小學(xué)六年級奧數(shù)詳解-工程問題

第一講工程問題

工程問題是應(yīng)用題中的一種類型.在工程問題中，一般要出現(xiàn)三個量：工

作總量、工作時間(完成工作總量所需的時間)和工作效率(單位時間內(nèi)完成

的工作量).

這三個量之間有下述一些關(guān)系式：

工作效率X工作時間=工作總量，

工作總量+工作時間=工作效率，

工作總量+工作效率=工作時間.

為表達方便，把這三個量簡稱工量、工時和工效.

例1一項工程，甲乙兩隊合作需12天完成，乙丙兩隊合作需15天完成,

甲丙兩隊合作需20天完成，如果由甲乙丙三隊合作需幾天完成？

分析設(shè)這項工程為1個單位，那么甲、乙合作的工效為乙、丙合

12

作的工效為,，甲、丙合作的工效為工。因此甲、乙、丙三隊合作的工效的

1520

2倍為‘+'+所以甲、乙、丙三隊合作的工效為')?2二

12152()12152()1()

因此二隊合作完成這項工程的時間為1：卡=10(天)

解：(_L+,+_L)4-2]=10(天)

121520

答：甲、乙、丙三隊合作需10天完成.

說明：我們逋常把工量”一項工程〃看成一個單位，這樣，工效就用工時

的倒數(shù)來表示。如例1中甲、乙兩隊合作的工時為12天，那么工效就為,，

12

它表示甲、乙兩隊一天完成全部工程的

12

例2師徒二人合作生產(chǎn)一批零件，6天可以完成任務(wù).師傅先做5天后，

因事外出，由徒弟接著做3天，共完成任務(wù)的看批零件各需幾天？

分析設(shè)一批零件為單位“1〃，其中6天完成任務(wù)，用!表示師徒的工

效和.要求每人單獨做各需幾天，首先要求出各自的工效，關(guān)鍵在于把師傅先

做5天，接著徒弟做3天轉(zhuǎn)化為師徒二人合作3天，師傅再做2天.

解：師傅工效：（Z—JX3）4-2=--

10610

徒弟工效：=

61015

師傅單獨做需幾天：1+5=10（天）

徒弟單獨做需幾天：1+_L=151天）。

15

答：如果單獨做，師傅需10天，徒弟需15天.

例3一項工程，甲單獨完成需12天，乙單獨完成需9天.假設(shè)甲先做假

設(shè)干天后乙接著做，共用10天完成，問甲做了幾天？

分析解答工程問題時，除了用一般的算術(shù)方法解答外，還可以根據(jù)題目

的條件，找到等量關(guān)系，列方程解題。

解：設(shè)甲做了x天.那么,

甲完成工作量的‘X,乙做的天數(shù)io—X,

12

乙完成工作量（10—工）xl,

因此,/+（10—x]X-=1,

129

兩邊同乘36,得到：3x+40-4x=36

x=4.

答：甲做了4天.

例4一件工作甲先做6小時，乙接著做12小時可以完成；甲先做8

小時，乙接著做6小時也可以完成.如果甲做3小時后由乙接著做，還

需要多少小時完成？

分析設(shè)一件工作為單位“1〃.甲做6小時，乙再做12小時完成或

者甲先做8小時，乙再做6小時都可完成，用圖表示它們的關(guān)系如下：

由圖不難看出甲2小時工作量=乙6小時工作量，，甲1小時工作量=乙

3小時工作量.可用代換方法求解問題.

解：假設(shè)由乙單獨做共需幾小時：

6X3+12=30（小時）.

假設(shè)由甲單獨做需兒小時：

8+64-3=10（小時）?

答：還要增加18人.

例6蓄水池有一條進水管和一條排水管.要灌滿一池水，單開進水管需5

小時.排光一池水，單開排水管需3小時.現(xiàn)在池內(nèi)有半池水，如果按進水，

排水，進水，排水…的順序輪流各開1小時.問：多長時間后水池的水剛好排

完？（精確到分鐘）

分析與解答①在解答“水管注水〃問題時，會出現(xiàn)一個進水管，一個出水

管的情況.假設(shè)進水管、出水管同時開放，那么積滿水的時間=1+（進水管

工效一出水管工效）。

排空水的時間=1+（出水管工效一進水管工效）.

②這道應(yīng)用題是分析推理與計算相結(jié)合的題目.根據(jù)條件推出水池中的水

每小時減少!一，二2。水池中有半池水即,，經(jīng)過6小時后還剩工一2X（6

35152215

+2）如果按進水、排水的順序進行，那么又應(yīng)進水1小時，這時水池

內(nèi)共有水'+!二如果按每小時」的流速排出需要2$=以（小時），共

10510310310

用的時間為6+1+介7.9（小時）=7小時54分剛好排完。

例7一件工作，甲5小時先完成了,，乙6小時又完成了剩下任務(wù)的一

4

半，最后余下的局部由甲、乙合作，還需要多少時間才能完成？

分析這道題是工程問題與分數(shù)應(yīng)用題的復(fù)合題.解題時先要分別求出甲、

乙工作效率，再把余下的工作量轉(zhuǎn)化為占單位“1〃（總工作量）的幾分之幾？

解：甲工作效率：-^5=—；

420

乙工作效率：(1--)xl^-6=—；

4216

余下局部甲、乙合作需要幾小時：

(1--)X(1-1)?('+')=3，(小時)

4220163

答：還需要3g小時才能完成任務(wù)。

例8甲、乙二人植樹，單獨植完這批樹臼比乙所需要的時間多1,如果

3

二人一起干，完成任務(wù)時乙比甲多植樹36棵，這批樹一共多少棵？

分析求這批樹一共多少棵，必須找出與36棵所對應(yīng)的甲、乙工效差。乙

知甲比乙所用的時間多,可以求出甲與乙所用的時間比為4：3。當(dāng)工作總量

一定的情況下，工效與工時成反比例，甲與乙的工時比為1二4：3,所以甲

與乙的工效比是3：4O這個間接條件一旦揭示出來，問題就得到解決了。

解：設(shè)乙所用時間為“1〃，甲的時間是乙的1+'=J(倍)，那么甲與

33

乙的時間比是4：3o

工作總量一定，工作效率和工作時間成反比例，所以甲與乙的工效比是時

間比的反比，為3：4。

共植樹多少棵：36：(三―3)=252(棵)

77

答:這批樹一共252棵.

例9加工一批零件，甲、乙合作24天可以完成。現(xiàn)在由甲先做16天，

然后乙再做12天，還剩下這批零件的|沒有完成。乙知甲每天比乙多加工3

個零件，求這批零件共多少個？

分析欲求這批零件共多少個，由題中條件只需知道甲、乙二人每天共做

多少個即可，然后這就轉(zhuǎn)化為求甲、乙兩人單獨做各需多少天，有了這個結(jié)論

后，只需算出3個零件相當(dāng)于總數(shù)的幾分之兒即可.由條件知甲做16天，乙

做12天共完成工程的3,也即相當(dāng)于甲、乙二人合做12天，另外加上甲又做

5

4天共完成這批零件的|；又知道甲、乙二人合做24天可以完成，因此甲單獨

做所用天數(shù)可求出，那么乙單獨做所用天數(shù)也就迎刃而解。

解：甲、乙合作12天，完成了總工程的幾分之幾?

—X12=l

242

甲1天能完成全工程的幾分之幾？

(--i)4-(16-12)=—

5240

乙1天可完成全工程的幾分之兒?

244060

這批零件共多少個?

34-）=360（個）

4060

答：這批零件共360個.

例10一項工程，甲單獨做要12小時完成，乙單獨做要18小時完成.假

設(shè)甲先做1小時，然后乙接替甲做1小時，再由甲接替乙做1小時，…，兩人

如此交替工作，問完成任務(wù)時，共用了多少小時？

分析要求共用多少小時？可以設(shè)想把這些小時重新分配：甲做1小時，

乙做1小時，它們相當(dāng)于合作1小時，也即是每2小時，相當(dāng)于合做1小時.這

樣先大致算一下一共進行了多少個這樣的2小時，余下局部問題就好解決了.

解：①假設(shè)甲、乙兩人合作共需多少小時？

1+（-+-）=71（小時）

12185

②甲、乙兩人各單獨做7小時后，還剩多少?

1-7X)=—

121836

③余下嗚由甲單獨做需要多少小時?

二

_5_J_J（小時）

36*Y2~3

④共用了多少小時？

7X2+1=14-（小時）

33

答：共用了14g小時。

3

習(xí)題一

1,一項工程，甲單獨做12天可以完成.如果甲單獨做3天，余下工作由

乙去做，乙再用6天可以做完.問假設(shè)甲單獨做6天，余下工作乙要做幾天？

2,一條水渠