重慶市部分區(qū)縣2024−2025學(xué)年高二下學(xué)期第一次月考 數(shù)學(xué)試題（含解析）

重慶市部分區(qū)縣2024?2025學(xué)年高二下學(xué)期第一次月考數(shù)學(xué)試題一、單選題（本大題共8小題）1．已知函數(shù)，當(dāng)自變量由5變到5.1時(shí)，函數(shù)的平均變化率為（

）A．1 B．1.1 C．5.1 D．10.12．已知數(shù)列的首項(xiàng)為1，則（

）A．1 B．2 C．4 D．83．拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（

）A． B． C． D．4．“十二平均律”是通用的音律體系，明代朱載堉最早用數(shù)學(xué)方法計(jì)算出半音比例．為這個(gè)理論的發(fā)展做出了重要貢獻(xiàn)．十二平均律將一個(gè)純八度音程分成十二份，依次得到十三個(gè)單音．從第二個(gè)單音起，每一個(gè)單音的頻率與它的前一個(gè)單音的頻率的比都等于．若第六個(gè)單音的頻率為，則第十二個(gè)單音的頻率為（

）A． B． C． D．5．直線(xiàn)的圖象如圖所示，則圓與直線(xiàn)的位置關(guān)系為（

）A．相離 B．相切 C．相交 D．無(wú)法確定6．已知等差數(shù)列的公差不為0，其前項(xiàng)和為，且，，當(dāng)取得最小值時(shí)，（

）A．3 B．5 C．6 D．97．等差數(shù)列的前項(xiàng)和分別是，且，則（

）A． B． C． D．8．已知正項(xiàng)數(shù)列的前項(xiàng)和為，，且，則（

）A． B． C． D．二、多選題（本大題共3小題）9．已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，的部分圖象如圖所示，則（）A．在上單調(diào)遞增 B．在上單調(diào)遞減C．是的極小值點(diǎn) D．是的極小值點(diǎn)10．已知點(diǎn)，，，，點(diǎn)P為曲線(xiàn)C：上一點(diǎn)，則（

）A．存在無(wú)數(shù)個(gè)點(diǎn)P，使得為定值B．存在無(wú)數(shù)個(gè)點(diǎn)P，使得為定值C．僅存在2個(gè)點(diǎn)P，使得D．僅存在4個(gè)點(diǎn)P，使得11．若存在點(diǎn)，使得過(guò)點(diǎn)可作曲線(xiàn)的兩條切線(xiàn)，切點(diǎn)為和，且是銳角，則可能為（

）A．B．C．D．三、填空題（本大題共3小題）12．在數(shù)列中，，則．13．已知函數(shù)在上單調(diào)遞減，則．14．若偶函數(shù)的定義域?yàn)?，滿(mǎn)足，且當(dāng)時(shí)，，則不等式的解集是．四、解答題（本大題共5小題）15．已知拋物線(xiàn)經(jīng)過(guò)雙曲線(xiàn)的焦點(diǎn)，且的離心率為．（1）求的方程；（2）與的4個(gè)交點(diǎn)圍成一個(gè)梯形，求該梯形的高．16．已知函數(shù)．（1）若，求在上的值域；（2）若，求在上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)．17．如圖，平面，點(diǎn)、位于平面的兩側(cè)，、、、四點(diǎn)共面，且．（1）證明：平面．（2）過(guò)點(diǎn)作平面的垂線(xiàn)，指出垂足的位置，并說(shuō)明理由．（3）求平面與平面夾角的余弦值．18．若函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)滿(mǎn)足對(duì)恒成立，則稱(chēng)為函數(shù)．（1）試問(wèn)是否為函數(shù)？說(shuō)明你的理由；（2）若為函數(shù)，求的取值范圍．19．已知是由自然數(shù)組成的無(wú)窮數(shù)列，該數(shù)列前項(xiàng)的最大值記為，第項(xiàng)之后各項(xiàng)的最小值記為．（1）若，寫(xiě)出的值．（2）若（為定值，且），證明：是等比數(shù)列．（3）若，證明：的項(xiàng)只能是4或3或2，且有無(wú)窮多項(xiàng)為2．

參考答案1．【答案】D【詳解】由題函數(shù)的平均變化率為.故選D2．【答案】A【詳解】當(dāng)時(shí)，∵，∴，當(dāng)時(shí)，∵，∴，當(dāng)時(shí)，∵，∴.故選A.3．【答案】A.【詳解】由，得，故拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)坐標(biāo)為.故選A.4．【答案】D【詳解】因?yàn)槊恳粋€(gè)單音與前一個(gè)單音頻率比為，所以，故，又，則.故選D5．【答案】C【詳解】由題意可得圓心坐標(biāo)，半徑，圓心到直線(xiàn)的距離，所以直線(xiàn)與圓相交.故選C6．【答案】B【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，則，令，因?yàn)椋?，所以二次函?shù)的圖象關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)．又因?yàn)椋傻?，所以?dāng)取得最小值時(shí)，．故選B7．【答案】D【詳解】由可設(shè)，則，，所以故選D8．【答案】A【詳解】因?yàn)檎?xiàng)數(shù)列的前項(xiàng)和為，，且，可得，則，所以，，，，，，上述等式相乘得，則，故當(dāng)且時(shí)，，且滿(mǎn)足，對(duì)任意的，，故.故選A.9．【答案】AC【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，由圖象可知，當(dāng)時(shí)，，則函數(shù)在上單調(diào)遞增，A對(duì)；對(duì)于B選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，，則函數(shù)在上單調(diào)遞增，B錯(cuò)；對(duì)于C選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增，所以，是的極小值點(diǎn)，C對(duì)；對(duì)于D選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增，所以，不是函數(shù)的極小值點(diǎn)，D錯(cuò).故選AC.10．【答案】ABD【詳解】由曲線(xiàn)C：，可知曲線(xiàn)為：橢圓和橢圓，易知，為的焦點(diǎn)，，，為的焦點(diǎn)，存在無(wú)數(shù)個(gè)點(diǎn)P，使得為定值，存在無(wú)數(shù)個(gè)點(diǎn)P，使得為定值，故AB正確；由圖象可知：兩橢圓共有4個(gè)交點(diǎn)，所以?xún)H存在4個(gè)點(diǎn)P，使得，故C錯(cuò)，D對(duì)，故選ABD11．【答案】AC【詳解】若過(guò)點(diǎn)可作曲線(xiàn)的兩條切線(xiàn)，設(shè)切點(diǎn)，不妨設(shè)，則函數(shù)在處的切線(xiàn)方程為，在處的切線(xiàn)方程為，則兩切線(xiàn)交點(diǎn)為，所以有，且，即，，由，，則可得.A項(xiàng)，，則，所以，由函數(shù)有兩條漸近線(xiàn)，軸與直線(xiàn)，兩漸近線(xiàn)夾角為，如圖1可知，，又不共線(xiàn)，可能為銳角.例如：當(dāng)時(shí)，此時(shí)，又不共線(xiàn)，則為銳角，故A正確；B項(xiàng)，，則，所以，如圖可知，，則，故，又不共線(xiàn)，所以恒為鈍角，故B錯(cuò)誤；C項(xiàng)，，則，所以，其中，若，且，則，如圖所示，不共線(xiàn)，可以取到銳角，故C正確；D項(xiàng)，，則，故，，故曲線(xiàn)在處的切線(xiàn)為，在處的切線(xiàn)為，此時(shí)兩切線(xiàn)夾角為.，結(jié)合圖可知，，則，故，所以，故D錯(cuò)誤；故選AC.12．【答案】【詳解】當(dāng)時(shí)，，即，∴數(shù)列是首項(xiàng)，公比的等比數(shù)列，∴.13．【答案】【詳解】，∵，∴當(dāng)時(shí)，，即不等式在上恒成立，的解集為，即，∴，解得，即.14．【答案】【詳解】構(gòu)造函數(shù)，則該函數(shù)的定義域?yàn)?，因?yàn)楹瘮?shù)為偶函數(shù)，則，即函數(shù)為偶函數(shù)，因?yàn)?，則，當(dāng)時(shí)，，所以，函數(shù)在區(qū)間上為增函數(shù)，故函數(shù)在區(qū)間上為減函數(shù)，則，即，當(dāng)時(shí)，則，可得；當(dāng)時(shí)，則，可得.因此，不等式的解集是.15．【答案】（1）（2）【詳解】（1）因?yàn)閽佄锞€(xiàn)過(guò)雙曲線(xiàn)的焦點(diǎn)，所以令可得，所以，又，解得，所以的方程.（2）由拋物線(xiàn)可得，代入雙曲線(xiàn)的方程可得，，解得或，所以梯形的高為.16．【答案】（1）（2）答案見(jiàn)解析；【詳解】（1）時(shí)，，此時(shí)，令，.則，則在上單調(diào)遞增，則，故在上單調(diào)遞增，則；（2）由題，令，.則，，，時(shí)，，根據(jù)正弦函數(shù)性質(zhì)知在上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為0；時(shí)，所以，故在上單調(diào)遞減.又，則，使.則，故在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.又注意到，，結(jié)合在上單調(diào)遞增，則時(shí)，，，又，結(jié)合在上單調(diào)遞減.則存在，使.綜上，當(dāng)時(shí)，在上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為0，當(dāng)時(shí)，在上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為1.17．【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）是的中點(diǎn)，理由見(jiàn)解析；（3）【詳解】（1）∵平面平面，，，平面平面，，平面.（2）過(guò)點(diǎn)作平面的垂線(xiàn)，垂足是的中點(diǎn)，因?yàn)槠矫嫫矫?，所以平面平面，又平面平面，取的中點(diǎn)，因?yàn)?，所以平面，所以平面；?）以為坐標(biāo)原點(diǎn)，為軸，為軸，為軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，又因?yàn)?，所以則，，，設(shè)平面的法向量為，，則，取，平面的一個(gè)法向量為，設(shè)平面的法向量為，，則，取，平面的一個(gè)法向量為，設(shè)平面與平面所成角為，，即平面與平面所成角的余弦值為.18．【答案】（1）是，理由見(jiàn)解析（2）【詳解】（1）令，其中，因?yàn)?、在上為增函?shù)，故函數(shù)在上為增函數(shù)，所以，，所以，函數(shù)是函數(shù).（2）因?yàn)?，則，令，設(shè)，因?yàn)楹瘮?shù)為函數(shù)，則對(duì)任意的，，即，因?yàn)槎魏瘮?shù)的圖象開(kāi)口向上，對(duì)稱(chēng)軸為直線(xiàn)，當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，則函數(shù)在區(qū)間上為增函數(shù)，只需，解得，此時(shí)，；當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，只需，解得，舍去.綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍是.19．【答案】（1）答案見(jiàn)解析（2）證明見(jiàn)解析（3）證明見(jiàn)解析【詳解】（1）由可得為，又，，所以，，所以，，所以，，所以.（2）若，則，因?yàn)?，所以，于是，所以，即是?/p>