高考數(shù)學(xué) 選填滿分篇 熱點(diǎn)20　函數(shù)與方程、導(dǎo)數(shù)的幾何意義

熱點(diǎn)20函數(shù)與方程、導(dǎo)數(shù)的幾何意義年份202220232024角度題號(hào)角度題號(hào)角度題號(hào)新高考Ⅰ卷導(dǎo)數(shù)的幾何意義15——導(dǎo)數(shù)的幾何意義13新高考Ⅱ卷導(dǎo)數(shù)的幾何意義13————考向一函數(shù)零點(diǎn)的應(yīng)用【典例1】(2022·北京高考)若函數(shù)f(x)=Asinx-3cosx的一個(gè)零點(diǎn)為π3,則A=1f(π12)=-2【審題思維】根據(jù)f(π3)=Asinπ3-3cosπ3=0求得A值→利用輔助角公式將函數(shù)化為正弦型函數(shù)→將【題后反思】1.判斷函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)的三種方法直接求零點(diǎn)令f(x)=0,如果能求出解,那么有幾個(gè)解就有幾個(gè)零點(diǎn)利用函數(shù)零點(diǎn)存在定理利用該定理不僅要求函數(shù)在[a,b]上是連續(xù)不斷的曲線,且f(a)f(b)<0,還必須結(jié)合函數(shù)的圖象和性質(zhì)(如單調(diào)性)數(shù)形結(jié)合法畫出兩個(gè)函數(shù)的圖象,其交點(diǎn)的個(gè)數(shù)有幾個(gè),就有幾個(gè)不同的零點(diǎn)2.確定函數(shù)零點(diǎn)所在區(qū)間的兩種方法利用函數(shù)零點(diǎn)存在定理首先看函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[a,b]上的圖象是否連續(xù),再看是否有f(a)f(b)<0.若都滿足,則函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)必有零點(diǎn)數(shù)形結(jié)合法通過畫函數(shù)圖象,觀察圖象與x軸在給定區(qū)間上是否有交點(diǎn)來判斷【提醒】函數(shù)f(x)的零點(diǎn)是一個(gè)實(shí)數(shù),是方程f(x)=0的根,也是函數(shù)y=f(x)的圖象與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo),而不是一個(gè)點(diǎn).【典例2】(2024·全國(guó)甲卷)曲線y=x3-3x與y=-(x-1)2+a在(0,+∞)上有兩個(gè)不同的交點(diǎn),則a的取值范圍為(-2,1).

【審題思維】x3-3x=-(x-1)2+a→a=x3-3x+(x-1)2有兩個(gè)不同的零點(diǎn)→構(gòu)造函數(shù)φ(x)=x3-3x+(x-1)2→對(duì)其求導(dǎo),結(jié)合導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)的性質(zhì)→數(shù)形結(jié)合求解.【題后反思】1.由函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)求參數(shù)的取值范圍的兩種方法分離參數(shù)法先將參數(shù)分離,轉(zhuǎn)化成求函數(shù)值域問題加以解決數(shù)形結(jié)合法先對(duì)解析式變形,在同一平面直角坐標(biāo)系中畫出函數(shù)的圖象,把求函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)問題加以解決2.由函數(shù)零點(diǎn)的范圍求參數(shù)的三種方法直接法直接根據(jù)題設(shè)條件構(gòu)建關(guān)于參數(shù)的不等式(組),通過解不等式(組)確定參數(shù)的取值范圍分離參數(shù)法先將參數(shù)分離,然后將原問題轉(zhuǎn)化成求函數(shù)值域的問題加以解決數(shù)形結(jié)合法將函數(shù)解析式(方程)適當(dāng)變形,轉(zhuǎn)化為圖象易得的函數(shù)與一個(gè)含參的函數(shù)的差,在同一平面直角坐標(biāo)系中畫出兩個(gè)函數(shù)的圖象,結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性、周期性、奇偶性等性質(zhì)求解考向二導(dǎo)數(shù)的幾何意義【典例1】(2022·新高考Ⅱ卷)曲線y=ln|x|①過坐標(biāo)原點(diǎn)的兩條切線的方程②為x-ey=0,x+ey=0.

【審題思維】①對(duì)x進(jìn)行分類討論,去掉絕對(duì)值符號(hào)②設(shè)出切點(diǎn)坐標(biāo),利用導(dǎo)數(shù)求出切線的斜率【題后反思】與導(dǎo)數(shù)幾何意義有關(guān)問題的常見類型及解題策略(1)已知切點(diǎn)求切線方程:①求函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x=x0處的導(dǎo)數(shù),即曲線y=f(x)在點(diǎn)P(x0,f(x0))處切線的斜率;②由點(diǎn)斜式求得切線方程為y-f(x0)=f'(x0)·(x-x0).(2)已知斜率求切點(diǎn):已知斜率k,求切點(diǎn)(x1,f(x1)),即解方程f'(x1)=k.(3)求切線傾斜角的取值范圍:先求導(dǎo)數(shù)的取值范圍,即確定切線斜率的取值范圍,然后利用正切函數(shù)的單調(diào)性解決.(4)根據(jù)切線的性質(zhì)求傾斜角或參數(shù)值:①已知過曲線上一點(diǎn)P(x0,y0)的切線與已知直線的關(guān)系(平行或垂直),確定該切線的斜率k;②求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù);③利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義得到k=f'(x0)=tanα,其中傾斜角α∈[0,π);④根據(jù)范圍進(jìn)一步求得角α或有關(guān)參數(shù)的值.【提醒】(1)利用公式求導(dǎo)時(shí)要特別注意除法公式中分子的符號(hào),防止與乘法公式混淆;(2)求曲線切線時(shí),要分清在P點(diǎn)處的切線與過P點(diǎn)的切線的區(qū)別.【典例2】(2024·新高考Ⅰ卷)若曲線y=ex+x在點(diǎn)(0,1)處的切線①也是曲線y=ln(x+1)+a的切線②,則a=ln2.

【審題思維】①利用導(dǎo)數(shù)求出曲線y=ex+x在點(diǎn)(0,1)處的切線②利用已知條件,求解曲線y=ln(x+1)+a的切點(diǎn)坐標(biāo),然后利用代入法求a的值【題后反思】?jī)蓷l曲線的公切線問題的求解方法(1)利用其中一條曲線在某點(diǎn)處的切線與另一條曲線相切,列出關(guān)系式求解;(2)設(shè)公切線l在曲線y=f(x)上的切點(diǎn)為A(x1,f(x1)),在曲線y=g(x)上的切點(diǎn)為B(x2,g(x2)),則f'(x1)=g'(x2),求解后再解決相關(guān)問題.【真題再現(xiàn)】1.★★☆☆☆(2024·全國(guó)甲卷)設(shè)函數(shù)f(x)=ex+2sinx1+x2,則曲線y=f(x)A.16 B.13 C.122.★★☆☆☆(2023·全國(guó)甲卷)曲線y=exx+1在點(diǎn)(1,e2)A.y=e4x B.y=e2x C.y=e4x+e4 D.y=3.★★★☆☆(2022·新高考Ⅰ卷)若曲線y=(x+a)ex有兩條過坐標(biāo)原點(diǎn)的切線,則a的取值范圍是(-∞,-4)∪(0,+∞).

【模擬精選】1.★☆☆☆☆(2024·青島二模)函數(shù)f(x)=ax-a(a>0,a≠1)的零點(diǎn)為(B)A.0 B.1 C.(1,0) D.a2.★☆☆☆☆(2024·安康模擬)函數(shù)f(x)=lnx+x2-2的零點(diǎn)所在區(qū)間是(C)A.(0,22) B.(22,1) C.(1,2) D.(3.★★☆☆☆(2024·福州模擬)已知函數(shù)f(x)是偶函數(shù),當(dāng)x>0時(shí),f(x)=x3+2x,則曲線y=f(x)在x=-1處的切線方程為(A)A.y=-5x-2 B.y=-5x-8C.y=5x+2 D.y=5x+84.★★★☆☆(2024·茂名二模)若f(x)為R上的偶函數(shù),且f(x)=f(4-x),當(dāng)x∈[0,2]時(shí),f(x)=2x-1,則函數(shù)g(x)=3|sin(πx)|-f(x)在區(qū)間[-1,5]上的所有零點(diǎn)的和是(A)A.20 B.18 C.16 D.145.★★★☆☆(2024·長(zhǎng)沙二模)已知m>0,n>0,直線y=2ex+m與曲線y=2lnx-n+4相切,則1m+1n的最小值是A.4 B.3 C.2 D.16.★★★☆☆(2024·茂名一模)曲線y=lnx與曲線y=x2+2ax有公切線,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是(B)A.(-∞,-12] B.[-1C.(-∞,12] D.[17.★★★☆☆(2024·西安模擬)若函數(shù)f(x)=x3-3x+a在區(qū)間(0,2)內(nèi)有兩個(gè)零點(diǎn),則實(shí)數(shù)a的取值范圍是(A)A.(0,2) B.(2,+∞) C.(0,1) D.(1,+∞)8.★★★☆☆(2024·銅川模擬)已知ω>0,若函數(shù)f(x)=lnx-x3,x>0,sin(ωx+A.(43,73] B.[43,73) C.(73,103]9.★★★★☆(2024·合肥模擬)過點(diǎn)M(0,p)且傾斜角為α(α∈(π2,π))的直線l與曲線C:x2=2py交于A,B兩點(diǎn),分別過A,B作曲線C的兩條切線l1,l2,若l1,l2交于點(diǎn)N,直線MN的傾斜角為β,則tan(α-β)的最小值為(CA.22 B.2 C.22 D.410.★★★★☆(2024·邵陽三模)若過點(diǎn)(a,b)可以作曲線y=lnx+1的兩條切線,則(B)A.b<lna B.b>lna+1 C.a<0 D.b>ea11.★★★★☆(多選題)(2024·宜春模擬)已知函數(shù)f(x)=2-|log2x|,0<x≤2-x2+8x-11,x>2,,A.若g(x)有2個(gè)不同的零點(diǎn),則2<a<5B.當(dāng)a=2時(shí),g(f(x))有5個(gè)不同的零點(diǎn)C.若g(x)有4個(gè)不同的零點(diǎn)x1,x2,x3,x4(x1<x2<x3<x4),則x1x2x3x4的取值范圍是(12,13)D.若g(x)有4個(gè)不同的零點(diǎn)x1,x2,x3,x4(x1<x2<x3<x4),則ax1x2+x3+12.★★☆☆☆(2024·武漢模擬)已知曲線f(x)=lnx+x2a在點(diǎn)(1,f(1))處的切線的傾斜角為π3,則a的值為

313.★★★☆☆(2024·朔州模擬)已知A,B分別為曲線y=2ex+x和直線y=3x-3上的點(diǎn),則|AB|的最小值為

10214.★★★★☆(2024·石家莊三模)給定函數(shù)f(x)=|x2+x|,g(x)=x+1x,用M(x)表示f(x),g(x)中的較大者,記M(x)=max{f(x),g(x)}.若函數(shù)y=M(x)的圖象與y=a有3個(gè)不同的交點(diǎn),則實(shí)數(shù)a的取值范圍是

(0,14)∪(2,+∞)【創(chuàng)新演練】1.★★★☆☆(2024·濰坊三模)牛頓迭代法是求方程近似解的一種方法.如圖,方程f(x)=0的根就是函數(shù)f(x)的零點(diǎn)r,取初始值x0,f(x)的圖象在點(diǎn)(x0,f(x0))處的切線與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為x1,f(x)的圖象在點(diǎn)(x1,f(x1))處的切線與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為x2,一直繼續(xù)下去,得到x1,x2,…,xn,它們?cè)絹碓浇咏黵.設(shè)函數(shù)f(x)=x2+bx,x0=2,用牛頓迭代法得到x1=1619,則實(shí)數(shù)b=(DA.1 B.12 C.23 2.★★★★