高考數(shù)學(xué)能力測試題與試題及答案

高考數(shù)學(xué)能力測試題與試題及答案姓名：____________________

一、多項(xiàng)選擇題（每題2分，共10題）

1.下列函數(shù)中，在定義域內(nèi)單調(diào)遞增的是（）

A.\(f(x)=-x^2+2x+1\)

B.\(f(x)=2^x\)

C.\(f(x)=\frac{1}{x}\)

D.\(f(x)=\sqrt{x}\)

2.若復(fù)數(shù)\(z\)滿足\(|z-1|=|z+1|\)，則\(z\)在復(fù)平面上的位置是（）

A.位于實(shí)軸上

B.位于虛軸上

C.位于第一象限

D.位于第二象限

3.已知等差數(shù)列的前三項(xiàng)分別是2，5，8，則該數(shù)列的公差是（）

A.1

B.2

C.3

D.4

4.下列不等式中，正確的是（）

A.\(3x+2>2x+3\)

B.\(3x-2<2x-3\)

C.\(3x+2<2x+3\)

D.\(3x-2>2x-3\)

5.下列命題中，正確的是（）

A.若\(a>b\)，則\(a^2>b^2\)

B.若\(a>b\)，則\(a+c>b+c\)

C.若\(a>b\)，則\(a-c>b-c\)

D.若\(a>b\)，則\(a\cdotc>b\cdotc\)

6.下列函數(shù)中，有反函數(shù)的是（）

A.\(f(x)=x^2\)

B.\(f(x)=\sqrt{x}\)

C.\(f(x)=\frac{1}{x}\)

D.\(f(x)=\log_2x\)

7.若\(\triangleABC\)中，\(a=3\)，\(b=4\)，\(c=5\)，則\(\cosA\)的值是（）

A.\(\frac{3}{5}\)

B.\(\frac{4}{5}\)

C.\(\frac{5}{4}\)

D.\(\frac{5}{3}\)

8.下列各式中，正確的是（）

A.\((a+b)^2=a^2+2ab+b^2\)

B.\((a-b)^2=a^2-2ab+b^2\)

C.\((a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3\)

D.\((a-b)^3=a^3-3a^2b+3ab^2-b^3\)

9.下列各式中，正確的是（）

A.\(\frac{a^m}{a^n}=a^{m-n}\)

B.\(\frac{a^m}{a^n}=a^{m+n}\)

C.\(a^m\cdota^n=a^{m-n}\)

D.\(a^m\cdota^n=a^{m+n}\)

10.下列命題中，正確的是（）

A.若\(a>b\)，則\(\frac{1}{a}<\frac{1}\)

B.若\(a>b\)，則\(\frac{a}{c}>\frac{c}\)

C.若\(a>b\)，則\(\frac{a}{c}<\frac{c}\)

D.若\(a>b\)，則\(\frac{a}{c}=\frac{c}\)

二、判斷題（每題2分，共10題）

1.任意一個(gè)二次函數(shù)的圖像都是開口向上或開口向下的拋物線。（）

2.在直角坐標(biāo)系中，兩條平行線上的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離相等。（）

3.任何實(shí)數(shù)的立方根都是實(shí)數(shù)。（）

4.在直角三角形中，斜邊的長度一定大于任意一條直角邊的長度。（）

5.若\(a>b\)，則\(a-b\)一定大于0。（）

6.對數(shù)函數(shù)\(y=\log_2x\)的定義域是\(x>0\)。（）

7.兩個(gè)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式相同，則這兩個(gè)數(shù)列的公差也相同。（）

8.任何三角形的內(nèi)角和都等于180度。（）

9.\(x^2-4x+4\)可以分解為\((x-2)^2\)。（）

10.\(\lim_{x\to0}\frac{\sinx}{x}=1\)。（）

三、簡答題（每題5分，共4題）

1.簡述一元二次方程\(ax^2+bx+c=0\)的解的判別式\(\Delta=b^2-4ac\)的幾何意義。

2.給定函數(shù)\(f(x)=x^3-3x\)，求\(f(x)\)的導(dǎo)數(shù)\(f'(x)\)并說明其意義。

3.設(shè)\(\triangleABC\)的三邊長分別為\(a\)，\(b\)，\(c\)，且\(a<b<c\)，證明\(\cosA>\cosB>\cosC\)。

4.已知等差數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)的前五項(xiàng)和為15，求該數(shù)列的公差和前10項(xiàng)和。

四、論述題（每題10分，共2題）

1.論述并證明：若函數(shù)\(f(x)\)在區(qū)間\([a,b]\)上連續(xù)，在\((a,b)\)內(nèi)可導(dǎo)，且滿足\(f'(x)>0\)或\(f'(x)<0\)，則\(f(x)\)在\([a,b]\)上單調(diào)遞增或單調(diào)遞減。

2.論述并證明：若等差數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)的前\(n\)項(xiàng)和為\(S_n\)，公差為\(d\)，首項(xiàng)為\(a_1\)，則\(S_n=na_1+\frac{n(n-1)}{2}d\)成立，并說明其應(yīng)用。

五、單項(xiàng)選擇題（每題2分，共10題）

1.若\(a\)和\(b\)是實(shí)數(shù)，且\(a^2+b^2=1\)，則\(ab\)的最大值是（）

A.1

B.0

C.-1

D.無法確定

2.下列函數(shù)中，奇函數(shù)是（）

A.\(f(x)=x^2\)

B.\(f(x)=\sinx\)

C.\(f(x)=|x|\)

D.\(f(x)=\sqrt{x}\)

3.若\(\sin\alpha+\cos\alpha=\sqrt{2}\)，則\(\sin\alpha\cos\alpha\)的值是（）

A.1

B.0

C.-1

D.無解

4.下列各式中，正確的是（）

A.\((a+b)^2=a^2+2ab-b^2\)

B.\((a-b)^2=a^2-2ab+b^2\)

C.\((a+b)^3=a^3+3a^2b-3ab^2+b^3\)

D.\((a-b)^3=a^3-3a^2b+3ab^2-b^3\)

5.若\(a>b\)，則\(\frac{1}{a}\)與\(\frac{1}\)的大小關(guān)系是（）

A.\(\frac{1}{a}>\frac{1}\)

B.\(\frac{1}{a}<\frac{1}\)

C.\(\frac{1}{a}=\frac{1}\)

D.無法確定

6.下列函數(shù)中，有反函數(shù)的是（）

A.\(f(x)=x^2\)

B.\(f(x)=\sqrt{x}\)

C.\(f(x)=\frac{1}{x}\)

D.\(f(x)=\log_2x\)

7.若\(\triangleABC\)中，\(a=3\)，\(b=4\)，\(c=5\)，則\(\sinA\)的值是（）

A.\(\frac{3}{5}\)

B.\(\frac{4}{5}\)

C.\(\frac{5}{4}\)

D.\(\frac{5}{3}\)

8.下列各式中，正確的是（）

A.\(\frac{a^m}{a^n}=a^{m-n}\)

B.\(\frac{a^m}{a^n}=a^{m+n}\)

C.\(a^m\cdota^n=a^{m-n}\)

D.\(a^m\cdota^n=a^{m+n}\)

9.下列命題中，正確的是（）

A.若\(a>b\)，則\(\frac{1}{a}<\frac{1}\)

B.若\(a>b\)，則\(\frac{a}{c}>\frac{c}\)

C.若\(a>b\)，則\(\frac{a}{c}<\frac{c}\)

D.若\(a>b\)，則\(\frac{a}{c}=\frac{c}\)

10.下列各式中，正確的是（）

A.\((a+b)^2=a^2+2ab+b^2\)

B.\((a-b)^2=a^2-2ab+b^2\)

C.\((a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3\)

D.\((a-b)^3=a^3-3a^2b+3ab^2-b^3\)

試卷答案如下：

一、多項(xiàng)選擇題

1.B.\(f(x)=2^x\)

2.A.位于實(shí)軸上

3.B.2

4.C.\(3x+2<2x+3\)

5.B.若\(a>b\)，則\(a+c>b+c\)

6.C.\(f(x)=\frac{1}{x}\)

7.A.\(\frac{3}{5}\)

8.D.\((a-b)^3=a^3-3a^2b+3ab^2-b^3\)

9.D.\(a^m\cdota^n=a^{m+n}\)

10.C.若\(a>b\)，則\(\frac{a}{c}<\frac{c}\)

二、判斷題

1.×

2.×

3.√

4.√

5.√

6.√

7.×

8.√

9.√

10.√

三、簡答題

1.解：判別式\(\Delta=b^2-4ac\)的幾何意義是二次函數(shù)\(f(x)=ax^2+bx+c\)的圖像與x軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù)。當(dāng)\(\Delta>0\)時(shí)，有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，圖像與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)；當(dāng)\(\Delta=0\)時(shí)，有一個(gè)重根，圖像與x軸有一個(gè)交點(diǎn)；當(dāng)\(\Delta<0\)時(shí)，沒有實(shí)數(shù)根，圖像與x軸沒有交點(diǎn)。

2.解：\(f'(x)=3x^2-3\)，導(dǎo)數(shù)\(f'(x)\)表示函數(shù)\(f(x)\)在任意點(diǎn)\(x\)的斜率，即切線的斜率。

3.解：由余弦定理，\(\cosA=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}\)，\(\cosB=\frac{a^2+c^2-b^2}{2ac}\)，\(\cosC=\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}\)。由于\(a<b<c\)，可以得出\(\cosA>\cosB>\cosC\)。

4.解：由等差數(shù)列的性質(zhì)，\(a_1+a_5=2a_3\)，代入已知的前三項(xiàng)和得\(2+8=2a_3\)，解得\(a_3=5\)，因此公差\(d=a_5-a_3=8-5=3\)。前10項(xiàng)和\(S_{10}=10a_1+\frac{10\cdot9}{2}d=10\cdot2+45\cdot3=150\)。

四、論述題

1.解：根據(jù)拉格朗日中值定理，存在\(\xi\in(a,b)\)，使得\(f'(\xi)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}\)。由于\(f'(x)>0\)或\(f'(x)<0\)，則\(f'(\xi)\)的符號(hào)與\(f'(x)\