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文檔簡(jiǎn)介

此部分參考答案由葉博士在課余時(shí)間總結(jié)整理而成,在此對(duì)其付出的

勞動(dòng)表示感謝!由于整理者水平有限,加之時(shí)間倉(cāng)促,難免會(huì)有錯(cuò)誤

之處,懇請(qǐng)讀者見(jiàn)諒。

習(xí)題二:

1.證:

設(shè)為X取值為々(k>\)的隨機(jī)變量。且Pk=P(x=k)

證法I(通俗證法,但不嚴(yán)格):

88

E(x)=Z"JA=Z3(%=k)=p(x-1)+2p(x-2)+3Mx=3)...+=〃)+...

jt>iA>I

00

=p(x>1)+p(x>2)+p(x>3)...+p(x>〃)+...=2k)

JI=I

證法II:

EX=£kp(x=k)=£2p(x=k)=££p(x=k)=£p(xNi)

*=lhl/=11=1*=/#=l

=£p(xNk)

*=i

證法川:

E(X)=冗kp(x=k)=£k(p(X>k)-p(x>k+1))

*=1Jt=1

=Xkp(x>k)~Yj(k+\)p(x>k+\)+^p[x>k+\)

*=1*=1A=1

oo00

=p(%=1)+ZP(x2%+1)=£P(guān)(x2%)

hlhl

2.解:

E(Y)=Ele"')=J二*/(x)公=公=ex^}dx

/??KO.i、

=—fde(a-l)x=—

a-1Jo\-a

3.解:

邊緣概率密度為:

「/、尸、」f'x2」2x

fx@)=\^f(x,y)dy=\6xy-dy=^其它

/rOO=「/(xjMx=小眼”,;,0

JrJOo,具匕

因?yàn)?a,y)=/a)"y)所以x,y獨(dú)立。故cov(x,y)=cov(y,x)=o

E(X)=xf(x)dx=j]2x2dx=-E(X2)=^2x3dx=-

E(y)=匚/3)方=J;3/4=2E(Y2)=J;3y4力=l

?3

cov(%,X)=E(X2)-(E(X))2=—cov(y,y)=£(y2)-(£(y))2=—

i

0

cov(X,X)cov(x,y)

故(x,y)的協(xié)方差矩陣為18

cov(y,x)cov(r,y)3

0

80

4.解:

(1)

必=〃2=°,b;=1,E=4,P=:將各參數(shù)代入二維正態(tài)分布密度函數(shù),最終得:

2

山上患exp卜翡-卜+川}

(2)

cov(y,y)_i

ncov(^,y)=1

PxY"Vvar(x)Vvar(y)-2

???cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)/.E(XY)=1

當(dāng)z與x獨(dú)立時(shí),有E(zy)=E(z)E(y)

E(Z)=aE(X)+E(y)=0,E(K)=0,£(ZK)=f[a(AT)+K2]=a£(AT)+E(K2)

^E(AT)+E(r2)=a+4=0=>a=-4

6解:

p(x+』)哆p(x",y=i)哆務(wù)-4晶

'4口4

…心』)=阿磊滬"-(4+冬)+^2)kA+4

8.解:

ur,aAx

Mx(u)=£(e)=匚二八x)dx=^eAe-dx=-^―(2>〃)

171

EO)=乂;⑺L=JE(X?)="⑺1°=不"(X)=不

13.解:

由特征函數(shù)與矩母函數(shù)關(guān)系知:M(u)=—

x)1-u

.*.£(%)=A//(M)=1E(X2)=Af/(w)|=2Z)(X)=l

u=oL=o

14.解:

均相互獨(dú)立。:.(px[u)=(Px\(〃)??以“(〃)其中X二£匕

"*=i

又?.,x”...,x.均同分布于兩點(diǎn)分布

(M<u

??.9x、(〃)=9*2(〃)=.?.二Pxn()=e'"°(1一P)+e-P=l-p+pe

/.(px(〃)=(1一p+pe"')"與二項(xiàng)分布特征函數(shù)一致

由于特征函數(shù)具有唯一性,故題設(shè)成立。

15.解:

(1)根據(jù)特征函數(shù)與矩母函數(shù)關(guān)系,再由第8題結(jié)論知:外.(〃)=4_

,4一in

(2)???X1,…,X〃相互獨(dú)立。G(〃)=n%e)=n

16.W:

i,,h

(pY[u^=EeE

由條件知:(A;,…,X”)的特征函數(shù)為e(〃,..,〃”),即:

以〃,=網(wǎng)"㈤)=網(wǎng)/'―"))

令孫=aku則,原式變?yōu)?網(wǎng)>“/"+”+%無(wú)"))

代入(1)式,即得:%

習(xí)題三:

1.解:

(1)4=E(XJ=£(4+8)=")+E(8)=0

(2)

R儲(chǔ)也)=E(X/Q=E[(幽+B)(At2+3)]

2

=E[帛242+1+%)48+=1/2石(42)+E(B)+(tl+t2)E(AB)

???46相互獨(dú)立:.E(AB)=E(A)E(B)=0

又???£p2)=E(B2)=o2

氏&"2)=(他+1)。2

⑶C(B2)=R(32)—E(Z戶(線)

,/E(X,)=0??C*(。/2)=R(£"2)=(?!?+1)。

2.解:

(1)〃y=E(X+9(/))=E(X)+O?)="X+。《)

Ry(32)=E[Z+*J)m+*2))]=E[x//2+X網(wǎng)2)+五如)+內(nèi))〃2)]

=Rx(32)+兇2)4,+/@)%,,+*1)*2)

*12

。丫(G,G)=&t"2)-E(Z廬徨)="y(32)-+兇I)][H,,+如2)]

(G冉)-依91,(

=RxINx,2,=Cx2)

3.解:

(1)

P(M=+察""

產(chǎn)(乂=0)=e<=0.2=>2=ln5

P(N2>\]=\-P(N2<\]=\-P(N2=O)-P(AT2=I)

=1-e-2'-2Ae-2A=0.96-0.08ln5=0.83

(2)

???E(N,)=力由題設(shè)知平均每10分鐘到達(dá)5位乘客。

9IO*

,o

P(^,>10)=l-P(iVf<9)=1-^—e-=0.54205(建議使用編程計(jì)算)

jt=ok!

15.W:

".\加(力)Juk-xrV1\te)c-右ge"

(u=Eeee=e

PNl{)[)=L=eL-7;—=e

/=oK?£=oK?

習(xí)題四:

1.解:

(1)

P{N=k,N=n}PM=kNT="k}

P〈Ns=k\N,s=t/2>=-------------------------

'尸(N,=〃)P(N,=n)

P(MW2)=f騫e”

=e~2^-2e-2+2e~2=5e~2

*=0K?

P(N]=l,y2=3)=P(N1=1,MT=2)=P(N=l)P(N2T=2)

=4。"

P(7V>2,7/>1)_P(7V>2)

P(MN2|NNl)=1II

P(2V,>1)--川

1-P(乂Wl)=1-31

1-P(^,=O)~\-e~2

(3)

??平均每小時(shí)有30人到達(dá)

30

2=—=0.5(人/分鐘)

60

根據(jù)齊次Poisson過(guò)程的到達(dá)時(shí)間間隔{X”,〃=1,2,...}是獨(dú)立同分布于均值為J的指數(shù)分

布的,故可有;

相繼到達(dá)的顧客的時(shí)間間隔大于2分鐘的概率為:

A,l

P(Xn>2)=e-=e~

相繼到達(dá)的顧客的時(shí)間間隔小于2分鐘的概率為:

A,l

P(Xn<2)=l-e-=\-e-

相繼到達(dá)的顧客的時(shí)間間隔在1分鐘到3分鐘之間的概率為:

。(1<土<3)=尸(無(wú)<3)-尸(匕<1)=1-075_(1_?{5)=?《5_0-1.5

2.解:

(1)由P47頁(yè),poisson過(guò)程自相關(guān)函數(shù)結(jié)果知:

22

E(^^f+J=Zmin(/,/4-5)4-2r(/+5)=A/+2/(/+5)

(2)P(Ns<Nl)=P(Nl-Ns>O)=P(N,^>0)=i

(3),.?£>(),尸(N,—N$2£)二尸(MT>£)>0

對(duì)De,mW為非負(fù)整數(shù),使得VNe

P(N”s>小力(N-狗片

K=Ojt=oK-

M為一個(gè)有限數(shù)而當(dāng)rfs時(shí),。-s)為一個(gè)無(wú)窮小量

M四-疥

vlimYe-(i)=0

k\

0<limP(^_5>f)<lim=0

/TS'TS*—ok!

由夾逼準(zhǔn)則知,此極限為0

(4)(此題參考答案可能存在一定問(wèn)題)

£(用⑺)=4/:3)=(N)di=無(wú)力=

E(V⑺)=4*£乂"J:NRs卜J;fN,N/s,

不妨設(shè)EMs則

£”(7))=*山(乂乂)杰出=*[:1("+戶s)海

1(ZT3A2T4}ATZ2T2

------+--------b----

T2{24J24

var(〃⑺)=E"⑺)_儀必⑺丫造

3.解:

(1)對(duì)于M(f)和%2(小可以分別求出它們的特征函數(shù)為:

9M(〃)=e"(…)(PN】W=)小山

由于乂⑴和22(。相互獨(dú)立,對(duì)于MS+M"),故其特征函數(shù)為:

(〃)=E(*(NMM)))=網(wǎng)產(chǎn)⑺,(產(chǎn)”

=一+"T)

由特征函數(shù)的唯一性知,其為強(qiáng)度為4+4的poisson過(guò)程。

(2)依照上述步驟求得乂?)-乂2?)的特征函數(shù)為:

⑻)=E卜加M"))后標(biāo)-加""))=

_4d+We-"(4+4),

-V

故不為poisson過(guò)程

4.解:

P(S]<5)+h,S<s+力,S3+,)—P(S]?6],典“$2'$34s3)

/(^,52,53)=lim22

力一>u力3

I0(再<S]<51+h,s2<S2<s2+h,s3<S3<s3+h)

hTO

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