高考數(shù)學(xué)分類討論題指南試題及答案

高考數(shù)學(xué)分類討論題指南試題及答案姓名：____________________

一、多項(xiàng)選擇題（每題2分，共10題）

1.下列選項(xiàng)中，不屬于實(shí)數(shù)的是：

A.$\sqrt{4}$

B.$\sqrt{-1}$

C.$\pi$

D.$0$

2.已知函數(shù)$f(x)=x^2-4x+4$，則$f(x)$的圖像是：

A.頂點(diǎn)在$x$軸上，開口向上

B.頂點(diǎn)在$x$軸上，開口向下

C.頂點(diǎn)在$y$軸上，開口向上

D.頂點(diǎn)在$y$軸上，開口向下

3.若$a=2$，則下列各式中，正確的是：

A.$a^2=a$

B.$a^2=a+2$

C.$a^2=2a$

D.$a^2=a-2$

4.已知等差數(shù)列$\{a_n\}$，$a_1=3$，$d=2$，則$a_6$的值為：

A.13

B.15

C.17

D.19

5.已知函數(shù)$f(x)=x^3-3x+2$，則下列說法正確的是：

A.$f(x)$在$x=1$處有極小值

B.$f(x)$在$x=1$處有極大值

C.$f(x)$在$x=1$處沒有極值

D.$f(x)$在$x=1$處有拐點(diǎn)

6.已知$0<a<1$，則下列不等式恒成立的是：

A.$a^2>a$

B.$a^2<a$

C.$a^2=1$

D.$a^2\neq1$

7.下列函數(shù)中，奇函數(shù)是：

A.$f(x)=x^2$

B.$f(x)=x^3$

C.$f(x)=x^4$

D.$f(x)=\sqrt{x}$

8.已知$A=\{1,2,3,4,5\}$，$B=\{2,3,4,5,6\}$，則$A\capB$的值為：

A.$\{2,3,4,5\}$

B.$\{1,2,3,4,5\}$

C.$\{2,3,4,5,6\}$

D.$\emptyset$

9.已知$\triangleABC$中，$a=3$，$b=4$，$c=5$，則$\triangleABC$是：

A.直角三角形

B.等腰三角形

C.等邊三角形

D.梯形

10.已知函數(shù)$f(x)=x^2+2x+1$，則$f(-1)$的值為：

A.0

B.1

C.2

D.3

二、判斷題（每題2分，共10題）

1.若兩個(gè)非零向量垂直，則它們的點(diǎn)積等于0。（）

2.對(duì)于任意實(shí)數(shù)$a$，都有$(a^2)^3=a^6$。（）

3.在直角坐標(biāo)系中，所有第二象限的點(diǎn)都滿足$x<0$，$y>0$。（）

4.函數(shù)$f(x)=x^3$在其定義域內(nèi)是單調(diào)遞增的。（）

5.一個(gè)等差數(shù)列的前$n$項(xiàng)和可以表示為$S_n=\frac{n}{2}(a_1+a_n)$，其中$a_1$是首項(xiàng)，$d$是公差。（）

6.平行四邊形的對(duì)角線互相平分。（）

7.函數(shù)$f(x)=\frac{1}{x}$在其定義域內(nèi)是連續(xù)的。（）

8.在一次函數(shù)$y=kx+b$中，$k$的值決定了函數(shù)圖像的斜率，$b$的值決定了函數(shù)圖像與$y$軸的交點(diǎn)。（）

9.任意三角形的外心到三角形三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等。（）

10.若函數(shù)$f(x)$在區(qū)間$(a,b)$上單調(diào)遞增，則對(duì)于任意$x_1<x_2$，都有$f(x_1)<f(x_2)$。（）

三、簡(jiǎn)答題（每題5分，共4題）

1.簡(jiǎn)述函數(shù)$f(x)=\sqrt{x^2-4}$的定義域，并畫出其圖像。

2.已知等差數(shù)列$\{a_n\}$，$a_1=5$，$d=3$，求第10項(xiàng)$a_{10}$的值。

3.若直線$y=2x+1$與圓$(x-2)^2+(y-3)^2=9$相切，求圓心到直線的距離。

4.已知函數(shù)$f(x)=x^3-3x^2+4x$，求$f(x)$的極值。

四、論述題（每題10分，共2題）

1.論述數(shù)列$\{a_n\}$的性質(zhì)：若$a_1=1$，且對(duì)于任意$n\in\mathbb{N}^*$，都有$a_{n+1}=a_n+\frac{1}{a_n}$，證明數(shù)列$\{a_n\}$是單調(diào)遞增的，并求出$\lim_{n\to\infty}a_n$。

2.論述函數(shù)$f(x)=x^3-6x^2+9x$的性質(zhì)：首先判斷函數(shù)的單調(diào)性，然后求出函數(shù)的極值，并討論函數(shù)的凹凸性。最后，畫出函數(shù)的圖像，并說明圖像的特點(diǎn)。

五、單項(xiàng)選擇題（每題2分，共10題）

1.下列各數(shù)中，有理數(shù)是：

A.$\sqrt{3}$

B.$\pi$

C.$\frac{1}{2}$

D.$\sqrt{2}$

2.已知函數(shù)$f(x)=ax^2+bx+c$，若$f(1)=2$，$f(2)=3$，則下列說法正確的是：

A.$a+b+c=5$

B.$2a+b+c=5$

C.$4a+2b+c=5$

D.$8a+4b+c=5$

3.在直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)$(3,4)$關(guān)于直線$x+y=5$的對(duì)稱點(diǎn)坐標(biāo)是：

A.$(1,2)$

B.$(2,1)$

C.$(4,3)$

D.$(5,6)$

4.已知等比數(shù)列$\{a_n\}$，$a_1=2$，$q=3$，則$a_4$的值為：

A.18

B.6

C.3

D.2

5.若$|x-2|=3$，則$x$的取值范圍是：

A.$x\leq1$或$x\geq5$

B.$1\leqx\leq5$

C.$x<1$或$x>5$

D.$x=1$或$x=5$

6.已知函數(shù)$f(x)=\frac{x}{x-1}$，則$f(x)$的定義域是：

A.$\mathbb{R}$

B.$\mathbb{R}-\{1\}$

C.$\mathbb{R}+\{1\}$

D.$\mathbb{R}-\{0\}$

7.下列各式中，正確的是：

A.$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$

B.$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$

C.$(ab)^2=a^2b^2$

D.$(a^2)^3=a^2b^2$

8.若$\triangleABC$中，$a=6$，$b=8$，$c=10$，則$\triangleABC$是：

A.直角三角形

B.等腰三角形

C.等邊三角形

D.梯形

9.已知函數(shù)$f(x)=\ln(x+1)$，則$f(x)$的圖像是：

A.單調(diào)遞增

B.單調(diào)遞減

C.先增后減

D.先減后增

10.下列各數(shù)中，無理數(shù)是：

A.$\sqrt{9}$

B.$\pi$

C.$\frac{1}{3}$

D.$\sqrt{4}$

試卷答案如下：

一、多項(xiàng)選擇題

1.B

2.A

3.C

4.A

5.A

6.B

7.B

8.A

9.A

10.A

二、判斷題

1.×

2.√

3.√

4.√

5.√

6.√

7.×

8.√

9.√

10.√

三、簡(jiǎn)答題

1.解析：函數(shù)$f(x)=\sqrt{x^2-4}$的定義域?yàn)?x^2-4\geq0$，即$x\leq-2$或$x\geq2$。函數(shù)圖像為兩個(gè)分支，分別位于$x$軸的下方和上方，頂點(diǎn)在$(0,0)$。

2.解析：等差數(shù)列的第$n$項(xiàng)公式為$a_n=a_1+(n-1)d$，代入$a_1=5$，$d=3$，$n=10$，得$a_{10}=5+9\times3=32$。

3.解析：圓心到直線的距離公式為$d=\frac{|Ax_0+By_0+C|}{\sqrt{A^2+B^2}}$，代入圓心坐標(biāo)$(2,3)$和直線方程$2x+y-5=0$，得$d=\frac{|2\times2+3\times1-5|}{\sqrt{2^2+1^2}}=\frac{1}{\sqrt{5}}$。

4.解析：首先求導(dǎo)$f'(x)=3x^2-6x+4$，令$f'(x)=0$，得$x=1$或$x=\frac{2}{3}$。再求二階導(dǎo)數(shù)$f''(x)=6x-6$，代入$x=1$得$f''(1)=0$，說明在$x=1$處有極值。計(jì)算$f(1)=2$，$f(\frac{2}{3})=\frac{8}{27}$，故$f(x)$在$x=1$處取得極大值2。

四、論述題

1.解析：由于$a_n$和$a_{n+1}$都是正數(shù)，故$a_{n+1}=a_n+\frac{1}{a_n}>a_n$，所以數(shù)列$\{a_n\}$單調(diào)遞增。由算術(shù)平均數(shù)-幾何平均數(shù)不等式，得$a_n+\frac{1}{a_n}\geq2\sqrt{a_n\cdot\frac{1}{a_n}}=2$，所以$a_n\geq2$。又因?yàn)?a_{n+1}=a_n+\frac{1}{a_n}$，所以$a_{n+1}^2=a_n^2+2+\frac{1}{a_n^2}\geq4$，即$a_{n+1}\geq2$。因此，數(shù)列$\{a_n\}$從第二項(xiàng)開始都是2，所以$\lim_{n\to\infty}a_n=2$。

2.解析：求導(dǎo)$f'(x)=3x^2-6x+4$，令$f'(x)=0$，得$x=1$或$x=\frac{2}{3}$。二階導(dǎo)數(shù)$f''(x)=6x-6$，代入$x=