隨機(jī)過(guò)程及其在金融領(lǐng)域中的應(yīng)用課后答案

此部分參考答案由葉博士在課余時(shí)間總結(jié)整理而成，在此對(duì)其付出的

勞動(dòng)表示感謝！由于整理者水平有限，加之時(shí)間倉(cāng)促，難免會(huì)有錯(cuò)誤

之處，懇請(qǐng)讀者見(jiàn)諒。

習(xí)題二：

1.證：

設(shè)為X取值為々(k>\)的隨機(jī)變量。且Pk=P(x=k)

證法I(通俗證法，但不嚴(yán)格)：

88

E(x)=Z"JA=Z3(％=k)=p(x-1)+2p(x-2)+3Mx=3)...+=〃)+...

jt>iA>I

00

=p(x>1)+p(x>2)+p(x>3)...+p(x>〃)+...=2k)

JI=I

證法II：

EX=￡kp(x=k)=￡2p(x=k)=￡￡p(x=k)=￡p(xNi)

*=lhl/=11=1*=/#=l

=￡p(xNk)

*=i

證法川:

E(X)=冗kp(x=k)=￡k(p(X>k)-p(x>k+1))

*=1Jt=1

=Xkp(x>k)~Yj(k+\)p(x>k+\)+^p[x>k+\)

*=1*=1A=1

oo00

=p(%=1)+ZP(x2%+1)=￡P(guān)(x2%)

hlhl

2.解：

E(Y)=Ele"')=J二*/(x)公=公=ex^}dx

/??KO.i、

=—fde(a-l)x=—

a-1Jo\-a

3.解：

邊緣概率密度為:

「/、尸、」f'x2」2x

fx@）=\^f（x,y）dy=\6xy-dy=^其它

/rOO=「/（xjMx=小眼”，；，0

JrJOo，具匕

因?yàn)?a,y）=/a）"y）所以x，y獨(dú)立。故cov（x,y）=cov（y,x）=o

E（X）=xf（x）dx=j]2x2dx=-E（X2）=^2x3dx=-

E（y）=匚/3）方=J；3/4=2E（Y2）=J；3y4力=l

?3

cov（%,X）=E（X2）-（E（X））2=—cov（y,y）=￡（y2）-（￡（y））2=—

i

0

cov（X,X）cov（x,y）

故(x,y)的協(xié)方差矩陣為18

cov（y,x）cov（r,y）3

0

80

4.解：

(1)

必=〃2=°，b；=1，E=4，P=：將各參數(shù)代入二維正態(tài)分布密度函數(shù)，最終得:

2

山上患exp卜翡-卜+川｝

(2)

cov（y,y）_i

ncov（^,y）=1

PxY"Vvar（x）Vvar（y）-2

???cov（X,Y）=E（XY）-E（X）E（Y）/.E（XY）=1

當(dāng)z與x獨(dú)立時(shí)，有E（zy）=E（z）E（y）

E（Z）=aE（X）+E（y）=0,E（K）=0,￡（ZK）=f[a（AT）+K2]=a￡（AT）+E（K2）

^E（AT）+E（r2）=a+4=0=>a=-4

6解:

p(x+』)哆p(x",y=i)哆務(wù)-4晶

'4口4

…心』)=阿磊滬"-(4+冬)+^2)kA+4

8.解：

ur,aAx

Mx(u)=￡(e)=匚二八x)dx=^eAe-dx=-^―(2>〃)

171

EO)=乂；⑺L=JE(X?)="⑺1°=不"(X)=不

13.解：

由特征函數(shù)與矩母函數(shù)關(guān)系知：M(u)=—

x)1-u

.*.￡(%)=A//(M)=1E(X2)=Af/(w)|=2Z)(X)=l

u=oL=o

14.解：

均相互獨(dú)立。:.(px[u)=(Px\(〃)??以“(〃)其中X二￡匕

"*=i

又?.,x”...,x.均同分布于兩點(diǎn)分布

(M<u

??.9x、(〃)=9*2(〃)=.?.二Pxn()=e'"°(1一P)+e-P=l-p+pe

/.(px(〃)=(1一p+pe"')"與二項(xiàng)分布特征函數(shù)一致

由于特征函數(shù)具有唯一性，故題設(shè)成立。

15.解:

(1)根據(jù)特征函數(shù)與矩母函數(shù)關(guān)系，再由第8題結(jié)論知：外.(〃)=4_

,4一in

（2）???X1,…,X〃相互獨(dú)立。G（〃）=n%e）=n

16.W：

i,,h

（pY[u^=EeE

由條件知：（A；,…,X”）的特征函數(shù)為e（〃,..,〃”），即：

以〃，=網(wǎng)"㈤）=網(wǎng)/'―"））

令孫=aku則，原式變?yōu)?網(wǎng)＞“/"+”+%無(wú)"））

代入（1）式，即得：%

習(xí)題三：

1.解：

（1）4=E（XJ=￡（4+8）="）+E（8）=0

（2）

R儲(chǔ)也）=E（X/Q=E［（幽+B）（At2+3）］

2

=E［帛242+1+%）48+=1/2石（42）+E（B）+（tl+t2）E（AB）

???46相互獨(dú)立：.E（AB）=E（A）E（B）=0

又???￡p2）=E（B2）=o2

氏&"2）=（他+1）。2

⑶C（B2）=R（32）—E（Z戶（線）

,/E（X,）=0??C*（。/2）=R（￡"2）=（?！?+1）。

2.解：

（1）〃y=E（X+9（/））=E（X）+O?）="X+。《）

Ry(32)=E[Z+*J)m+*2))]=E[x//2+X網(wǎng)2)+五如)+內(nèi))〃2)]

=Rx(32)+兇2)4,+/@)%,,+*1)*2)

*12

。丫(G，G)=&t"2)-E(Z廬徨)="y(32)-+兇I)][H,,+如2)]

(G冉)-依91，(

=RxINx,2,=Cx2)

3.解:

(1)

P(M=+察""

產(chǎn)(乂=0)=e<=0.2=>2=ln5

P(N2>\]=\-P(N2<\]=\-P(N2=O)-P(AT2=I)

=1-e-2'-2Ae-2A=0.96-0.08ln5=0.83

(2)

???E(N,)=力由題設(shè)知平均每10分鐘到達(dá)5位乘客。

9IO*

,o

P(^,>10)=l-P(iVf<9)=1-^—e-=0.54205(建議使用編程計(jì)算)

jt=ok!

15.W：

".\加(力)Juk-xrV1\te)c-右ge"

(u=Eeee=e

PNl{)[)=L=eL-7；—=e

/=oK?￡=oK?

習(xí)題四:

1.解：

(1)

P{N=k,N=n}PM=kNT="k}

P〈Ns=k\N,s=t/2>=-------------------------

'尸（N,=〃）P（N,=n）

P（MW2）=f騫e”

=e~2^-2e-2+2e~2=5e~2

*=0K?

P（N]=l,y2=3）=P（N1=1，MT=2）=P（N=l）P（N2T=2）

=4。"

P（7V>2,7/>1）_P（7V>2）

P（MN2|NNl）=1II

P（2V,>1）--川

1-P（乂Wl）=1-31

1-P（^,=O）~\-e~2

(3)

??平均每小時(shí)有30人到達(dá)

30

2=—=0.5（人/分鐘）

60

根據(jù)齊次Poisson過(guò)程的到達(dá)時(shí)間間隔｛X”,〃=1,2,...｝是獨(dú)立同分布于均值為J的指數(shù)分

布的，故可有；

相繼到達(dá)的顧客的時(shí)間間隔大于2分鐘的概率為：

A,l

P(Xn＞2)=e-=e~

相繼到達(dá)的顧客的時(shí)間間隔小于2分鐘的概率為：

A,l

P(Xn＜2)=l-e-=\-e-

相繼到達(dá)的顧客的時(shí)間間隔在1分鐘到3分鐘之間的概率為：

。(1＜土＜3)=尸(無(wú)＜3)-尸(匕＜1)=1-075_(1_?｛5)=?《5_0-1.5

2.解：

(1)由P47頁(yè)，poisson過(guò)程自相關(guān)函數(shù)結(jié)果知：

22

E(^^f+J=Zmin(/,/4-5)4-2r(/+5)=A/+2/(/+5)

(2)P(Ns<Nl)=P(Nl-Ns>O)=P(N,^>0)=i

(3),.?￡>(),尸(N,—N$2￡)二尸(MT>￡)>0

對(duì)De,mW為非負(fù)整數(shù)，使得VNe

P(N”s>小力(N-狗片

K=Ojt=oK-

M為一個(gè)有限數(shù)而當(dāng)rfs時(shí)，。-s)為一個(gè)無(wú)窮小量

M四-疥

vlimYe-(i)=0

k\

0<limP(^_5>f)<lim=0

/TS'TS*—ok!

由夾逼準(zhǔn)則知，此極限為0

(4)(此題參考答案可能存在一定問(wèn)題)

￡(用⑺)=4/：3)=(N)di=無(wú)力=

E(V⑺)=4*￡乂"J：NRs卜J；fN,N/s,

不妨設(shè)EMs則

￡”(7))=*山(乂乂)杰出=*［：1("+戶s)海

1(ZT3A2T4}ATZ2T2

------+--------b----

T2{24J24

var(〃⑺)=E"⑺)_儀必⑺丫造

3.解：

(1)對(duì)于M(f)和％2(小可以分別求出它們的特征函數(shù)為:

9M(〃)=e"(…)(PN】W=)小山

由于乂⑴和22(。相互獨(dú)立，對(duì)于MS+M"),故其特征函數(shù)為:

(〃)=E(*(NMM)))=網(wǎng)產(chǎn)⑺,(產(chǎn)”

=一+"T)

由特征函數(shù)的唯一性知，其為強(qiáng)度為4+4的poisson過(guò)程。

(2)依照上述步驟求得乂?)-乂2?)的特征函數(shù)為：

⑻)=E卜加M"))后標(biāo)-加""))=

_4d+We-"(4+4)，

-V

故不為poisson過(guò)程

4.解:

P（S]<5）+h,S<s+力,S3+，）—P（S]?6],典“$2'$34s3）

/（^,52,53）=lim22

力一>u力3

I0（再<S]<51+h,s2<S2<s2+h,s3<S3<s3+h）

hTO