山東省煙臺(tái)市招遠(yuǎn)市第二中學(xué)2024−2025學(xué)年高二下學(xué)期第一次月考 數(shù)學(xué)試題（含解析）

山東省煙臺(tái)市招遠(yuǎn)市第二中學(xué)2024?2025學(xué)年高二下學(xué)期第一次月考數(shù)學(xué)試題一、單選題（本大題共7小題）1．正八邊形的對(duì)角線的條數(shù)為（

）A．20 B．28 C．40 D．562．的展開式的第6項(xiàng)的系數(shù)是（

）A． B． C． D．3．學(xué)校要求學(xué)生從物理?歷史?化學(xué)?生物?政治?地理這6科中選3科參加考試，規(guī)定先從物理和歷史中任選1科，然后從其他4科中任選2科，不同的選法種數(shù)為（

）A．5 B．12 C．20 D．1204．已知隨機(jī)變量的分布列如下表，若，則（

）PA． B． C． D．5．5個(gè)相同的球，放入8個(gè)不同的盒子中，每個(gè)盒里至多放一個(gè)球，則不同的放法有（）A．種 B．種 C．種 D．種6．甲、乙兩名同學(xué)參加了班級(jí)組織的數(shù)學(xué)知識(shí)有獎(jiǎng)競(jìng)答活動(dòng)，二人從各自的10道題中（這20道題均不相同）各自獨(dú)立地隨機(jī)抽取2道題現(xiàn)場(chǎng)回答，已知在每人的10道題中，均有5道是代數(shù)題，5道是幾何題，則甲、乙兩名同學(xué)抽取的4道題目中有且僅有2道代數(shù)題的概率為（）A． B． C． D．7．某公司人事部門收到兩所高校畢業(yè)生的報(bào)表，分裝2袋，第一袋裝有6名男生和4名女生的報(bào)表，第二袋裝有7名男生和5名女生的報(bào)名.隨機(jī)選擇一袋，然后從中隨機(jī)抽取2份，則恰好抽到男生和女生報(bào)表各1份的概率為（

）A． B． C． D．二、多選題（本大題共4小題）8．?dāng)?shù)學(xué)家波利亞說過：為了得到一個(gè)方程，我們必須把同一個(gè)量以兩種不同的方法表示出來，即將一個(gè)量算兩次，從而建立相等關(guān)系.根據(jù)波利亞的思想，由恒等式（m，）左右兩邊展開式（其中，，）的系數(shù)相同，可得恒等式，我們稱之為范德蒙德恒等式，下列關(guān)于范德蒙德恒等式說法正確的是（

）A． B．C． D．9．已知，則（

）A．B．C．D．10．一個(gè)課外興趣小組共有5名成員，其中有3名女性成員，2名男性成員，現(xiàn)從中隨機(jī)選取3名成員進(jìn)行學(xué)習(xí)匯報(bào)，記選出女性成員的人數(shù)為，則下列結(jié)論正確的有（

）A． B．C． D．11．全國(guó)高考I卷數(shù)學(xué)試題第二部分為多選題，共3個(gè)小題，每小題有4個(gè)選項(xiàng)，其中有2個(gè)或3個(gè)是正確選項(xiàng)，全部選對(duì)得6分，部分選對(duì)得部分分，有選錯(cuò)的得0分.若正確答案是2個(gè)選項(xiàng)，只選對(duì)1個(gè)得3分，有選錯(cuò)的得0分：若正確答案是3個(gè)選項(xiàng)，只選對(duì)1個(gè)得2分，只選對(duì)2個(gè)得4分，有選錯(cuò)的得0分.小明對(duì)其中的一道題完全不會(huì)，該題有兩個(gè)正確選項(xiàng)的概率是，記為小明隨機(jī)選擇1個(gè)選項(xiàng)的得分，記為小明隨機(jī)選擇2個(gè)選項(xiàng)的得分，則（

）A． B．C． D．三、填空題（本大題共3小題）12．展開式中的常數(shù)項(xiàng)為.13．亞冬會(huì)期間，組委會(huì)將5名志愿者分配到三個(gè)場(chǎng)館進(jìn)行引導(dǎo)工作，每個(gè)場(chǎng)館至少分配一人，每人只能去一個(gè)場(chǎng)館.若甲?乙要求去同一個(gè)場(chǎng)館，則所有不同的分配方案的種數(shù)為.14．甲、乙兩名運(yùn)動(dòng)員進(jìn)行乒乓球比賽，規(guī)定每局比賽勝者得1分，負(fù)者得0分，比賽一直進(jìn)行到一方比另一方多兩分為止，多得兩分的一方贏得比賽．已知每局比賽中，甲獲勝的概率為，乙獲勝的概率為，，且每局比賽結(jié)果相互獨(dú)立．①若，則甲運(yùn)動(dòng)員恰好在第4局比賽后贏得比賽的概率為；②若比賽最多進(jìn)行5局，則比賽結(jié)束時(shí)比賽局?jǐn)?shù)的期望的最大值為．四、解答題（本大題共5小題）15．用0，1，2，3，4，5這六個(gè)數(shù)字，能組成多少個(gè)符合下列條件的數(shù)字？（用數(shù)字作答）(1)無重復(fù)數(shù)字的四位奇數(shù)；(2)無重復(fù)數(shù)字且能被5整除的四位數(shù)；(3)無重復(fù)數(shù)字且比1203大的四位數(shù).16．（1）已知的展開式中，各項(xiàng)的系數(shù)和比各項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和大240，求展開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng).（2）已知的展開式中，只有第6項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，求該展開式中系數(shù)最大的項(xiàng).17．某學(xué)校為了學(xué)習(xí)、貫徹黨的二十大精神，組織了“二十大精神”知識(shí)比賽，甲、乙兩位教師進(jìn)行答題比賽，每局只有1道題目，比賽時(shí)甲、乙同時(shí)回答這一個(gè)問題，若一人答對(duì)且另一人答錯(cuò)，則答對(duì)者獲得10分，答錯(cuò)者得分；若兩人都答對(duì)或都答錯(cuò)，則兩人均得0分．根據(jù)以往答題經(jīng)驗(yàn)，每道題甲、乙答對(duì)的概率分別為，且甲、乙答對(duì)與否互不影響，每次答題的結(jié)果也互不影響．(1)求在一局比賽中，甲的得分的分布列與數(shù)學(xué)期望；(2)設(shè)這次比賽共有3局，若比賽結(jié)束時(shí)，累計(jì)得分為正者最終獲勝，求乙最終獲勝的概率．18．為了更好了解兩會(huì)知識(shí)，某高中擬組織一次兩會(huì)知識(shí)測(cè)試，從全校學(xué)生中隨機(jī)抽取30人進(jìn)行模擬測(cè)試，其中高一年級(jí)組12人，高二年級(jí)組10人，高三年級(jí)組8人，測(cè)試共分為兩輪.(1)第一輪測(cè)試按高一?高二?高三3個(gè)小組順次進(jìn)行，若一切正常，參測(cè)小組完成測(cè)試的時(shí)間為20分鐘；若出現(xiàn)異常情況，則參測(cè)小組需要延長(zhǎng)5分鐘才能完成測(cè)試.已知每一小組正常完成測(cè)試的概率均為，且各小組是否正常完成測(cè)試互不影響.記3個(gè)小組全部完成測(cè)試所需總時(shí)間為，求的分布列；(2)第二輪測(cè)試將3組同學(xué)混合進(jìn)行排序，每位同學(xué)按排序順次進(jìn)行面試，且每人測(cè)試時(shí)間相等.①求最后一名同學(xué)來自高一年級(jí)組的條件下，高二年級(jí)組同學(xué)比高三年級(jí)組同學(xué)提前完成面試的概率；②若所有參加面試的同學(xué)都可以得到一本“兩會(huì)紀(jì)念冊(cè)”，成績(jī)優(yōu)秀的同學(xué)還可以多得一本“兩會(huì)紀(jì)念冊(cè)”，已知每一名同學(xué)面試成績(jī)優(yōu)秀的概率均為，設(shè)這30名同學(xué)所得“兩會(huì)紀(jì)念冊(cè)”總數(shù)恰好為個(gè)的概率為，當(dāng)取最大值時(shí)，求的值.19．信息在傳送中都是以字節(jié)形式發(fā)送，每個(gè)字節(jié)只有0或1兩種狀態(tài)，為保證信息在傳送中不至于泄露，往往需要經(jīng)過多重加密，若，是含有一個(gè)字節(jié)的信息，在加密過程中，會(huì)經(jīng)過兩次加密，第一次加密時(shí)信息中字節(jié)會(huì)等可能的變?yōu)?或1，且0，1之間轉(zhuǎn)換是相互獨(dú)立的，第二次加密時(shí)，字節(jié)中0或1發(fā)生變化的概率為，若，的初始狀態(tài)為0，1或1，0，記通過兩次加密后，中含有字節(jié)1的個(gè)數(shù)為.(1)若兩次加密后的，中字節(jié)1的個(gè)數(shù)為2，且，求，通過第一次加密后字節(jié)1的個(gè)數(shù)為2的概率；(2)若一條信息有種等可能的情況且各種情況互斥，記這些情況發(fā)生的概率分別為，則稱（其中為這條信息的信息熵，試求，經(jīng)過兩次加密后字節(jié)1的個(gè)數(shù)為的信息熵；(3)將一個(gè)字節(jié)為0的信息通過第二次加密，當(dāng)字節(jié)變?yōu)?時(shí)停止，否則重復(fù)第二次加密直至字節(jié)變?yōu)?，設(shè)停止加密時(shí)該字節(jié)第二次加密的次數(shù)為.證明：.

參考答案1．【答案】A【詳解】正八邊形中，任取2個(gè)頂點(diǎn)可以得到一條線段，則可以得到條線段，其中包括了正八邊形的8條邊，則正八邊形對(duì)角線的條數(shù)為條.故選A.2．【答案】C【詳解】由題得，令，所以，所以的展開式的第6項(xiàng)的系數(shù)是.故選C.3．【答案】B【詳解】從物理和歷史中任選1科，有種，然后從其他4科中任選2科，有種，共有種.故選B.4．【答案】C【詳解】由題設(shè)，，即，則，而，所以.故選C.5．【答案】B【詳解】由于球都相同，盒子不同，每個(gè)盒里至多放一個(gè)球，所以只要選出5個(gè)不同的盒子即可．故共有種不同的放法故選B.6．【答案】C【詳解】甲、乙二人從各自的10道題中各自獨(dú)立地隨機(jī)抽取2道題，不同的抽法共有（種），其中有且僅有2道代數(shù)題的抽法共有（種），所以甲、乙兩名同學(xué)抽取的4道題目中有且僅有2道代數(shù)題的概率為.故選C.7．【答案】D【詳解】因?yàn)槭请S機(jī)選擇一袋，所以選擇第一袋和第二袋的概率均為.第一袋中有名男生和名女生的報(bào)表，從10份報(bào)表中隨機(jī)抽取份的組合數(shù).從名男生中選名，從名女生中選名的組合數(shù)為.所以從第一袋中抽到一男一女報(bào)表的概率為.第二袋中有名男生和名女生的報(bào)表，從12份報(bào)表中隨機(jī)抽取份的組合數(shù)為.從名男生中選名，從名女生中選名的組合數(shù)為.所以從第二袋中抽到一男一女報(bào)表的概率為.設(shè)事件表示“恰好抽到男生和女生報(bào)表各份”，事件表示“選擇第一袋”，事件表示“選擇第二袋”.根據(jù)全概率公式，其中，，，可得：恰好抽到男生和女生報(bào)表各份的概率為.故選D.8．【答案】BCD.【詳解】根據(jù)范德蒙德恒等式，而不是.例如當(dāng)時(shí)，左邊，右邊，此時(shí)，A錯(cuò)誤.對(duì)于，這里當(dāng)時(shí)，根據(jù)范德蒙德恒等式，此時(shí)，，所以，B正確.對(duì)于，這里當(dāng)時(shí)，由范德蒙德恒等式，得，，所以，C正確.對(duì)于，可以看作（因?yàn)椋?，這里當(dāng)，時(shí)，根據(jù)范德蒙德恒等式，而，所以，D正確.故選BCD.9．【答案】ABD【詳解】根據(jù)二項(xiàng)式定理，展開式的通項(xiàng)為（）..要求的系數(shù)，在中，令，得，此時(shí)該項(xiàng)系數(shù)為；在中，令，得，此時(shí)該項(xiàng)系數(shù)為.所以，故A選項(xiàng)正確.令，得①；令，得②.①-②得，所以，故B選項(xiàng)正確.令，得，又因?yàn)?，所以，故C選項(xiàng)錯(cuò)誤.相當(dāng)于的各項(xiàng)系數(shù)和.令，則，故D選項(xiàng)正確.故選ABD.10．【答案】BCD【詳解】女性成員人數(shù)X的可能值為，則，對(duì)于A，，A錯(cuò)誤；對(duì)于B，，B正確；對(duì)于C，，C正確；對(duì)于D，，D正確.故選BCD.11．【答案】BD【詳解】①由題意，表示：若該題有兩個(gè)正確選項(xiàng)，則小明從兩個(gè)錯(cuò)誤選項(xiàng)中選擇1個(gè)；若該題有3個(gè)正確選項(xiàng)，則小明從1個(gè)錯(cuò)誤選項(xiàng)中選擇1個(gè)，則；表示：該題有3個(gè)正確選項(xiàng)，則小明從3個(gè)正確選項(xiàng)中選擇1個(gè)，則；表示：該題有2個(gè)正確選項(xiàng)，則小明從2個(gè)正確選項(xiàng)中選擇1個(gè)，則；②表示：若該題有兩個(gè)正確選項(xiàng)，則小明從兩個(gè)錯(cuò)誤選項(xiàng)中選擇1個(gè)，再?gòu)膬蓚€(gè)正確選項(xiàng)中選擇1個(gè)或選擇2個(gè)錯(cuò)誤選項(xiàng)；若該題有3個(gè)正確選項(xiàng)，則小明從1個(gè)錯(cuò)誤選項(xiàng)中選擇1個(gè)，再?gòu)?個(gè)正確選項(xiàng)中選一個(gè)，則；表示：該題有3個(gè)正確選項(xiàng)，則小明從3個(gè)正確選項(xiàng)中選擇2個(gè)，則；表示：該題有2個(gè)正確選項(xiàng)，則小明從2個(gè)正確選項(xiàng)中選擇2個(gè)，則；對(duì)于A選項(xiàng)，，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B選項(xiàng)，；；所以，B正確；對(duì)于C選項(xiàng)，，則，C錯(cuò)誤；對(duì)于D選項(xiàng)，，D正確.故選BD.12．【答案】【詳解】的展開式通項(xiàng)公式為，令，解得，故，所以展開式中常數(shù)項(xiàng)為.13．【答案】36【詳解】第一步：先將5名志愿者分成三組，每組人數(shù)為1，1，3或1，2，2；當(dāng)分為1，1，3時(shí)，且甲、乙要求去同一個(gè)場(chǎng)館，則甲、乙必須在3人組，因此只需從剩下的3人中任選一人，其余兩人各自一組，共有種分法；當(dāng)分為1，2，2時(shí)，且甲、乙要求去同一個(gè)場(chǎng)館，則將剩下的3人分成兩組即可，共有種分法；第二步：再將分好的三組人員分配到三個(gè)場(chǎng)館，共有種分配方案；因此共種.14．【答案】【詳解】記事件為每局比賽“甲獲勝”，記事件為每局比賽“乙獲勝”，記事件為甲運(yùn)動(dòng)員恰好在第4局比賽后贏得比賽，則事件包括事件兩種情況，則；每局比賽結(jié)果僅有“甲獲勝”和“乙獲勝”，即，由題意得的所有可能取值為，則，，.所以的分布列為245所以的期望，因?yàn)?，所以，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，所以，所以，故的最大值為.15．【答案】(1)144(2)108(3)287【詳解】（1）符合要求的四位奇數(shù)為：先排個(gè)位有種，再排千位有種，再排中間兩位共種，所以由分步計(jì)數(shù)原理，共有個(gè)；（2）符合要求的數(shù)可分為兩類：第一類：0在個(gè)位時(shí)有個(gè)；第二類：5在個(gè)位時(shí)有個(gè)；故滿足條件的四位數(shù)共有（個(gè)）.（3）符合要求的比1203大的四位數(shù)可分為四類：第一類：形如2，，，，共有個(gè)；第二類：形如，，，共有個(gè)；第三類：形如，共有個(gè)；第四類：形如123，共有個(gè)；第五類：形如，共有個(gè)，由分類加法計(jì)數(shù)原理知，無重復(fù)數(shù)字且比1203大的四位數(shù)共有（個(gè)）.16．【答案】（1）；（2）【詳解】（1）令，可得各項(xiàng)系數(shù)和為，展開式各項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之和為，由已知得，即，解得或（舍去），所以，故的展開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)為.（2）由題意可知，解得，故展開式的通項(xiàng)為，設(shè)第項(xiàng)的系數(shù)最大，則，，解得，因?yàn)?，所以，故展開式中的系數(shù)最大的項(xiàng)為.17．【答案】(1)分布列見解析，(2)【分析】（1）由題意知，取值可能為，分別求出對(duì)應(yīng)的概率，寫出分布列，再由數(shù)學(xué)期望公式即可.（2）由獨(dú)立事件乘法公式及互斥事件的概率即可求出結(jié)果.【詳解】（1）取值可能為，；；，所以的分布列為010．（2）由（1）可知在一局比賽中，乙獲得10分的概率為，乙獲得0分的概率為，乙獲得分的概率為．在3局比賽中，乙獲得30分的概率為；在3局比賽中，乙獲得20分的概率為；在3局比賽中，乙獲得10分的概率為，所以乙最終獲勝的概率為．18．【答案】(1)分布列見解析(2)①；②【詳解】（1）由題意得，的取值可以為，，.的分布列：60657075（2）①設(shè)事件：最后一名同學(xué)來自高一年級(jí)組；事件：高二年級(jí)組同學(xué)比高三年級(jí)組同學(xué)提前完成面試，則，，所以，所以最后一名同學(xué)來自高一年級(jí)組的條件下，高二年級(jí)組同學(xué)比高三年級(jí)組同學(xué)提前完成面試的概率為.②由題意得，，，所以，由得，，由得，，所以當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故當(dāng)取最大值時(shí)，.19．【答案】(1)(2)(3)證明見解析【詳解】（1）解：記事件為“通過第一次加密后字節(jié)1的個(gè)數(shù)為”，，事件為“通過第二次加密后字節(jié)1的個(gè)數(shù)為2”，則，，，則，故.（2）解：由題意知，隨機(jī)變量，由