河南省新鄉(xiāng)市2024屆高三下學(xué)期三?？荚?數(shù)學(xué) 含解析VIP

2023—2024學(xué)年高三第三次模擬考試數(shù)學(xué)注意事項(xiàng)：1．答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號(hào)、考場(chǎng)號(hào)、座位號(hào)填寫在答題卡上.2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào).回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.4．本試卷主要考試內(nèi)容：高考全部內(nèi)容.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.下列集合中有無數(shù)個(gè)元素的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】求出各個(gè)選項(xiàng)的元素個(gè)數(shù)即可得出答案.【詳解】對(duì)于A，因?yàn)?，，則，，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，因?yàn)?，，則，所以，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，，，所以，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，有無數(shù)個(gè)元素.故D正確.故選：D.2.已知為純虛數(shù)，則（）A.3 B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用復(fù)數(shù)乘法求出，再利用純虛數(shù)的意義求解即得.【詳解】依題意，，由是純虛數(shù)，得，所以.故選：B3.已知向量，若與的夾角為，則（）A.10 B. C.5 D.【答案】A【解析】【分析】利用向量的坐標(biāo)求出，即可利用向量數(shù)量積公式求出結(jié)果.【詳解】，則，故選：A.4.已知直線，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】C【解析】【分析】利用充分條件、必要條件的定義，結(jié)合兩直線平行判斷即得.【詳解】當(dāng)時(shí)，直線，則，當(dāng)時(shí)，，解得，所以“”是“”的充要條件.故選：C5.已知球的半徑為5，點(diǎn)到球心的距離為3，則過點(diǎn)的平面被球所截的截面面積的最小值是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)給定條件，利用球的截面小圓性質(zhì)求出截面小圓半徑即得.【詳解】由點(diǎn)到球心的距離為3，得球心到過點(diǎn)的平面距離的最大值為3，因此過點(diǎn)的平面被球所截的截面小圓半徑最小值為，所以過點(diǎn)的平面被球所截的截面面積的最小值是.故選：C6.如圖所示的“分?jǐn)?shù)楊輝三角形”被我們稱為萊布尼茨三角形，是將楊輝三角形中的換成得到的，根據(jù)萊布尼茨三角形，下列結(jié)論正確的是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】觀察萊布尼茨三角形，得出規(guī)律即可判斷得解.【詳解】觀察萊布尼茨三角形，知每一個(gè)數(shù)等于下一層與它緊挨的兩個(gè)數(shù)之和，因此，即D正確，ABC錯(cuò)誤.故選：D7.傾斜角為的直線l經(jīng)過拋物線C：的焦點(diǎn)F，且與C相交于兩點(diǎn)．若，則的取值范圍為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】利用焦半徑公式將所求弦長用三角函數(shù)表示，再利用三角函數(shù)性質(zhì)求出取值范圍即可.【詳解】首先，我們來證明拋物線中的焦半徑公式，如圖，對(duì)于一個(gè)拋物線，傾斜角為的直線l經(jīng)過拋物線C：的焦點(diǎn)F，且與C相交于兩點(diǎn)．作準(zhǔn)線的垂線，過作，則，解得，同理可得，如圖，不妨設(shè)在第一象限，由焦半徑公式得，，則，而，可得，故，故A正確，故選：A8.設(shè)，其中是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)給定數(shù)據(jù)，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)探討單調(diào)性并比較大小即得.【詳解】令函數(shù)，求導(dǎo)得，即函數(shù)在上單調(diào)遞減，而，又，因此，所以.故選：B【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：構(gòu)造函數(shù)是基本的解題思路，因此觀察題目所給的數(shù)的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，以及數(shù)與數(shù)之間的內(nèi)在聯(lián)系，合理構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性是解題的關(guān)鍵.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9.已知由5個(gè)數(shù)據(jù)組成的一組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為7，方差為2，現(xiàn)再加入一個(gè)數(shù)據(jù)1，組成一組新數(shù)據(jù)，則（）A.這組新數(shù)據(jù)平均數(shù)為3 B.這組新數(shù)據(jù)的平均數(shù)為6C.這組新數(shù)據(jù)的方差為 D.這組新數(shù)據(jù)的方差為【答案】BC【解析】【分析】根據(jù)給定條件，求出新數(shù)據(jù)組的平均數(shù)，再利用分層抽樣的方差公式求出方差即得.【詳解】依題意，這組新數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，方差為.故選：BC10.已知為空間中三條不同的直線，為空間中三個(gè)不同的平面，則下列說法中正確的是（）A.若，則B.若，則與為異面直線C.若，且，則D.若，則【答案】ACD【解析】【分析】利用面面垂直的判定判斷A；確定線線位置關(guān)系判斷B；利用平面基本事實(shí)判斷C；利用線面垂直的性質(zhì)、面面平行的性質(zhì)判斷D.【詳解】對(duì)于A，顯然，又，則，A正確；對(duì)于B，由，得與可能相交、可能平行、也可能為異面直線，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，由，，知點(diǎn)在平面內(nèi)，即為平面的公共點(diǎn)，而，因此，C正確；對(duì)于D，由，得，而，因此，D正確.故選：ACD11.已知定義在上的函數(shù)滿足，且，若，則（）A. B.的圖象關(guān)于直線對(duì)稱C.是周期函數(shù) D.【答案】BCD【解析】【分析】根據(jù)給定的等式，結(jié)合賦值法推導(dǎo)出函數(shù)及對(duì)稱軸，再逐項(xiàng)分析計(jì)算得解.【詳解】由，得，則，即，因此是周期為4的周期函數(shù)，C正確；令，得，則，因此，A錯(cuò)誤；由，得，則，因此的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，B正確；由，得的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，因此直線及均為圖象的對(duì)稱軸，從而，令，得，即，則，故，D正確.故答案為：BCD【點(diǎn)睛】結(jié)論點(diǎn)睛：函數(shù)的定義域?yàn)镈，，①存在常數(shù)a，b使得，則函數(shù)圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱.②存在常數(shù)a使得，則函數(shù)圖象關(guān)于直線對(duì)稱.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.雙曲線的實(shí)軸長為4，則________.【答案】1【解析】【分析】根據(jù)給定條件，確定雙曲線的焦點(diǎn)位置，再列式計(jì)算即得.【詳解】顯然恒成立，則雙曲線的焦點(diǎn)在x軸上，于是，所以.故答案為：113.已知函數(shù)，若存在，使得，則的最小值為________.【答案】##【解析】【分析】利用輔助角公式化簡函數(shù)，求出相位的范圍，再利用正弦函數(shù)的性質(zhì)求解即得.【詳解】函數(shù)，由，得，由存在，使得，得，解得，所以的最小值為.故答案為：14.如圖，在扇形中，半徑，，在半徑上，在半徑上，是扇形弧上的動(dòng)點(diǎn)（不包含端點(diǎn)），則平行四邊形的周長的取值范圍是______．【答案】【解析】【分析】設(shè)，利用平行四邊形性質(zhì)，結(jié)合勾股定理求出周長的函數(shù)關(guān)系，再求出函數(shù)的值域即可.詳解】設(shè)，則，由，得，顯然，連接，由，，得，，因此的周長顯然，當(dāng)，即時(shí)，，而時(shí)，，所以的周長的取值范圍是.故答案為：四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.已知函數(shù)．（1）求的極值；（2）若過點(diǎn)可以作兩條直線與曲線相切，證明：．【答案】（1）極小值為，無極大值；（2）證明見解析.【解析】【分析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，判斷函數(shù)的單調(diào)性并求出極值.（2）設(shè)出切點(diǎn)坐標(biāo)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線方程，把點(diǎn)的坐標(biāo)代入，構(gòu)造函數(shù)，分類探討單調(diào)性、確定方程正根個(gè)數(shù)即得.【小問1詳解】因?yàn)椋?，令，得，?dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，取得極小值，且極小值為，無極大值.【小問2詳解】設(shè)切點(diǎn)為，則切線的方程為，則，整理得，由過點(diǎn)可以作兩條直線與曲線相切，可得方程有兩個(gè)不相等的正根.令，則，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，則方程最多只有一個(gè)正根，不符合題意，當(dāng)時(shí)，若，則上單調(diào)遞增，若，則在上單調(diào)遞減，則，又和時(shí)，，故要使得方程有兩個(gè)不相等的正根，則.16.如圖，在四面體中，分別為的中點(diǎn)．（1）證明：平面平面；（2）求平面與平面夾角的余弦值．【答案】（1）證明見解析；（2）.【解析】【分析】（1）取的中點(diǎn)，借助勾股定理逆定理證得，再利用線面垂直、面面垂直的判斷推理即得.（2）以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面與平面的法向量，再利用面面角的向量求法求解即得.【小問1詳解】取的中點(diǎn)，連接，，因?yàn)椋?，且，又，所以，≌，則，有，因?yàn)?，所以，則，又，平面，所以平面，又平面，所以平面平面.【小問2詳解】由（1）知，兩兩垂直，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，設(shè)，則，因?yàn)?，分別為，的中點(diǎn)，所以，則，設(shè)平面的法向量為，則，令，得，設(shè)平面的法向量為，則，令，得，，所以平面與平面夾角的余弦值為.17.甲、乙兩個(gè)不透明的袋中各裝有6個(gè)大小質(zhì)地完全相同的球，其中甲袋中有3個(gè)紅球、3個(gè)黃球，乙袋中有1個(gè)紅球、5個(gè)黃球．（1）若從兩袋中各隨機(jī)地取出1個(gè)球，求這2個(gè)球顏色相同的概率；（2）若先從甲袋中隨機(jī)地取出2個(gè)球放入乙袋中，再從乙袋中隨機(jī)地取出2個(gè)球，記從乙袋中取出的紅球個(gè)數(shù)為，求的分布列與期望．【答案】（1）（2）分布列見解析，【解析】【分析】（1）記這2個(gè)球顏色相同為事件，根據(jù)相互獨(dú)立事件的概率公式計(jì)算可得；（2）依題意的可能取值為、、，利用全概率公式求出，，，即可得到分布列與數(shù)學(xué)期望.【小問1詳解】記這2個(gè)球顏色相同為事件，則；【小問2詳解】依題意的可能取值為、、，則，，，所以的分布列為：所以.18.已知橢圓的左、右頂點(diǎn)分別是，橢圓的焦距是2，（異于）是橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，直線與的斜率之積為．（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，是內(nèi)切圓的圓心，試問平面上是否存在定點(diǎn)，使得為定值?若存在，求出該定值；若不存在，請(qǐng)說明理由.【答案】（1）；（2）存在，2.【解析】【分析】（1）設(shè)出點(diǎn)，利用斜率坐標(biāo)公式列式可得，借助距離為2求解即得.（2）設(shè)，借助三角形面積可得，利用點(diǎn)到直線距離探討與的關(guān)系，結(jié)合橢圓的方程推理即得.小問1詳解】設(shè)，則，即，顯然點(diǎn)，依題意，，解得，由橢圓的焦距是2，得，則，所以橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程為.【小問2詳解】設(shè)，因?yàn)?，則，由（1）知，則直線的方程為，即，從而點(diǎn)到直線的距離，即，即.因?yàn)?，所以，所以，所以，即，因?yàn)?，所以，因?yàn)椋?，即，點(diǎn)在以為焦點(diǎn)，長軸長為2的橢圓上，故存在定點(diǎn)，使得.【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：涉及動(dòng)直線與圓錐曲線相交滿足某個(gè)條件問題，可設(shè)出直線方程，再與圓錐曲線方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理并結(jié)合已知推理求解.19.函數(shù)稱為取整函數(shù)，也稱為高斯函數(shù)，其中表示不超過實(shí)數(shù)的最大整數(shù)，例如：．對(duì)于任意的實(shí)數(shù)，定義數(shù)列滿足．（1）求的值；（2）設(shè)，從全體正整數(shù)中除去所有，剩下的正整數(shù)按從小到大的順序排列得到數(shù)列．①求的通項(xiàng)公式；②證明：對(duì)任意的，都有．【答案】（1），；