2024-2025學(xué)年福建省福州市八縣市聯(lián)盟校高二下學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試卷（含答案）

第=page11頁，共=sectionpages11頁2024-2025學(xué)年福建省福州市八縣市聯(lián)盟校高二下學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.若C202x=C203x?5A.5 B.3 C.10 D.5或32.2025年福清市元宵晚會(huì)共有3個(gè)語言類節(jié)目，2個(gè)雜技魔術(shù)類節(jié)目，5個(gè)歌舞類節(jié)目，假設(shè)從中依次不放回地隨機(jī)抽取兩個(gè)節(jié)目參加福州市元宵晚會(huì)，求第一次抽到雜技魔術(shù)類節(jié)目的條件下，第二次抽到語言類節(jié)目的概率為(

)A.23 B.35 C.153.函數(shù)f(x)在x=x0處可導(dǎo)，若limΔx→0A.1 B.13 C.3 D.4.離散型隨機(jī)變量ξ的概率分布規(guī)律為P(ξ=n)=an(n+1)(n=1,2,3)，其中a是常數(shù)，則P1A.29 B.89 C.1 5.近幾年，網(wǎng)購已逐漸成為透視消費(fèi)市場和經(jīng)濟(jì)發(fā)展的一扇窗戶.小米直播間共有8位主播(3男5女)，現(xiàn)需安排兩人分別擔(dān)任“主推官”和“推薦官”，要求：主推官和推薦官必須由不同性別的主播擔(dān)任，且小李(男)和小紅(女)至少有一人被選中，則不同的安排方案有(

)A.18 B.24 C.14 D.306.定義f(x)=f′(x)的實(shí)數(shù)根x叫函數(shù)f(x)的“躺平點(diǎn)”.若函數(shù)g(x)=ex?2x，φ(x)=2024x+2024，?(x)=lnxA.a>b>c B.b>c7.已知函數(shù)f(x)=4x3?ax2+3在[0,2]上的最大值為3A.(0,8) B.[12,+∞) C.[8,12) 8.隨著互聯(lián)網(wǎng)的發(fā)展，AI的出現(xiàn)為人們提供了很大的便利.某企業(yè)員工小唐撰寫報(bào)告選擇文心一言、豆包、DeepSeek的概率均為13，而使用文心一言、豆包、DeepSeek出錯(cuò)的概率分別為14、15、16A.35 B.1237 C.1537二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。9.已知二項(xiàng)式x?2xn展開式的二項(xiàng)式系數(shù)的和為64，則A.n=6 B.n=8

C.x?2xn展開式常數(shù)項(xiàng)為?160 D.10.隨機(jī)變量X分布列如下表，下列說法正確的是(

)XxyPyxA.E(X)≥12 B.x+y=1 C.D(X)≤11611.函數(shù)f(x)=x3+3ax+2存在3個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值可以是A.?2 B.?1 C.?3 D.?5三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.已知函數(shù)f(x)=3sinα+cosx，α∈[0,2π)13.某?！靶腔稹迸c“沖鋒”兩支排球隊(duì)采用五局三勝制比賽，“星火”隊(duì)獲勝的概率為0.4，且每輪比賽都分出勝負(fù)，則“星火”隊(duì)不超過四局獲勝的概率為

．14.某市青少年機(jī)器人編程大賽進(jìn)入決賽階段，共有10支隊(duì)伍參賽，其中4支隊(duì)伍由女生主導(dǎo)(記為F組)，6支隊(duì)伍由男生主導(dǎo)(記為M組).組委會(huì)通過隨機(jī)抽簽決定決賽展示順序．設(shè)事件A為“第1個(gè)進(jìn)行展示的隊(duì)伍來自F組”，事件B為“第2個(gè)進(jìn)行展示的隊(duì)伍來自F組”.則P(B)=

，P(A∪B)=

．四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15.(本小題13分)在((1)含x?2(2)求展開式中所有的有理項(xiàng)．16.(本小題15分)某社區(qū)隨機(jī)調(diào)查了100名居民的每日睡眠時(shí)長(小時(shí))，得到如圖所示的頻率分布直方圖．(1)求該100名居民的每日睡眠時(shí)長的第50百分位數(shù)(保留兩位小數(shù))；(2)為進(jìn)一步調(diào)查睡眠質(zhì)量，采用分層抽樣從每日睡眠時(shí)長在[2,4),[4,6),[8,10)內(nèi)的居民中抽取10人，再從中任選3人進(jìn)行調(diào)查，求抽到每日睡眠時(shí)長在[4,6)17.(本小題15分)設(shè)f(x)=a(x?7)2+12lnx(a∈R),(1)求a的值；(2)求函數(shù)f(x)的極值．18.(本小題17分)甲參加一檔電視知識(shí)競賽節(jié)目，該節(jié)目采用三輪兩勝制．在每輪比賽中，甲需要回答一個(gè)知識(shí)問題，回答正確的概率為p(0<p<(1)當(dāng)p=1(2)為了增加比賽的趣味性，節(jié)目組設(shè)置兩種積分獎(jiǎng)勵(lì)方案．方案一：最終獲勝者得5分，失敗者得2分；方案二：最終獲勝者得3分，失敗者得0分.請(qǐng)討論選擇哪種方案，使得甲獲得積分的數(shù)學(xué)期望更大．19.(本小題17分)在計(jì)算機(jī)圖形學(xué)中，若某曲線在x∈(0,+∞)內(nèi)具有“單側(cè)光反射”特性(即存在一條基準(zhǔn)線，曲線在該區(qū)間內(nèi)始終上升，并且與基準(zhǔn)線在某一點(diǎn)處相切)，則稱該曲線為“光潔曲線”.曲線對(duì)應(yīng)的函數(shù)g(x)為“光潔函數(shù)”，即函數(shù)g(x)在(1)若f(x)=x2?x(2)已知光潔曲線y=ex?1的一條基準(zhǔn)線l與曲線y=(3)若f(x)=2ex?x2lnx?2，a>0，b參考答案1.A

2.D

3.B

4.B

5.C

6.C

7.D

8.C

9.AC

10.BCD

11.ACD

12.3π213.0.1792

14.25或0.4

；

215.解：(1)由題知展開式的通項(xiàng)為Tk+1=C令3?52k所以展開式中含x?2項(xiàng)為T所以展開式中含x?2項(xiàng)的系數(shù)為60(2)令3?52∴k=0,2,4,6當(dāng)k=0時(shí)，T當(dāng)k=2時(shí)，T當(dāng)k=4時(shí)，T當(dāng)k=6時(shí)，T綜上所述，展開式中所有的有理項(xiàng)分別為x16.解：(1)由題意得(0.015+0.030+a+0.030+0.005)所以a=0.42.所以該100名居民的每日睡眠時(shí)長的第50百分位數(shù)：法1：因?yàn)椋?0.015+0.03)所以50%分位數(shù)一定位于[6,8)內(nèi)，由6+2×0.5?0.090.42法2：由題意得(0.015+0.030+a+0.030+0.005)所以a=0.42.所以該100名居民的每日睡眠時(shí)長的第50百分位數(shù)：設(shè)第50百分位數(shù)為x，則0.09+(x?6)×解得x(2)每日睡眠時(shí)長在[2,4),[4,6),所以采用分層抽樣從每日睡眠時(shí)長在[2,4),[4,6),[8,10)內(nèi)的居民中抽取10人中每日睡眠時(shí)長在[2,4),[4,6),[8,10)內(nèi)居民人數(shù)分別為所以X可取0，1，2，3P(X=0)=C40P(X=2)=C42所以X的分布列為X0123P1131數(shù)學(xué)期望E(X)=0

17.解：(1)由f(x)=a(x?7)2令x=1，則f(1)=36a,所以曲線y=f(x)在點(diǎn)(1,f(1))處的切線方程為y?36a=(12?12a)(x?1).∵點(diǎn)(0,12)在切線上，可得12?36a=12a?12.解得a=1(2)由(1)知f(x)=12(x?7)2+12則f令f′(x)=0則x、f′(x)、x

(0,3)

3

(3,4)

4

(4,+∞f′+

0

?

0

+

f(x)

單調(diào)遞增8+12ln單調(diào)遞減92單調(diào)遞增所以f(x)在(0,3)和(4,+∞)上單調(diào)遞增，f(x)在所以f(x)的極大值為f(3)=8+12ln3，f(x)的極小值為18.解：(1)記“甲最終以2:1獲勝”為事件A，記“甲最終以2:0于是C=A∪B，A與由于P(A)=CP(B)=則P(C)=P(A)+P(B)=727，即甲最終獲勝的概率為(2)由(1)可知，P(C)=P(A)+P(B)=3若選用方案一，記甲最終獲得積分為X分，則X可取5,2P(X=5)=P(C)=3則X的分布列為：X

52

p

3p1?3p則E(X)=15若選用方案二，記甲最終獲得積分為Y分，則Y可取3，0P(Y=3)=P(C)=3則Y的分布列為：Y

30p31?3則E(Y)=9所以E(X)?E(Y)=2答：方案一始終更優(yōu)19.解：(1)方法一：設(shè)g(x)=f(x)則g′由題意可知g′故x2?x?1即x?122故?14?方法二：設(shè)g(x)=f(x)則g′由題意可知g′故4x2?4x?a≥0即a≤4x2?4x=4a≤(4(2)方法一：設(shè)直線l與曲線y=ex?1相切于點(diǎn)Pa,e因?yàn)閥′=e設(shè)直線l與曲線y=lnx+1相切于點(diǎn)因?yàn)閥′=1因此有ea整理得(a?1)ea?1=0，解得當(dāng)a=1時(shí)，l的方程為y=e當(dāng)a=0時(shí)，l的方程為y=x，方法二：設(shè)直線l與曲線y=ex?1則k=ea，設(shè)直線l與曲線y=lnx+1相切于點(diǎn)則k=1b，所以e整理得(a?1)ea?1=0，解得當(dāng)a=1時(shí)，l的方程為y=e當(dāng)a=0時(shí)，l的方程為y=x，(3)方法一：設(shè)g(x)=f(x)則g′令?(x)=2(x?1)e則?′設(shè)m(x)=lnx?x+1，則當(dāng)x>1時(shí)，m′(x)<當(dāng)0<x<1時(shí)，m′所以m(x)=ln故lnx≤x?1，當(dāng)且僅當(dāng)x=1設(shè)n(x)=ex?x?1當(dāng)x>0時(shí)，n′(x)>當(dāng)x<0時(shí)，n′(x)<所以n(x)=e故ex≥x+1，當(dāng)且僅當(dāng)所以ex?ln所以?(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增，又x→所以x→0+時(shí)，?(x)所以g′(x)>0,即所以g(a+b+c)>g(a)，即所以f(a)<af(a+b+c)a+b+c，同理f(b)累加可得f(a)+f(b)+f(c)<即f(a)+f(b)+f(c)<方法二：f′令?(x)=2ex?2x設(shè)m(x)=lnx?x+1，則當(dāng)x>1時(shí)，m′(x)<當(dāng)0<x<1時(shí)，m′所以m(x)=ln故lnx≤x?