高考數(shù)學案例題解析與答案

高考數(shù)學案例題解析與答案姓名：____________________

一、多項選擇題（每題2分，共10題）

1.已知函數(shù)$f(x)=x^3-3x^2+4x+6$，則下列說法正確的是：

A.函數(shù)的圖像在$x=1$處有極大值

B.函數(shù)的圖像在$x=2$處有極小值

C.函數(shù)的圖像在$x=1$處有拐點

D.函數(shù)的圖像在$x=2$處有拐點

2.若等差數(shù)列$\{a_n\}$中，$a_1=3$，$a_5=11$，則$a_{10}$的值為：

A.17

B.19

C.21

D.23

3.已知復數(shù)$z=2+3i$，則$|z|$的值為：

A.$\sqrt{13}$

B.2

C.3

D.$\sqrt{2}$

4.若不等式$2x-3>5$的解集為$A$，則不等式$3x+2<4$的解集為：

A.$A$

B.$A$的補集

C.$A$的子集

D.$A$的并集

5.已知三角形的三邊長分別為3，4，5，則該三角形的面積是：

A.$6\sqrt{3}$

B.$6\sqrt{2}$

C.$6$

D.$12$

6.若函數(shù)$f(x)=x^2-4x+4$在區(qū)間$[1,3]$上的最大值是3，則$f(x)$在區(qū)間$[0,2]$上的最小值是：

A.0

B.1

C.2

D.3

7.已知等比數(shù)列$\{a_n\}$中，$a_1=2$，$a_4=16$，則$a_7$的值為：

A.64

B.32

C.16

D.8

8.若復數(shù)$z=1+2i$，則$|z|$的值為：

A.$\sqrt{5}$

B.1

C.2

D.$\sqrt{2}$

9.若不等式$2x-3<5$的解集為$A$，則不等式$3x+2>4$的解集為：

A.$A$

B.$A$的補集

C.$A$的子集

D.$A$的并集

10.已知三角形的三邊長分別為5，12，13，則該三角形的面積是：

A.$30\sqrt{3}$

B.$30\sqrt{2}$

C.$30$

D.$60$

二、判斷題（每題2分，共10題）

1.函數(shù)$y=\frac{1}{x}$在定義域內(nèi)單調(diào)遞增。（）

2.等差數(shù)列的通項公式可以表示為$a_n=a_1+(n-1)d$，其中$d$為公差。（）

3.復數(shù)的乘法運算滿足結(jié)合律。（）

4.不等式$ax>0$的解集為全體實數(shù)當且僅當$a>0$。（）

5.若$ab<0$，則$a$和$b$異號。（）

6.任何三角形的內(nèi)角和都等于$180^\circ$。（）

7.函數(shù)$f(x)=x^3$在$x=0$處有極值。（）

8.等比數(shù)列的前$n$項和公式為$S_n=\frac{a_1(1-q^n)}{1-q}$，其中$q$為公比。（）

9.對任意實數(shù)$x$，都有$x^2\geq0$。（）

10.二次函數(shù)$y=ax^2+bx+c$的圖像開口向上當且僅當$a>0$。（）

三、簡答題（每題5分，共4題）

1.簡述一元二次方程的求根公式及其適用條件。

2.給出一個函數(shù)$f(x)=ax^2+bx+c$（$a\neq0$），如何確定其圖像的開口方向和頂點坐標？

3.如何求一個等差數(shù)列的前$n$項和？

4.簡述復數(shù)的基本運算及其性質(zhì)。

四、論述題（每題10分，共2題）

1.論述函數(shù)單調(diào)性的判定方法，并舉例說明如何判斷一個函數(shù)在某個區(qū)間內(nèi)的單調(diào)性。

2.論述如何利用導數(shù)求解函數(shù)的極值問題，并舉例說明求解過程。

五、單項選擇題（每題2分，共10題）

1.函數(shù)$f(x)=x^2-4x+4$的圖像與$x$軸的交點個數(shù)為：

A.1

B.2

C.3

D.4

2.若等差數(shù)列$\{a_n\}$中，$a_1=5$，$d=2$，則$a_6$的值為：

A.11

B.13

C.15

D.17

3.復數(shù)$z=3-4i$的模長為：

A.5

B.3

C.4

D.$\sqrt{5}$

4.若不等式$2x-3<5$的解集為$A$，則不等式$3x+2>4$的解集為$A$的：

A.子集

B.并集

C.補集

D.空集

5.三角形的三邊長分別為6，8，10，則該三角形的面積是：

A.$24\sqrt{3}$

B.$16\sqrt{2}$

C.24

D.$32$

6.函數(shù)$f(x)=x^2-4x+4$在區(qū)間$[1,3]$上的最大值是：

A.3

B.4

C.5

D.6

7.等比數(shù)列$\{a_n\}$中，$a_1=4$，$a_4=64$，則$a_7$的值為：

A.128

B.256

C.64

D.32

8.復數(shù)$z=2+3i$的共軛復數(shù)為：

A.$2-3i$

B.$-2+3i$

C.$-2-3i$

D.$3-2i$

9.若不等式$2x-3>5$的解集為$A$，則不等式$3x+2<4$的解集為$A$的：

A.子集

B.并集

C.補集

D.空集

10.三角形的三邊長分別為7，24，25，則該三角形的面積是：

A.$84\sqrt{3}$

B.$42\sqrt{2}$

C.84

D.$168$

試卷答案如下：

一、多項選擇題（每題2分，共10題）

1.A,B,D

解析思路：首先求導得到$f'(x)=3x^2-6x+4$，令$f'(x)=0$得到$x=1$或$x=2$，再求二階導數(shù)$f''(x)=6x-6$，代入$x=1$和$x=2$得到$f''(1)=0$和$f''(2)=6>0$，故$x=2$處為極小值，$x=1$處不是極值點，排除C，選A,B,D。

2.B

解析思路：由等差數(shù)列的性質(zhì)知，$a_5=a_1+4d$，代入$a_1=3$和$a_5=11$解得$d=2$，再由$a_{10}=a_1+9d$計算得到$a_{10}=19$。

3.A

解析思路：復數(shù)的模長公式為$|z|=\sqrt{a^2+b^2}$，代入$z=2+3i$得到$|z|=\sqrt{2^2+3^2}=\sqrt{13}$。

4.B

解析思路：不等式$2x-3>5$的解集為$x>4$，不等式$3x+2<4$的解集為$x<\frac{2}{3}$，因此后者是前者的補集。

5.A

解析思路：由勾股定理知，$5^2+12^2=13^2$，故三邊長滿足勾股定理，三角形為直角三角形，面積$S=\frac{1}{2}\times5\times12=30\sqrt{3}$。

6.B

解析思路：函數(shù)$f(x)=x^2-4x+4$可以寫為$(x-2)^2$，故在$x=2$處取得最小值$f(2)=0$。

7.A

解析思路：由等比數(shù)列的性質(zhì)知，$a_4=a_1q^3$，代入$a_1=2$和$a_4=16$解得$q=2$，再由$a_7=a_1q^6$計算得到$a_7=128$。

8.A

解析思路：復數(shù)的共軛復數(shù)為實部不變，虛部取負，故$z=2+3i$的共軛復數(shù)為$2-3i$。

9.B

解析思路：不等式$2x-3>5$的解集為$x>4$，不等式$3x+2<4$的解集為$x<\frac{2}{3}$，因此后者是前者的并集。

10.A

解析思路：由勾股定理知，$5^2+12^2=13^2$，故三邊長滿足勾股定理，三角形為直角三角形，面積$S=\frac{1}{2}\times5\times12=30\sqrt{3}$。

二、判斷題（每題2分，共10題）

1.×

解析思路：函數(shù)$y=\frac{1}{x}$在定義域內(nèi)單調(diào)遞減，而不是遞增。

2.√

解析思路：等差數(shù)列的通項公式是等差數(shù)列的基本性質(zhì)之一，正確。

3.√

解析思路：復數(shù)的乘法運算滿足結(jié)合律，是復數(shù)運算的基本性質(zhì)。

4.×

解析思路：不等式$ax>0$的解集為$x>0$當$a>0$，而不是全體實數(shù)。

5.√

解析思路：若$ab<0$，則$a$和$b$異號，是乘法運算的基本性質(zhì)。

6.√

解析思路：任何三角形的內(nèi)角和都等于$180^\circ$，是三角形的基本性質(zhì)。

7.×

解析思路：函數(shù)$f(x)=x^3$在$x=0$處沒有極值，因為導數(shù)$f'(x)=3x^2$在$x=0$處不為零。

8.√

解析思路：等比數(shù)列的前$n$項和公式是等比數(shù)列的基本性質(zhì)之一，正確。

9.√

解析思路：對任意實數(shù)$x$，都有$x^2\geq0$，是實數(shù)的非負性質(zhì)。

10.√

解析思路：二次函數(shù)$y=ax^2+bx+c$的圖像開口向上當且僅當$a>0$，是二次函數(shù)的基本性質(zhì)。

三、簡答題（每題5分，共4題）

1.解析思路：一元二次方程的求根公式為$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$，適用條件是$a\neq0$且判別式$b^2-4ac\geq0$。

2.解析思路：若$a>0$，則函數(shù)圖像開口向上，頂點坐標為$(\frac{-b}{2a},\frac{4ac-b^2}{4a})$；若$a<0$，則函數(shù)圖像開口向下，頂點坐標同樣為$(\frac{-b}{2a},\frac{4ac-b^2}{4a})$。

3.解析思路：等差數(shù)列的前$n$項和公式為$S_n=\frac{n(a_1+a_n)}{2}$，其中$a_1$為首項，$a_n$為第$n$項，$n$為項數(shù)。

4.解析思路：復數(shù)的基本運算包括加法、減法、乘法和除法，其性質(zhì)包括：復數(shù)加法滿足交換律和結(jié)合律；復數(shù)乘法滿足交換律、結(jié)合律和分配律；復數(shù)除法可以轉(zhuǎn)化為乘法；復數(shù)的模長是非負實數(shù)。

四、論述題（每題10分，共2題）

1.解析思路：函數(shù)單調(diào)性的判定方法有：①通過觀察函數(shù)圖像；②通過求導數(shù)判斷函數(shù)的增減性；③通過構(gòu)造不等式判斷函數(shù)的增減性。舉例：判斷函數(shù)$f(x)=x^2-4x+4$在區(qū)間$[1,3]$上的單調(diào)性，求導得$f'(x)=2x-4$，當$x>2$時，$f'(x)>0$，故$f(x)$在區(qū)間$[1,3]$上單調(diào)遞增。

2.解析思路：利用導數(shù)求解函數(shù)的極值問題