2024-2025學(xué)年浙江省強(qiáng)基聯(lián)盟高二下學(xué)期5月聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷（含答案）

第=page11頁(yè)，共=sectionpages11頁(yè)2024-2025學(xué)年浙江省強(qiáng)基聯(lián)盟高二下學(xué)期5月聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.設(shè)全集為R，集合A={x|1≤x≤3}，B={x|x<7,x∈N?}，則A∩B=A.{x|1≤x≤3} B.{x|1≤x<7} C.{1,2} D.{1,2,3}2.已知i為虛數(shù)單位，若z=?4+2i，則z的實(shí)部為(

)A.?4 B.?2 C.4 D.23.若P為圓x2+y2=4內(nèi)的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且A(?2,0)，B(2,0)，則A.2 B.22 C.44.已知f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，若x∈[?4,?2]時(shí)，函數(shù)f(x)的值域是[?6,?3]，則函數(shù)f(x)在[2,4]區(qū)間上的最大值為(

)A.6 B.4 C.3 D.25.已知向量a，b滿足a?(a?2b)=0，則b在A.?2a B.12a C.?6.從1，2，?，9中取三個(gè)不同的數(shù)，按從小到大的順序排列，組成的數(shù)列是等比數(shù)列的概率為(

)A.584 B.121 C.1147.若過(guò)點(diǎn)(0,4)且與圓(x?2)2+y2=2相切的兩條直線的夾角為A.43 B.35 C.348.已知函數(shù)f(x)=?14x+1+2x3+32A.{a|a<45} B.{a|a<5} C.{a|0<a<二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。9.已知f(x)=cos2x?sinA.f(x)是奇函數(shù) B.f(x)的最小正周期是π

C.f(x)圖象的一個(gè)對(duì)稱(chēng)中心是點(diǎn)(π4,0) D.f(x)10.“楊輝三角”是中國(guó)南宋數(shù)學(xué)家楊輝在1261年所著的《詳解九章算法》一書(shū)中首次記載的，比歐洲早393年發(fā)現(xiàn).如圖所示，在“楊輝三角”中，除每行兩邊的數(shù)都是1外，其余每個(gè)數(shù)都是其“肩上”的兩個(gè)數(shù)之和，例如第4行的6為第3行中兩個(gè)3的和.則下列命題中正確的是(

)

A.第6行中，有兩個(gè)相等的最大數(shù)

B.第3行以后，第一次出現(xiàn)全為奇數(shù)的行是第8行

C.第n行所有數(shù)之和為2n

D.11.已知遞增數(shù)列{an}的各項(xiàng)均為正整數(shù)，且aaA.aa1=3 B.a5=6 三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.已知圓臺(tái)的上、下底面半徑分別為2和4，母線為4，則圓臺(tái)的側(cè)面積為

．13.定義：abcd=ad?bc.已知a，b，c分別為△ABC的三個(gè)內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊，若2cos?C?12cos?C+114.拋物線C:y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為l，A和B為C上位于第一象限的兩點(diǎn)，若|AB|=1，過(guò)A，B分別作l的垂線，垂足分別為D和E，已知∠DFE=π6，則△AFB四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟。15.(本小題13分)

某新能源汽車(chē)制造商為了評(píng)估一批新型電池的續(xù)航時(shí)間(單位：小時(shí))，從這批次電池中隨機(jī)抽取50組進(jìn)行測(cè)試，把測(cè)得的數(shù)據(jù)進(jìn)行適當(dāng)分組后(每組為左閉右開(kāi)的區(qū)間)，畫(huà)出頻率分布直方圖如圖所示．

(1)求a的值;(2)從抽取的50組電池中任取3組，求恰有1組電池續(xù)航時(shí)間不少于35小時(shí)的概率;(3)將樣本分布的頻率視為總體分布的概率，從該批次電池組中任取3組，設(shè)X為續(xù)航時(shí)間不少于35小時(shí)的電池組的數(shù)量，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望．16.(本小題15分)已知函數(shù)f(x)=ex(1)若f(x)存在極小值，且極小值為0，求a;(2)若不等式f(x)?g(x)≥0恒成立，求a的取值范圍．17.(本小題15分)

如圖，AB是圓柱OO1的一條母線，BC是底面的一條直徑，D是圓O上一點(diǎn)，且AB=BC=5．

(1)求三棱錐A?BCD的體積最大值;(2)求直線AD與平面ABC所成角正弦值的最大值．18.(本小題17分)

梅納庫(kù)莫斯(前375?前325)首研圓錐曲線.約百年后，阿波羅尼斯系統(tǒng)研究其光學(xué)性質(zhì)：由橢圓焦點(diǎn)F1發(fā)出的光線經(jīng)橢圓C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)反射后必過(guò)另一焦點(diǎn)F2.橢圓C的中心在原點(diǎn)，法線l′表示與橢圓C的切線垂直且過(guò)相應(yīng)切點(diǎn)的直線，焦點(diǎn)F1(?1,0)，F(xiàn)2(1,0)，由F1發(fā)出的光線經(jīng)橢圓反射后至F(1)求橢圓C的方程;(2)證明：|OH|為定值;(3)已知切線l與直線x=?a，x=a相交于A，B兩點(diǎn)，x軸上是否存在定點(diǎn)Q，使得以AB為直徑的圓過(guò)點(diǎn)Q，若存在，求出Q點(diǎn)，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．19.(本小題17分)對(duì)三元正整數(shù)數(shù)列A=(a1,a2(1)寫(xiě)出數(shù)列A=(2,6,4)經(jīng)過(guò)5次“T變換”后得到的數(shù)列;(2)設(shè)初始數(shù)列(a,a+3,3)(a>20)，求經(jīng)過(guò)6次“T變換”后得到的最終數(shù)列，并判斷最終數(shù)列與初始數(shù)列是否有結(jié)構(gòu)上的關(guān)聯(lián);(3)設(shè)數(shù)列(400,2,403)經(jīng)過(guò)k次“T變換”后得到的數(shù)列各項(xiàng)之和最小，求k的最小值．

參考答案1.D

2.A

3.D

4.A

5.B

6.B

7.C

8.D

9.BCD

10.CD

11.ACD

12.24π

13.2514.π315.解：(1)根據(jù)頻率之和等于1可得，5×0.01+0.06+0.07+a+0.02=1，解得(2)由頻率分布圖可知，

電池續(xù)航時(shí)間不少于35小時(shí)的頻率等于0.04+0.02×5=0.3所以電池續(xù)航時(shí)間不少于35小時(shí)的電池有50×0.3=15組，電池續(xù)航時(shí)間少于35小時(shí)的電池有50×0.7=35組，所以從抽取的50組電池中任取3組，恰有1組電池續(xù)航時(shí)間不少于35小時(shí)的概率為C35(3)由(2)知，每次抽到電池續(xù)航時(shí)間不少于35小時(shí)的概率等于310由題可知，隨機(jī)變量X服從二項(xiàng)分布，所以X～B(3,3所以X所有可能的取值有0，1，2，3所以P(X=0)=CP(X=1)=CP(X=2)=C32(所以X的分布列如下，X

0123P34344118927所以X的數(shù)學(xué)期望為E(X)=0×34316.解：(1)∵f′(x)=ex?a，x∈R，

當(dāng)a≤0時(shí)，f′(x)>0，

所以函數(shù)f(x)無(wú)極值，

當(dāng)a>0時(shí)，由f′(x)=ex?a=0，得x=lna，

當(dāng)x<lna時(shí)，f′(x)<0，

當(dāng)x>lna時(shí)，f′(x)>0，

所以f(x)在(?∞,lna)上單調(diào)遞減，在(lna,+∞)上單調(diào)遞增，

所以f(x)的極小值為f(lna)=a?alna?1=0，

解得a=1．

(2)由f(x)≥g(x)可得ex?ax?1≥xlnx，

因?yàn)閤>0(lnx中x的定義域?yàn)閤>0)，

移項(xiàng)可得a?ex?xln?x?1x在(0,+∞)上恒成立．

設(shè)?(x)=ex?xlnx?1x(x>0)，

則a??(x)min，

求導(dǎo)?′(x)=ex(x?1)+1?xx2=(x?1)(ex?1)x2，

令?′(x)=0，即(x?1)(ex?1)x2=0，

因?yàn)閤2>0，ex17.解：(1)由于三棱錐A?BCD的高AB=5，

所以當(dāng)?shù)酌妗鰾CD面積最大時(shí)，三棱錐的體積最大，

又BC是底面圓的一條直徑，

所以當(dāng)OD⊥BC時(shí)，底面△BCD的面積最大，

此時(shí)VA?BCD=13S△BCD?AB=13×12×5×52×5=12512，

即三棱錐A?BCD的體積最大值為12512．

(2)如圖，以B為原點(diǎn)，BC所在直線為y軸，BA所在直線為z軸建立空間直角坐標(biāo)系，

則A(0,0,5)，

設(shè)平面ABC的一個(gè)法向量為n=(1,0,0)，

記∠DBC=θ，

則D(5cosθsinθ,5cosθcosθ,0)，

所以AD=(5cosθsinθ,5cosθcosθ,?5)18.解：(1)根據(jù)題意，橢圓C的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)為F1(?1,0)，F(xiàn)2(1,0)，

所以橢圓的方程為x2a2+y2b2=1，其中c=1，且c2=a2?b2，

又因?yàn)橛蒄1發(fā)出的光線經(jīng)橢圓一次反射后到F2經(jīng)過(guò)的路程為4，

所以2a=4，a=2，

因此b=3，

則橢圓方程為x24+y23=1；

(2)延長(zhǎng)F1H，F(xiàn)2P交于點(diǎn)T，

則|OH|=12|F2T|=|F2P|+|F1P|2=2a2=a=2，

故|OH|為定值；

(3)設(shè)橢圓上點(diǎn)P(x0,y0)19.解：(1)由題知，5次變換后得到的數(shù)列依次為(4,2,2)→(2,0,2)→(2,2,0)→(0,2,2)→(2,0,2)，

所以數(shù)列A=(2,6,4)經(jīng)過(guò)5次“T變換”后得到的數(shù)列為(2,0,2)．

(2)對(duì)于初始數(shù)列(a,a+3,3)(a>20)，6次“T變換”過(guò)程依次為：(3,a,a?3)→(a?3,3,a?6)→(a?6,a?9,3)→(3,a?12,a?9)→(a?15,3,a?12)→(a?18,a?15,3)，

所以該數(shù)列經(jīng)過(guò)6次“T變換”后得到的結(jié)果為(a?18,a?15,3)，

最終數(shù)列與初始數(shù)列結(jié)構(gòu)上一致，均為(n,n+3,3)型數(shù)列．

(3)數(shù)列(400,2,403)經(jīng)過(guò)一次“T變換”后得到數(shù)列B=(398,401,3)，

其結(jié)構(gòu)為(n,n+3,3)型數(shù)列，

依據(jù)(2)結(jié)論可知，數(shù)列B經(jīng)過(guò)6次“T變換”后仍保持該結(jié)構(gòu)，

其變化規(guī)律為：除數(shù)值3，其余兩