2023-2025北京高二（上）期末數(shù)學匯編：圓的方程

第1頁/共1頁2023-2025北京高二（上）期末數(shù)學匯編圓的方程一、單選題1．（2025北京密云高二上期末）圓心為且過原點的圓的方程是（

）A． B．C． D．2．（2025北京西城高二上期末）在平面直角坐標系中，已知點，，若點為圓上的動點，則的最大值為（

）A． B． C． D．3．（2025北京昌平高二上期末）以，為直徑的兩個端點的圓的方程為（

）A． B．C． D．4．（2025北京昌平高二上期末）“”是“坐標原點在圓的外部”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件5．（2025北京懷柔高二上期末）若直線是圓的一條對稱軸，則值為（

）A． B．2 C． D．46．（2025北京平谷高二上期末）圓心為且過原點的圓的方程是（

）A． B．C． D．7．（2024北京大興高二上期末）過點且被圓截得的弦長最大的直線方程為（

）A． B．C． D．8．（2023北京人大附中朝陽學校高二上期末）設是圓上的動點，是圓的切線，且，則點P到點距離的最小值為（

）A．15 B．6 C．5 D．49．（2023北京順義高二上期末）已知圓C：，則圓C的圓心和半徑為（

）A．圓心，半徑 B．圓心，半徑C．圓心，半徑 D．圓心，半徑10．（2023北京豐臺高二上期末）圓的圓心坐標和半徑分別為（

）A．，2 B．，2 C．，4 D．，411．（2023北京大興高二上期末）圓的半徑是（

）A．1 B．2 C．3 D．412．（2023北京東城高二上期末）圓心為，半徑的圓的標準方程為（）A． B．C． D．13．（2023北京人大附中高二上期末）已知為原點，點，以為直徑的圓的方程為(

)A． B．C． D．二、填空題14．（2025北京延慶高二上期末）以為直徑的兩個端點的圓的標準方程是．15．（2025北京東城高二上期末）在平面直角坐標系中，直線與軸和軸分別交于兩點，，若，則當變化時，點到點的距離的最大值為.16．（2025北京懷柔o高二上期末）以點為圓心，且與軸相切的圓的標準方程為.17．（2023北京房山高二上期末）直線經(jīng)過一定點，則點的坐標為，以點為圓心且過原點的圓的方程為.18．（2024北京人大附中高二上期末）已知點和點，直角以BC為斜邊，求直角頂點A的軌跡方程.19．（2024北京海淀高二上期末）在平面直角坐標系中，定義為點到點的“折線距離”．點是坐標原點，點在圓上，點在直線上．在這個定義下，給出下列結論：①若點的橫坐標為，則；②的最大值是；③的最小值是2；④的最小值是．其中，所有正確結論的序號是．20．（2024北京東城高二上期末）已知圓，則圓心坐標為；半徑為.21．（2024北京朝陽高二上期末）以為直徑端點的圓的方程是.22．（2024北京石景山高二上期末）已知圓的半徑為3，則的值為.23．（2024北京房山高二上期末）已知曲線，給出下列四個命題：①曲線關于軸、軸和原點對稱；②當時，曲線共有四個交點；③當時，曲線圍成的區(qū)域內(nèi)（含邊界）兩點之間的距離的最大值是；④當時，曲線圍成的區(qū)域面積大于曲線圍成的區(qū)域面積．其中所有真命題的序號是．24．（2023北京石景山高二上期末）在中，，B和C．則的外接圓方程為．25．（2024北京豐臺高二上期末）關于曲線，下列結論正確的有①．曲線C關于原點對稱②．曲線C與直線有四個交點③．曲線C是封閉圖形，且封閉圖形的面積大于④．曲線C不是封閉圖形，且它與圓無公共點26．（2023北京密云高二上期末）關于曲線，給出下列四個結論：①曲線關于原點對稱，也關于軸、軸對稱；②曲線圍成的面積是；③曲線上任意一點到原點的距離者不大于；④曲線上的點到原點的距離的最小值為1.其中，所有正確結論的序號是.27．（2023北京朝陽高二上期末）過圓的圓心且與直線平行的直線的方程是．28．（2023北京房山高二上期末）已知點是圓上一點，給出下列結論：①；②圓C的圓心為；③圓C的半徑為25；④點也是圓C上一點．其中正確結論的序號是．29．（2023北京房山高二上期末）圓的圓心到直線的距離是．30．（2023北京懷柔高二上期末）圓的圓心為，半徑為.三、解答題31．（2025北京石景山高二上期末）在中，是坐標原點，，，求的外接圓方程.32．（2025北京豐臺高二上期末）已知圓C經(jīng)過點，且圓心C是直線與軸的交點.(1)求圓C的方程；(2)若直線l與圓C交于A，B兩點，且四邊形為菱形，求直線l的方程.33．（2024北京豐臺高二上期末）已知圓C經(jīng)過，兩點，且圓心在直線上.(1)求圓的方程；(2)設直線與圓交于D，E兩點，求四邊形的面積.34．（2024北京房山高二上期末）已知點，求(1)過點A，B且周長最小的圓的標準方程；(2)過點A，B且圓心在直線上的圓的標準方程.35．（2023北京通州高二上期末）已知兩點，，直線l：．(1)若直線經(jīng)過點A，且，求直線的方程；(2)若圓心為C的圓經(jīng)過A，B兩點，且圓心C在直線l上，求該圓的標準方程．36．（2023北京房山高二上期末）已知圓，點．P是圓C上的任意一點．(1)求圓C的圓心坐標與半徑大??；(2)求的最大值與最小值．

參考答案1．D【分析】根據(jù)圓上一點到圓心的距離即為半徑，即可寫出圓的方程.【詳解】圓心為的圓的方程為，又因為原點在圓上，則，所以.故選：D.2．D【分析】設為圓上任意一點，利用向量的坐標運算得，進而利用的幾何意義可求得的最大值.【詳解】設為圓上任意一點，因為，，所以，，所以，所以，表示點到點的距離，又的圓心到點的距離為，又圓的半徑為，所以到點的距離的最大值為，所以的最大值為.故選：D.3．D【分析】利用圓的標準方程待定系數(shù)計算即可．【詳解】易知該圓圓心為的中點，半徑，所以該圓方程為：．故選：D．4．B【分析】先由“坐標原點在圓的外部”得且，進而可得.【詳解】由坐標原點在圓的外部可得，即且，故“”是“且”的必要不充分條件，故選：B5．A【分析】首先將圓的方程化為標準式，即可得到圓心坐標，根據(jù)圓心在直線上求出參數(shù)的值.【詳解】圓，即，所以圓心坐標為，依題意直線過點，所以，解得.故選：A6．B【解析】根據(jù)條件求出半徑即可.【詳解】因為圓心為且過原點，所以所以圓的方程是故選：B7．B【分析】根據(jù)圓的性質(zhì)可知所求直線即為過圓心的直線，結合直線的截距式方程求解.【詳解】由題意可知：圓的圓心為，顯然圓的最大弦長為直徑，所求直線即為過圓心的直線，可得直線方程為，即.故選：B.8．D【分析】本題首先可根據(jù)題意得出，則點的軌跡方程為，然后用圓心到點的距離減去半徑即可得出結果.【詳解】解：由圓的方程，易知圓心，半徑為，因為是圓的切線，且，所以，，所以，點的軌跡方程為，點到點距離的最小值為，故選：D.9．A【分析】將圓的方程化為標準方程，從而可得圓心與半徑.【詳解】由化為標準方程可得，故圓心，半徑.故選:A.10．B【分析】根據(jù)圓的標準方程求得.【詳解】根據(jù)圓的標準方程得圓心為，半徑為故選：B11．B【分析】將圓的一般式化為標準式即得.【詳解】由，可得，所以圓的半徑是，故選：B.12．B【分析】根據(jù)圓的標準方程的形式，由題中條件，可直接得出結果.【詳解】根據(jù)題意，圓心為，半徑圓的標準方程為；故選：B．13．A【分析】求圓的圓心和半徑，根據(jù)圓的標準方程即可求解﹒【詳解】由題知圓心為，半徑，∴圓的方程為﹒故選：A﹒14．【分析】求的中點坐標，求的長度，由此可得圓心坐標和半徑，由此可得圓的方程.【詳解】因為，所以線段的中點坐標為，即，，所以以為直徑的兩個端點的圓的圓心坐標為，半徑為，所以以為直徑的兩個端點的圓的標準方程是.故答案為：.15．【分析】先求得兩點坐標，根據(jù)得到，再結合可得到軌跡為動圓，求得該動圓圓心的方程，即可求得答案.【詳解】由，得，由，得，由，得，設，則，即，因此點的軌跡為一動圓，設該動圓圓心為，即有，則代入，整理得：，即軌跡的圓心在圓上（除此圓與坐標軸的交點外），則，當且僅當點為射線與圓的交點，點為射線與圓的交點時等號成立，又，所以點到點的距離的最大值為.故答案為：.16．【分析】根據(jù)題意得出半徑，即可得出圓的標準方程.【詳解】以點為圓心，且與軸相切的圓的半徑為1，故圓的標準方程是.故答案為：17．【分析】通過分離參數(shù)，可求出直線所過定點；求出點到原點的距離，即為所求圓的半徑，可求出圓的方程.【詳解】由得，即，由直線的點斜式方程可知，是斜率為，過定點的直線，故點的坐標為；（或由解得，即的坐標為）點到原點的距離，即以點為圓心且過原點的圓的半徑，故以點為圓心且過原點的圓的方程為：.故答案為：；.18．【分析】根據(jù)圓的定義可以求解，或直接設，由求解.【詳解】方法一：設點，，，，，由題意可知：，，，整理得：，三點不共線，，，應去除.直角頂點的軌跡方程為：.方法二：設BC中點為，則，即A在以D為圓心，為半徑的圓上(不能和B、C重合)，故A的軌跡方程為.19．①②④【分析】對于①,求出的坐標即可判定為正確；對于②，利用圓的參數(shù)方程和輔助角公式即可判定正確；對于③④，利用絕對值放縮和絕對值不等式即可判定③錯④對.【詳解】對于①，由題得出的縱坐標為，所以，故①正確；對于②，設，，則，結合對稱性，取分析即可，此時，顯然當時，取最大值，故②正確；對于③，設，則，當?shù)臅r候等號成立，所以的最小值是，故③錯誤；對于④，設，，，則，其中，所以當時，取最小值，此時，故④正確；故答案為：①②④.20．1【分析】將圓的方程化簡為標準方程，即可求圓心和半徑.【詳解】將圓的一般方程，化簡為圓的標準方程為，即圓的圓心為，半徑為1.故答案為：；21．【分析】利用直徑端點求出圓心和半徑，再用標準方程求解即可.【詳解】是直徑端點，由兩點間距離公式得直徑長為，故半徑為，且設圓心為，由中點坐標公式得圓心，故圓的方程為.故答案為：22．【分析】首先將圓的一般方程，寫成標準方程，再利用半徑為3，即可求解.【詳解】圓的一般方程寫成標準方程為，由圓的半徑為可知，，得.故答案為：23．①②③【分析】①將點代入方程，判斷方程是否滿足即可；②聯(lián)立曲線方程求得或，進而求交點個數(shù)；③④由曲線是圓心為原點，半徑為的圓，利用二次函數(shù)性質(zhì)求曲線上任意一點到原點距離的范圍，結合對稱性即可判斷.【詳解】①設點在上，對于點，代入方程，也在上；對于點，代入方程，也在上；對于點，代入方程，也在上；所以曲線關于x軸、y軸和原點對稱，正確；②聯(lián)立可得，即或，當時，都有，即存在交點；當時，都有，即存在交點；綜上，共有四個交點，正確；③當時，則，故，可得，曲線上任意一點到原點距離，當時，結合對稱性知：曲線對圍成的平面區(qū)域內(nèi)（含邊界）兩點之間的距離的最大值是3，正確.④當時，對于曲線是圓心為原點，半徑為的圓，設曲線圍成的區(qū)域為，曲線圍成的區(qū)域為，設，則，故，故，故，故在的內(nèi)部，故的面積不大于的面積，故④錯誤.故答案為：①②③24．【分析】設出圓的一般方程，代入點的坐標求解即可．【詳解】由題意設圓的方程為，代入三個點的坐標可得，解得，所以的外接圓方程為，故答案為：．25．①②④【分析】利用曲線C方程的性質(zhì)判斷①，聯(lián)立直線與曲線C方程，利用零點存在定理判斷②，利用的取值范圍判斷③，聯(lián)立曲線C與圓的方程，利用判別式判斷④，從而得解.【詳解】①，將方程中的分別代換為，得，所以曲線關于原點對稱，故①正確，②，由得，此方程最多有四個根，設，因為，，，，，所以方程有四個根，所以曲線C與直線有四個交點，故②正確，③，由可得，即，同理可得，即或，同時有或，故曲線不是封閉圖形，故③不正確，④，由C知曲線不是封閉圖形，由得，令則上式轉化為，，可知方程組無解，因此曲線與圓無公共點，故④正確，故答案為：①②④.【點睛】關鍵點睛：本題結論②的解決關鍵是找到相應特殊點，結合零點存在定理方可得解.26．①②③④【分析】畫出曲線的圖象，根據(jù)對稱性、面積、圖象等知識確定正確答案.【詳解】曲線，則時，，時，，時，，當時，，由此畫出曲線的圖象如下圖所示，由圖可知：曲線關于原點對稱，也關于軸、軸對稱，①正確.曲線圍成的面積是，②正確.曲線上任意一點到原點的距離者不大于，③正確曲線上的點到原點的距離的最小值為1，即，所以④正確.故答案為：①②③④27．【分析】設出與直線平行的直線，將圓心代入即可.【詳解】由的圓心為，設與直線平行的直線為：，因為過圓心，所以，故所求直線為：，故答案為：.28．①②④【分析】利用點坐標求得，進而確定正確答案.【詳解】由于點是圓上一點，所以，①正確，圓的方程為，即，故圓心為，半徑為，②正確，③錯誤.，所以點也是圓C上一點，④正確.故答案為：①②④29．【分析】將圓的一般方程化為標準方程，找出圓心，再利用點到直線的距離公式求解即可.【詳解】由圓有圓的標準方程為：，所以圓心為，則到直線的距離為：，故答案為：.30．【分析】先對圓的一般方程進行配方轉化為標準方程，從而得到圓心的坐標與半徑.【詳解】因為圓可化為，所以所求圓心為，半徑為.故答案為：；.31．【分析】設的外接圓的方程為（），則把的坐標代入求得的值，可得圓的方程．【詳解】設的外接圓的方程為（），則，解得，∴的外接圓方程為．32．(1)(2)【分析】（1）求得圓心與半徑可求圓的方程；（2）由已知可得AB垂直平分CM，求得，進而求得的中點，可求直線的方程.【詳解】（1）因為圓心C是直線與軸的交點，所以圓心C的坐標為，又因為圓C經(jīng)過，所以圓C的半徑為，所以圓C的方程為.（2）因為四邊形CAMB為菱形，所以AB垂直平分CM，因為，所以又因為CM的中點坐標為所以直線AB的方程為，即.33．(1)(2)30【分析】（1）設，由可得a值，則圓心坐標可求，再利用兩點之間的距離公式求半徑即可得圓的標準方程；（2）先證得四邊形是平行四邊形，再結合點到直線的距離公式以及圓的性質(zhì)可得答案.【詳解】（1）因為圓心在直線上，所以設，由A，B是圓上兩點，所以，即，解得，所以圓心的坐標為.圓的半徑，故圓的方程為.（2）過點作的垂線，垂足為，則為線段的中點，由點到直線的距離公式，得，所以.因為，，所以，直線的方程為.而直線的方程為，所以，且，由此得四邊形是平行四邊形.因為，之間的距離，所以平行四邊形的面積為，故四邊形的面積為30.34．(1)(2)【分析】（1）所求的圓，即以AB為直徑的圓