組Ax=b的解集為空集的充分必要條件是______。

5.設(shè)A、B為兩個n階可逆方陣，則(AB)^(1)=_______。

四、簡答題（每題2分，共10分）

1.解釋線性方程組Ax=b的解的幾何意義。

2.矩陣的秩與線性方程組的關(guān)系。

3.線性相關(guān)與線性無關(guān)的概念及其判定方法。

4.矩陣乘法的定義及其性質(zhì)。

5.方陣可逆的條件。

五、計算題（每題2分，共10分）

1.計算矩陣A=\(\begin{bmatrix}1&2&3\\4&5&6\\7&8&9\end{bmatrix}\)的行列式。

2.設(shè)向量組α1=(1,2,3)，α2=(4,5,6)，α3=(7,8,9)，求向量組α1、α2、α3的線性相關(guān)判定系數(shù)。

3.求解線性方程組：\(\begin{cases}2x+3yz=8\\x+y+2z=5\\3xy+z=6\end{cases}\)。

4.設(shè)矩陣A=\(\begin{bmatrix}1&2\\3&4\end{bmatrix}\)，求A的逆矩陣。

5.計算兩個矩陣的乘積：A=\(\begin{bmatrix}1&2\\3&4\end{bmatrix}\)，B=\(\begin{bmatrix}5&6\\7&8\end{bmatrix}\)。

六、作圖題（每題5分，共10分）

1.畫出線性方程組\(\begin{cases}2x+3y=6\\xy=1\end{cases}\)的解的圖形表示。

2.給定向量α=(3,4)，β=(1,2)，在坐標(biāo)系中表示向量α、β及其線性組合α+2β。

七、案例分析題（每題5分，共10分）

1.某公司生產(chǎn)三種產(chǎn)品，產(chǎn)品A、B、C的生產(chǎn)成本分別為2、3、4萬元/噸，銷售價格分別為3、4、5萬元/噸。若該公司每月生產(chǎn)成本不超過12萬元，求該公司如何分配生產(chǎn)A、B、C三種產(chǎn)品的噸數(shù)，使得利潤最大。

2.某班級有四個學(xué)生參加數(shù)學(xué)、物理、化學(xué)、英語四門課程的考試，成績?nèi)缦卤硭荆?/p>

|學(xué)生|數(shù)學(xué)|物理|化學(xué)|英語|

|::|::|::|::|::|

|甲|90|80|85|95|

|乙|85|90|95|80|

|丙|80|85|90|85|

|丁|90|95|80|90|

求各門課程的總分以及每個學(xué)生的總分，并分析哪個學(xué)生在哪個課程上有優(yōu)勢。

練習(xí)題

八、案例設(shè)計題（每題2分，共10分）

1.設(shè)計一個線性方程組，使得它有無限多解，并給出至少兩個不同的解。

2.給定向量組β1=(1,0,1)，β2=(0,1,1)，β3=(1,1,0)，設(shè)計一個線性方程組，其解向量組與β1、β2、β3等價。

3.設(shè)計一個矩陣A，使得A的列向量組線性相關(guān)，但A的行向量組線性無關(guān)。

4.設(shè)計一個3階方陣，使其行列式等于0，但該矩陣不是零矩陣。

5.設(shè)計兩個矩陣A和B，使得AB和BA不相等。

九、應(yīng)用題（每題2分，共10分）

1.某工廠生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品，已知生產(chǎn)甲產(chǎn)品需要2小時工時和3小時機(jī)器時，生產(chǎn)乙產(chǎn)品需要1小時工時和2小時機(jī)器時。如果每天有12小時工時和15小時機(jī)器時可用，問該工廠每天最多能生產(chǎn)多少個甲產(chǎn)品和乙產(chǎn)品？

2.已知某班級學(xué)生的數(shù)學(xué)、物理成績與總成績之間有線性關(guān)系，設(shè)數(shù)學(xué)成績?yōu)閤，物理成績?yōu)閥，總成績?yōu)閦，已知線性關(guān)系為z=2x+3y。若某學(xué)生的數(shù)學(xué)成績提高5分，物理成績提高3分，求總成績的提高分?jǐn)?shù)。

3.一個長方體的長、寬、高分別為a、b、c，已知長方體的對角線長度為d，求證：a2+b2+c2=d2。

4.某公司有三個部門，部門A、B、C的人數(shù)分別為10、15、20人，若每人每年為公司創(chuàng)造利潤分別為2萬元、3萬元、4萬元，求三個部門為公司創(chuàng)造的總利潤。

5.設(shè)有三個點(diǎn)A(1,2,3)，B(4,5,6)，C(a,b,c)，若|AB|=|AC|，求點(diǎn)C的坐標(biāo)。

十、思考題（每題2分，共10分）

1.如果一個線性方程組有唯一解，那么這個解一定是該方程組的最優(yōu)解嗎？

2.當(dāng)一個矩陣的行列式為0時，矩陣一定是不可逆的嗎？

3.如果兩個矩陣的秩相等，這兩個矩陣是否一定相似？

4.線性方程組Ax=b的解集可以表示為Ax=0的解集加上某個特定向量的原因是什么？

5.在線性代數(shù)中，如何理解“線性”這一概念？它與其他數(shù)學(xué)分支中的“線性”有何不同？

本專業(yè)課理論基礎(chǔ)試卷答案及知識點(diǎn)總結(jié)如下

一、選擇題答案

1.B

2.B

3.C

4.B

5.A

二、判斷題答案

1.錯誤

2.錯誤

3.正確

4.正確

5.錯誤

三、填空題答案

1.2

2.2

3.相關(guān)

4.系數(shù)矩陣的秩小于增廣矩陣的秩

5.B^(1)A^(1)

四、簡答題答案

1.線性方程組Ax=b的解表示的是向量b在由A的列向量組張成的空間中的正交投影。

2.矩陣的秩等于其列向量組的秩，決定了線性方程組的解的個數(shù)和性質(zhì)。

3.向量組線性相關(guān)指至少有一個向量可以由其余向量線性表示，判定方法包括構(gòu)造行列式或使用高斯消元法。

4.矩陣乘法定義為對應(yīng)元素相乘的和，性質(zhì)包括結(jié)合律、分配律，不滿足交換律。

5.方陣可逆條件是行列式不為0。

五、計算題答案

1.0

2.線性相關(guān)判定系數(shù)為0

3.x=(1,2,3)

4.A^(1)=\(\begin{bmatrix}2&1\\1.5&0.5\end{bmatrix}\)

5.AB=\(\begin{bmatrix}11&14\\19&22\end{bmatrix}\)

六、作圖題答案

1.兩個直線的交點(diǎn)

2.向量α和β在坐標(biāo)系中的表示，以及它們的線性組合指向一個新的點(diǎn)。

七、案例分析題答案

1.最大利潤分配方案：生產(chǎn)A產(chǎn)品2噸，B產(chǎn)品2噸，C產(chǎn)品1噸。

2.課程總分及學(xué)生總分見下表：

|課程|總分|

|::|::|

|數(shù)學(xué)|360|

|物理|340|

|化學(xué)|350|

|英語|340|

|學(xué)生|總分|

|::|::|

|甲|350|

|乙|340|

|丙|345|

|丁|355|

八、案例設(shè)計題答案

1.x+y=1,xy=0，解為(1/2,1/2)和(0,1)

2.x+y+z=1，解為(1,0,0)，(0,1,0)，(0,0,1)

3.A=\(\begin{bmatrix}1&2\\0&0\end{bmatrix}\)

4.A=\(\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&0\end{bmatrix}\)

5.A=\(\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}\)，B=\(\begin{bmatrix}0&1\\1&0\end{bmatrix}\)

九、應(yīng)用題答案

1.甲產(chǎn)品最多生產(chǎn)6個，乙產(chǎn)品最多生產(chǎn)9個。

2.總成績提高11分。

3.證明略。

4.總利潤為105萬元。

5.a=3,b=4,c=5

十、思考題答案

1.不一定，最優(yōu)解取決于問題的具體目標(biāo)。

2.是的，行列式為0是矩陣不可逆的充分條件。

3.不一定，相似矩陣的判定需要更多的條件。

4.Ax=b的解集可以看作是Ax=0的解集（即零空間）加上特解的線性組合。

5.“線性”在線性代數(shù)中指變量的關(guān)系可以表示為一次方程或線性方程組，與其他數(shù)學(xué)分支中的線性概念相通但應(yīng)用背景不同。

知識點(diǎn)總結(jié)：

1.線性方程組的解的性質(zhì)和幾何意義。

2.矩陣的秩與線性方程組解的關(guān)系。

3.向量組的線性相關(guān)與線性無關(guān)的概念及其判定方法。

4.矩陣的乘法、逆矩陣、行列式的基本運(yùn)算和性質(zhì)。

5.線性空間、子空間、零空間、列空間的概念和性質(zhì)。

6.線性變換及其矩陣表示。

7.線性組合、線性關(guān)系在實(shí)際問題中的應(yīng)用。

各題型考察知識點(diǎn)詳解及示例：

1.選擇題：考察對線性代數(shù)基本概念的理解，如線性方程組的解、矩陣的秩、向量組的線性關(guān)系等。

2.判斷題：考察對線性代數(shù)性質(zhì)和定理的掌握，如行列式的性質(zhì)、矩陣乘法的性質(zhì)等。

3.填空題：考察對線性代數(shù)公式和定理的記憶，如行列式的