2023-2025北京高二（上）期末數(shù)學匯編：空間中的平行關系（人教B版）

第1頁/共1頁2023-2025北京高二（上）期末數(shù)學匯編空間中的平行關系（人教B版）一、單選題1．（2025北京平谷高二上期末）長方體中，，則異面直線與所成角的大小為（

）A． B． C． D．2．（2025北京101中高二上期末）已知l，m是兩條不同的直線，，是兩個不同的平面，且，，則“”是“”的（

）A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件3．（2025北京石景山高二上期末）在正方體中，P為的中點，則直線與所成的角為（

）A． B． C． D．4．（2024北京西城高二上期末）已知直線和平面，且，則“直線直線”是“直線平面”的（

）A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件5．（2024北京海淀高二上期末）已知底面邊長為2的正四棱柱的體積為，則直線與所成角的余弦為（

）A． B． C． D．6．（2024北京昌平高二上期末）如圖，在正方體中，直線與直線所成角的大小為（

）A． B． C． D．7．（2024北京北師大附中高二上期末）如圖，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，點E，F(xiàn)分別是棱A1C1，BC的中點，則下列結論中不正確的是（）A．CC1∥平面A1ABB1 B．AF∥平面A1B1C1C．EF∥平面A1ABB1 D．AE∥平面B1BCC18．（2024北京石景山高二上期末）已知，是兩個不同的平面，直線m滿足，則“”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件9．（2023北京豐臺高二上期末）如圖，棱長為2的正方體中，點是的中點，是側面的中心，則到平面的距離為（

）A． B． C． D．10．（2023北京順義高二上期末）如圖，正方體的棱長為2，E，F(xiàn)分別為，的中點，P是底面上一點．若∥平面，下列說法正確的是（

）A．線段長度最大值為，無最小值B．線段長度最小值為，無最大值C．線段長度最大值為，最小值為D．線段長度無最大值，無最小值11．（2023北京清華附中高二上期末）如圖，半徑為1的半球內有一內接正六棱錐，則異面直線與所成的角為（

）A． B． C． D．12．（2023北京海淀高二上期末）在正方體中，直線是底面所在平面內不過的一條動直線，記直線與直線所成的角為，則的最小值是（

）A． B． C． D．13．（2023北京八中高二上期末）當動點在正方體的體對角線上運動時，異面直線與所成角的取值范圍是A． B． C． D．二、填空題14．（2025北京昌平高二上期末）在正方體中，直線與所成角大小為．15．（2024北京平谷高二上期末）如圖，棱長為2的正方體中，，分別是線段和上的動點.對于下列四個結論：

①存在無數(shù)條直線平面；②線段長度的取值范圍是；③三棱錐的體積最大值為；④設，分別為線段和上的中點，則線段的垂直平分線與底面的交點構成的集合是圓.則其中正確的命題有.16．（2024北京東城高二上期末）如圖，已知M是正方體的棱的中點，則直線與所成角的余弦值為.17．（2024北京海淀高二上期末）如圖，已知E，F(xiàn)分別為三棱錐的棱的中點，則直線與的位置關系是（填“平行”，“異面”，“相交”）．三、解答題18．（2024北京石景山高二上期末）如圖，正方體的棱長為2，E是棱的中點，過的平面與棱相交于點.(1)求證：是的中點；(2)求點到平面的距離.19．（2024北京平谷高二上期末）如圖，在四棱錐中，側棱底面，四邊形為平行四邊形，，，，是的中點.(1)證明：平面；(2)求點到平面的距離.

參考答案1．C【分析】通過平移說明即異面直線與所成角，借助于直角三角形和三角函數(shù)定義即可求得.【詳解】如圖所示，因，則即異面直線與所成角.連接，在中，，則，即異面直線與所成角為.故選：C.2．C【分析】利用線面平行的性質定理與判定定理即可判斷出關系．【詳解】因為，，，則，所以“”是“”的必要條件；因為，，，所以，且，所以，所以“”是“”的充分條件；則“”是“”的充要條件．故選：C．3．D【分析】平移直線至，將直線與所成的角轉化為與所成的角，解三角形即可.【詳解】如圖，連接，因為∥，所以或其補角為直線與所成的角，因為平面，所以，又，，所以平面，所以，設正方體棱長為2，則，，所以.故選：D4．D【分析】根據(jù)線面平行性質分別畫出不同情況下的直線和平面的位置關系可得結論.【詳解】根據(jù)題意可得，如下圖所示：

若“直線直線”，則直線可以在平面內；即充分不成立；若“直線平面”，如下圖所示：

直線和直線可以異面，即必要性不成立；所以可知“直線直線”是“直線平面”的既不充分也不必要條件，故選：D5．D【分析】根據(jù)異面直線所成角及余弦定理即可求解.【詳解】如圖，連接，則，正四棱柱的體積為，則，則，則為異面直線與所成角，則，，故.故選：D

6．C【分析】連接、，可得且為等邊三角形，即可得直線與直線所成角的大小.【詳解】連接，，在正方體中，易得，故直線與直線所成角的大小與直線與直線所成角大小相等，又，故為等邊三角形，故，即直線與直線所成角的大小為.故選：C.7．D【分析】利用線面平行的判定定理逐項判斷即可．【詳解】解：在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，可得CC1∥AA1，AA1?平面A1ABB1，CC1?平面A1ABB1，∴CC1∥平面A1ABB1，故A正確；AF?平面ABC，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，可得平面ABC∥平面A1B1C1，∴AF∥平面A1B1C1，故B正確；取A1B1中點N，又E是A1C1中點，∴NE∥C1B1，且NE＝C1B1，又F是棱BC的中點，所以BF＝C1B1，AF∥C1B1，∴BF∥NE，BF＝NE，∴四邊形BFEN是平行四邊形，∴EF∥BN，BN?平面A1ABB1，EF?平面A1ABB1，∴EF∥平面A1ABB1，故C正確；∵EC1∥AC，但EC1≠AC，∴AE與CC1相交，從而有AE不平行于平面B1BCC1，故D錯誤．故選：D．8．A【分析】根據(jù)充分必要條件定義判斷．【詳解】充分性：根據(jù)面面平行的定義知充分性成立；必要性：設，當，且，，此時，但是與相交，故必要性不成立．故選：A．9．A【分析】連接，證明平面，進而將其轉化為到平面的距離，再根據(jù)等體積法求解即可.【詳解】解：連接，因為是側面的中心，所以，因為，由正方體的性質知，所以，是平行四邊形，所以，因為平面，平面所以平面，所以，到平面的距離與到平面的距離相等，設到平面的距離為中，，，因為，所以，，解得所以，到平面的距離為故選：A10．C【分析】分別取的中點,根據(jù)面面平行的判定定理可得平面平面，故點的軌跡為線段.當與點或重合時，線段長度最大，當為線段的中點時，線段長度最小，求解即可.【詳解】分別取的中點,因為，平面，平面，所以平面,同理可得平面.因為平面,所以平面平面.因為P是底面上一點．且∥平面，所以點的軌跡為線段.因為正方體的棱長為2，所以,,當與點或重合時，；當為線段的中點時，.所以線段長度最大值為，最小值為.故選:C.11．C【分析】取球心，直線過點，即為所求，在中求解即可.【詳解】取球心，直線過點，由正六邊形的性質知，故即為異面直線與所成的角（或補角），易知為等腰直角三角形，即，即異面直線與所成的角為，故選：C.12．A【分析】過作的平行線，過作該平行線的垂線，垂足為，則，，根據(jù)可求出結果.【詳解】如圖：過作的平行線，過作該平行線的垂線，垂足為，則，所以，設正方體的棱長為，則，，所以，當且僅當與重合時，取得等號，所以的最小值是.故選：A13．B【解析】以為原點，DA為x軸，DC為y軸，DD1為z軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能求出BP與AD1所成角的取值范圍．【詳解】以為原點，，，分別為，，軸正向，建立空間直角坐標系，則，，設，則，，，故，對于函數(shù)，有：，，故，又，故.故選.【點睛】本題考查異面直線所成角的取值范圍的求法，考查異面直線所成角的概念等基礎知識，考查運算求解能力，考查函數(shù)與方程思想，是基礎題．14．【分析】先連接，由異面直線的夾角可得直線與所成角即為，由為等邊三角形可得.【詳解】

如圖，連接，，由正方體性質知，則直線與所成角即為，因都是正方體的面對角線，所以，故為等邊三角形，故，故答案為：.15．①③【分析】構造面面平行，尋找線面平行，可以判斷①的對錯；通過特殊位置，可以判斷②是錯誤的；分析三棱錐的高是確定的，求底面積最大值，可得三棱錐體積的最大值，判斷③的對錯；根據(jù)公理，兩個平面的交點在一條直線上，可得④是錯誤的.【詳解】對①：過作，交于，連接，則平面，因為點再上運動，故滿足條件的直線有無數(shù)條.所以①正確；

對②：當與重合，為中點時，，所以長度取值范圍是是錯誤的；對③：

因為直線平面，所以到平面的距離為定值，是正方體體對角線的，所以當與重合時，底面積最大，此時的體積最大，為，所以③正確；對④，當，位置確定時，線段的垂直平分線構成一個平面，它和底面的交點應該是一條直線，所以④錯誤.故答案為：①③16．【分析】首先根據(jù)異面直線所成角的定義，轉化為相交直線所成角，再求解其余弦值.【詳解】因為，所以直線與所成角即為直線與所成角,即為所求角，，設正方體棱長為2，點為的中點，所以，,所以，所以直線與所成角的余弦值為.故答案為：17．異面【分析】假設共面推出矛盾.【詳解】假設直線共面，平面，由，則平面，同理，平面，故共面，這與是三棱錐矛盾，故假設錯誤，故直線異面.故答案為：異面.18．(1)證明過程見解析(2)【分析】（1）連接，由面面平行的性質定理得到，進而得到，結合E是棱的中點，得到結論；（2）根據(jù)等體積法可求.【詳解】（1）連接，如圖所示.因為平面平面，平面平面，平面平面，所以.又，所以四邊形為平行四邊形，，.又E是棱的中點，所以F是的中點.（2）在正方體中，易求.在中，由