高考數(shù)學(xué) 創(chuàng)新融合8　解析幾何中的新定義問(wèn)題

創(chuàng)新融合8解析幾何中的新定義問(wèn)題1.(2024·綿陽(yáng)模擬)已知橢圓C1:x2a2+y2b2=1(a>b>0)和橢圓C2:y2b2+x2t2=1(b>t>0)組合成的曲線Γ如圖1所示,根據(jù)圖形特點(diǎn),稱曲線Γ為“(1)已知“貓眼曲線”Γ滿足a,b,t成等比數(shù)列,公比為22,判斷此時(shí)曲線Γ是否為“優(yōu)美貓眼曲線”.若曲線Γ經(jīng)過(guò)點(diǎn)G(0,-2),求出組成這個(gè)曲線Γ的兩個(gè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程(2)對(duì)于(1)中所求的“貓眼曲線”Γ,作直線l(斜率為k,且k≠0).①若直線l不經(jīng)過(guò)原點(diǎn)O,且與組成Γ的兩個(gè)橢圓都相交,交橢圓C1所得弦的中點(diǎn)為M,交橢圓C2所得弦的中點(diǎn)為N,如圖1所示,kOMkON是否為與k無(wú)關(guān)的定值?若是,求出該定值;若不是②若直線l的斜率k=2,l與橢圓C2相切,交橢圓C1于A,B兩點(diǎn),Q為橢圓C1上與A,B不重合的任意一點(diǎn),如圖2所示,求△ABQ面積的最大值.【解析】(1)由題意知,ba=tb=22.橢圓C1的離心率e1=1橢圓C2的離心率e2=1-(tb)

2=22所以此時(shí)曲線Γ是“優(yōu)美貓眼曲線”.由曲線Γ過(guò)點(diǎn)G(0,-2),得b=2,所以a=2,t=1,所以兩橢圓方程分別為C1:x24+y22=1,C2:y2(2)①設(shè)斜率為k的直線l交橢圓C1于點(diǎn)C(x1,y1),D(x2,y2),線段CD的中點(diǎn)為M(x0,y0),則x0=x1+x22,y0=y1+y22,k由x124+y1因?yàn)閗存在且k≠0,所以x1≠x2且x0≠0,所以y1-y2x1-x2·y0x0=-12,即k·kOM=-12②設(shè)直線l的方程為y=2x+m,由y2化簡(jiǎn)得關(guān)于x的方程4x2+22mx+m2-2=0.由Δ1=(22m)2-16(m2由圖象的對(duì)稱性,m=-2與m=2時(shí)結(jié)果一樣,不妨取m=2,則y=2x+2.由x24+y22=1y=2x+2,設(shè)A(x3,y3),B(x4,y4),則x3+x4=-825,x3x4=45,AB=3x3-x4=設(shè)Q(2cosθ,2sinθ),由點(diǎn)到直線l的距離公式得點(diǎn)Q到直線l的距離d=22cosθ-2所以dmax=10+2所以△ABQ面積的最大值為12AB·dmax=12×125×2.曲線的曲率是描述幾何彎曲程度的量,曲率越大,曲線的彎曲程度越大.曲線在點(diǎn)M處的曲率K=y″(1+y'2)32(其中y'表示函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)M處的導(dǎo)數(shù),y″表示導(dǎo)函數(shù)f'(x)在點(diǎn)M處的導(dǎo)數(shù)).在曲線y=f(x)上點(diǎn)M處的法線(過(guò)該點(diǎn)且垂直于該點(diǎn)處的切線的直線為曲線在此處的法線)指向曲線凹的一側(cè)上取一點(diǎn)D,使得|MD|=1K=ρ,則稱以D為圓心,以ρ(1)求出曲線C1:y2-x2=2在點(diǎn)M(0,2)處的曲率,并在曲線C2:xy=1的圖象上找一個(gè)點(diǎn)E,使曲線C2在點(diǎn)E處的曲率與曲線C1在點(diǎn)M(0,2)處的曲率相同;(2)若要在曲線C1:y2-x2=2上支凹側(cè)放置圓C3,使其能在M(0,2)處與曲線C1相切且半徑最大,求圓C3的方程;(3)在(2)的條件下,在圓C3上任取一點(diǎn)P,曲線C1上任取關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩點(diǎn)A,B,求·的最大值.【解析】(1)曲線C1:y2-x2=2在點(diǎn)M(0,2)附近滿足y=x2+2,進(jìn)一步有y'=y″=x2+2-故其曲率K=y″(1+y'在x=0處,K=2232=22,所以曲線C1:y2-x2=2在點(diǎn)M(0,2考慮曲線C2:xy=1上的點(diǎn)E(1,1),曲線在該點(diǎn)附近滿足y=1x,進(jìn)一步有y'=-1x2,y″故其曲率K=y″(1+y'在x=1處,K=2(1+11)

32=2232=22,所以曲線(2)設(shè)C3的方程為x2+(y-R-2)2=R2,R>0,由條件知,由x2+(y-R-2)2=R2和y將其聯(lián)立,得到y(tǒng)2-2+(y-R-2)2=R2,即y2-(R+2)y+2R=0,即(y-當(dāng)R>2時(shí),原方程組還有另一個(gè)解(R2-2,R當(dāng)R=2時(shí),(y-2)2=0,從而y=2,x2=y2-2=0,故x=0,這表明原方程組只有(x,y所以所求的半徑最大的圓C3的方程為x2+(y-(3)首先有·=(+)·(+)=(+)·(-)=OP2-OA2.設(shè)A(xA,y