高考數(shù)學(xué) 選填滿分篇 熱點10　等差數(shù)列與等比數(shù)列

熱點10等差數(shù)列與等比數(shù)列年份202220232024角度題號角度題號角度題號新高考Ⅰ卷——————新高考Ⅱ卷——等比數(shù)列的基本運算8等差數(shù)列的基本運算12考向一等差與等比數(shù)列的基本運算【典例1】(2024·新高考Ⅱ卷)記Sn為等差數(shù)列{an}的前n項和,若a3+a4=7①,3a2+a5=5②,則S10③=95【審題思維】①②a1=【題后反思】1.等差數(shù)列運算問題的通性通法(1)等差數(shù)列運算問題的一般求法是設(shè)出首項a1和公差d,然后由通項公式或前n項和公式轉(zhuǎn)化為方程(組)求解.(2)等差數(shù)列的通項公式及前n項和公式,共涉及五個量a1,an,d,n,Sn,知其中三個就能求另外兩個,體現(xiàn)了用方程的思想解決問題.2.等差數(shù)列前n項和公式的應(yīng)用方法根據(jù)不同的已知條件選用兩個求和公式,若已知首項和公差,則使用公式Sn=na1+n(n-1)2d;若已知通項公式,則使用公式Sn=n(a1+an)2,同時注意與性質(zhì)“a1+an=3.求等差數(shù)列前n項和Sn最值的兩種方法(1)函數(shù)法:利用等差數(shù)列前n項和的函數(shù)表達(dá)式Sn=an2+bn,通過配方或借助圖象求二次函數(shù)最值的方法求解.(2)鄰項變號法:①當(dāng)a1>0,d<0時,滿足am≥0,am+1≤0的項數(shù)m②當(dāng)a1<0,d>0時,滿足am≤0,am+1≥0的項數(shù)m【典例2】(一題多解)(2023·新高考Ⅱ卷)記Sn為等比數(shù)列{an}的前n項和,若S4=-5,S6=21S2,則S8=(C)A.120 B.85 C.-85 D.-120【審題思維】方法一:根據(jù)等比數(shù)列的前n項和公式求出公比,再根據(jù)S4與S8的關(guān)系即可解出;方法二:根據(jù)等比數(shù)列的前n項和的性質(zhì)求解.【題后反思】1.解決等比數(shù)列問題的常用思想方法(1)方程的思想:等比數(shù)列中有五個量a1,n,q,an,Sn,一般可以“知三求二”,通過列方程(組)求關(guān)鍵量a1和q,問題可迎刃而解.(2)分類討論的思想:等比數(shù)列的前n項和公式涉及對公比q的分類討論,當(dāng)q=1時,{an}的前n項和Sn=na1;當(dāng)q≠1時,{an}的前n項和Sn=a1(12.等差數(shù)列與等比數(shù)列的幾大公式項目等差數(shù)列等比數(shù)列通項公式及其變形an=a1+(n-1)d=am+(n-m)dan=a1qn-1=求和公式及其變形Sn=n(a1+anSn=nq≠1性質(zhì)若m+n=p+q,則am+an=ap+aq若m+n=p+q,則aman=apaqSn,S2n-Sn,S3n-Sn,S2n-Sn,S3n-考向二遞推數(shù)列與等差、等比數(shù)列【典例1】(2020·全國Ⅱ卷)數(shù)列{an}中,a1=2①,am+n=aman②.若ak+1+ak+2+…+ak+10=215-25③,則kA.2 B.3 C.4 D.5【審題思維】【題后反思】1.已知Sn求an的三個步驟(1)先利用a1=S1求出a1;(2)用n-1替換Sn中的n得到一個新的關(guān)系,利用an=Sn-Sn-1(n≥2)便可求出當(dāng)n≥2時a(3)對n=1時的結(jié)果進(jìn)行檢驗,看是否符合n≥2時an的表達(dá)式,如果符合,則可以把數(shù)列的通項公式合寫;如果不符合,則應(yīng)該分n=1與n≥2兩段來寫.2.遞推關(guān)系轉(zhuǎn)化的兩個基本方向轉(zhuǎn)化的依據(jù)是Sn與an的關(guān)系:當(dāng)n≥2時,an=Sn-Sn(1)轉(zhuǎn)化為項的關(guān)系:通過賦值兩式作差,將Sn-Sn-1換為an(2)轉(zhuǎn)化為和的關(guān)系:直接把遞推關(guān)系中的an換為Sn-Sn-1,進(jìn)而構(gòu)造關(guān)于數(shù)列{Sn【典例2】(2022·北京高考)已知數(shù)列{an}各項均為正數(shù),其前n項和Sn滿足an·Sn=9(n=1,2,…).給出下列四個結(jié)論:①{an}的第2項小于3; ②{an}為等比數(shù)列;③{an}為遞減數(shù)列; ④{an}中存在小于1100的項其中所有正確結(jié)論的序號是①③④.

【審題思維】①根據(jù)Sn與an的關(guān)系:an=S1②利用等比中項及等比數(shù)列的定義分析③利用作差法證明數(shù)列的單調(diào)性④反證法進(jìn)行證明【題后反思】1.典型的遞推數(shù)列及處理方法遞推式方法(1)an+1=an+f(疊加法(2)an+1an=f累乘法(3)an+1=pan+q(p≠0,1,化為等比數(shù)列(4)an+1=pan+q·pn+1(化為等差數(shù)列2.求數(shù)列的最大項與最小項的常用方法(1)將數(shù)列視為當(dāng)x∈N*時函數(shù)f(x)所對應(yīng)的函數(shù)值,根據(jù)f(x)的類型作出相應(yīng)的函數(shù)圖象,或利用求函數(shù)最值的方法求出f(x)的最值,進(jìn)而求出數(shù)列的最大(小)項.(2)通過通項公式an研究數(shù)列的單調(diào)性,利用an≥an+1,an≥an-【真題再現(xiàn)】1.★★☆☆☆(2024·全國甲卷)記Sn為等差數(shù)列{an}的前n項和.若S5=S10,a5=1,則a1=(B)A.-2 B.73 C.1 D.2.★★☆☆☆(一題多解)(2023·全國甲卷)記Sn為等差數(shù)列{an}的前n項和.若a2+a6=10,a4a8=45,則S5=(C)A.25 B.22 C.20 D.153.★★☆☆☆(2023·天津高考)已知{an}為等比數(shù)列,Sn為數(shù)列{an}的前n項和,an+1=2Sn+2,則a4的值為(C)A.3 B.18 C.54 D.1524.★★★☆☆(一題多解)(2023·北京高考)我國度量衡的發(fā)展有著悠久的歷史,戰(zhàn)國時期就已經(jīng)出現(xiàn)了類似于砝碼的、用來測量物體質(zhì)量的“環(huán)權(quán)”.已知9枚環(huán)權(quán)的質(zhì)量(單位:銖)從小到大構(gòu)成項數(shù)為9的數(shù)列{an},該數(shù)列的前3項成等差數(shù)列,后7項成等比數(shù)列,且a1=1,a5=12,a9=192,則a7=48;數(shù)列{an}所有項的和為384.

【模擬精選】1.★☆☆☆☆(2024·衡陽模擬)在等差數(shù)列{an}中,公差d=3,Sn為其前n項和,若S8=S9,則S17=(B)A.-2 B.0 C.2 D.42.★★☆☆☆(2024·天津三模)已知數(shù)列{an}為各項不為零的等差數(shù)列,Sn為數(shù)列{an}的前n項和,4Sn=an·an+1,則a8的值為(D)A.4 B.8 C.12 D.163.★★☆☆☆(2024·天津二模)在數(shù)列{an}中,若對任意的n∈N*都滿足an+2an+1-an+1an=d(其中d為常數(shù)),則稱數(shù)列{an}為等差比數(shù)列.已知等差比數(shù)列{an}中,a1=a2=1,aA.5 B.9 C.15 D.1054.★★☆☆☆(2024·陽泉三模)已知等差數(shù)列{an}中,a7是函數(shù)f(x)=sin(2x-π6)的一個極大值點,則tan(a5+a9)的值為(DA.33 B.3 C.±3 D.-5.★★☆☆☆已知等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn,S4=1,S8=4,則a17+a18+a19+a20=(C)A.7 B.8 C.9 D.106.★★★☆☆(2024·包頭一模)已知等差數(shù)列{an}中,a1=9,a4=3,設(shè)Tn=|a1|+|a2|+…+|an|,則T21=(C)A.245 B.263 C.281 D.2907.★★★☆☆(多選題)(2024·重慶模擬)已知數(shù)列{an},{bn},記Tn=a1a2a3…an,Sn=b1+b2+b3+…+bn,若1Tn+1an=1且bn=1TA.T12=12 B.數(shù)列{an}中的最大項為2C.S10=1011 D.Sn<8.★★★☆☆(2024·紹興三模)記Tn為正項數(shù)列{an}的前n項積,已知Tn=anan-1,則a1=2,T2024【創(chuàng)新演練】1.★★★☆☆(2024·南充模擬)如圖所示的一系列正方形圖案稱為“謝爾賓斯基地毯”,在4個大正方形中,著色的小正方形的個數(shù)依次構(gòu)成一個數(shù)列{an}的前4項.記S=1a1+1a2+…+1aA.S>87 B.S=C.S<87 D.S與82.★★★★☆(2024·紹興二模)漢諾塔(TowerofHanoi)是一個源于印度古老傳說的益智玩具.如圖所示,有三根相鄰的標(biāo)號分別為A,B,C的柱子,A柱