山東省濰坊青州第一中學(xué)2024−2025學(xué)年高二下學(xué)期第二次月考 數(shù)學(xué)試題（含解析）

山東省濰坊青州第一中學(xué)2024?2025學(xué)年高二下學(xué)期第二次月考數(shù)學(xué)試題一、單選題（本大題共8小題）1．已知在等差數(shù)列中，,，則=（

）A．8 B．10 C．14 D．162．已知函數(shù)，則（

）A．1 B．0 C． D．3．已知函數(shù)，則（

）A． B． C． D．4．李老師教高二甲班和乙班兩個班的數(shù)學(xué)，這兩個班的人數(shù)相等．某次聯(lián)考中，這兩個班的數(shù)學(xué)成績均近似服從正態(tài)分布，其正態(tài)密度函數(shù)的圖象如圖所示，其中是正態(tài)分布的期望，是正態(tài)分布的標(biāo)準(zhǔn)差，且，，．關(guān)于這次數(shù)學(xué)考試成績，下列結(jié)論正確的是（

）A．甲班的平均分比乙班的平均分高B．相對于乙班，甲班學(xué)生的數(shù)學(xué)成績更分散C．甲班108分以上的人數(shù)約占該班總?cè)藬?shù)的D．乙班112分以上的人數(shù)與甲班108分以上的人數(shù)大致相等5．從1，2，3，4，5，6，7，8，9中不放回地依次取2個數(shù)，事件A為“第一次取到的是奇數(shù)”，B為“第二次取到的是3的整數(shù)倍”，則（

）A． B． C． D．6．某企業(yè)在今年年初貸款a萬元，年利率為，從今年年末開始每年償還一定金額，預(yù)計五年內(nèi)還清，則每年應(yīng)償還（

）A．萬元 B．萬元C．萬元 D．萬元7．等比數(shù)列共有項，其中，偶數(shù)項和為84，奇數(shù)項和為170，則（

）A．3 B．4 C．7 D．98．已知，，，則，，的大小關(guān)系為（

）A． B． C． D．二、多選題（本大題共3小題）9．下列說法正確的是（

）A．，越小，該正態(tài)分布對應(yīng)的正態(tài)密度曲線越扁平B．運用最小二乘法得到的線性回歸直線一定經(jīng)過樣本中心點C．相關(guān)系數(shù)越大，與相關(guān)的程度就越強D．利用進(jìn)行獨立性檢驗時，的值越大，說明有更大的把握認(rèn)為兩事件有關(guān)系10．設(shè)函數(shù)，則下列說法正確的是（

）A．B．C．在處的切線方程為D．11．若無窮數(shù)列，存在正整數(shù)，對任意，均有，則稱數(shù)列是弱增數(shù)列，下列說法正確的是（

）A．公差大于的等差數(shù)列一定是“弱增數(shù)列”B．公比大于的等比數(shù)列不一定是“弱增數(shù)列”C．若，則數(shù)列不是“弱增數(shù)列”D．若，則數(shù)列是“弱增數(shù)列”三、填空題（本大題共3小題）12．已知等差數(shù)列的前項和為，，則.13．浙江省高考實行“七選三”選科模式，賦予了學(xué)生充分的自由選擇權(quán)．甲、乙、丙三所學(xué)校分別有75%，60%，50%的學(xué)生選了物理，這三所學(xué)校的學(xué)生數(shù)之比為，現(xiàn)從這三所學(xué)校中隨機選取一個學(xué)生，則這個學(xué)生選了物理的概率為．14．若函數(shù)有兩個極值點，則實數(shù)a的取值范圍是．四、解答題（本大題共5小題）15．已知為等差數(shù)列，是等比數(shù)列，且.（1）求和的通項公式；（2）若，求的值.16．已知函數(shù)在處取得極小值5．(1)求實數(shù)a，b的值；(2)當(dāng)時，求函數(shù)的最小值．17．“摸獎游戲”是商場促銷最為常見的形式之一，某摸獎游戲的規(guī)則是：第一次在裝有紅色、白色球各兩個共4個球的A袋中隨機取出2個球；第二次在裝有紅色、白色、黑色球各一個共3個球的B袋中隨機取出1個球，兩次取球相互獨立，兩次取球合在一起稱為一次摸獎，取出的3個球的顏色與獲得的積分對應(yīng)如下表：所取球的情況三球均為紅色三球均不同色恰有兩球為紅色其他情況所獲得的積分10080600（1）求一次摸獎中，所取的三個球中恰有兩個是紅球的概率；（2）設(shè)一次摸獎中所獲得的積分為X，求X的數(shù)學(xué)期望；（3）某人摸獎三次，求至少有兩次獲得積分為60的概率．18．?dāng)?shù)列的前n項和為，且.(1)求數(shù)列的通項公式；(2)若數(shù)列滿足：，求數(shù)列的通項公式；(3)令，求數(shù)列的前n項和.19．已知函數(shù).(1)求的單調(diào)區(qū)間；(2)對任意的恒成立，求的值；(3)證明：.

參考答案1．【答案】D【詳解】設(shè)公差為，則，解得，所以.故選D.2．【答案】B【詳解】因為，所以，所以．故選B．3．【答案】B【詳解】，令可得解得，所以，所以，故選:B.4．【答案】D【分析】根據(jù)兩個班數(shù)學(xué)成績的正態(tài)曲線圖，易于判斷A,B兩項；對于C和D，需要根據(jù)圖中兩個班數(shù)學(xué)成績的期望和最大值分別求出和，再結(jié)合曲線圖的對稱性和三段區(qū)間的概率值計算對應(yīng)的概率值，比較后研判即得.【詳解】對于A，由圖知，即甲班的平均分比乙班的平均分低，故A錯誤；對于B，因甲班的曲線比乙班的曲線更“瘦高”，即，表示甲班的數(shù)學(xué)成績更集中，故B錯誤；對于C，甲班的最大值為，則，則,故C錯誤；對于D，乙班的最大值為，則，則，又這兩個班的人數(shù)相等，則乙班112分以上的人數(shù)與甲班108分以上的人數(shù)大致相等，故D正確.故選D.5．【答案】B【詳解】由題意事件為“第一次取到的是奇數(shù)且第二次取到的是3的整數(shù)倍”：若第一次取到的為3或9，第二次有2種情況；若第一次取到的為1，5，7，第二次有3種情況，故共有個事件由條件概率的定義：故選B6．【答案】B【詳解】設(shè)每年償還x萬元，則，所以，解得．故選B7．【答案】A【詳解】因為等比數(shù)列共有項，所以等比數(shù)列中偶數(shù)項有項，奇數(shù)項有項，由題意得，所以偶數(shù)項和為，奇數(shù)項和為，相減得故選A8．【答案】B【詳解】設(shè)，則，令，即，解得，當(dāng)時，，則函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)時，，則函數(shù)單調(diào)遞減，則時，有極大值，即最大值，又，，，所以，且，所以，綜上可得，，即.故選B9．【答案】BD【詳解】，越小，該正態(tài)分布對應(yīng)的正態(tài)密度曲線越瘦高，故A錯誤；線性回歸直線一定經(jīng)過樣本中心點，故B正確；相關(guān)系數(shù)越大，與相關(guān)的程度就越強，故C錯誤；利用進(jìn)行獨立性檢驗時，的值越大，說明有更大的把握認(rèn)為兩事件有關(guān)系，故D正確；故選BD10．【答案】ABC【詳解】由可得，對于A，，故A正確；對于B，，則，故B正確；對于C，切線的斜率為，由點斜式方程可得，化簡可得，故C正確；對于D，，則，故D錯誤；故選ABC11．【答案】ABD【詳解】對于A，設(shè)等差數(shù)列的公差為，所以，因為正整數(shù)，，所以，即，故A正確；對于B，設(shè)等比數(shù)列的公比為，所以，因為正整數(shù)，，所以，當(dāng)時，，即，故B正確；對于C，因為，所以，因為，，所以單調(diào)遞增，所以，當(dāng)時，恒成立，故C錯誤；對于D，因為,所以，因為，，所以當(dāng)時，，此時，即，故數(shù)列是“弱增數(shù)列”，D正確.故選ABD12．【答案】【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，且，則，所以，由可得，解得，則.13．【答案】【詳解】設(shè)：事件：這個學(xué)生來自甲學(xué)校；事件：這個學(xué)生來自乙學(xué)校；事件：這個學(xué)生來自丙學(xué)校；事件：甲學(xué)校學(xué)生選了物理；事件：乙學(xué)校學(xué)生選了物理；事件：丙學(xué)校學(xué)生選了物理；由題意知：這個學(xué)生選擇是物理的概率：.14．【答案】【詳解】令即又函數(shù)有兩個極值點，故方程有兩個零點，即有兩個零點，令則則當(dāng)時，單調(diào)遞減，當(dāng)時，單調(diào)遞增，故時，取極小值，也為最小值，又時，則有兩個零點時，a的取值范圍是15．【答案】（1），（2）【詳解】（1）設(shè)數(shù)列的公差為，數(shù)列的公比為.因為，所以，即，所以，所以，則，所以.（2）.16．【答案】(1)，(2)【分析】（1）由題意得到，，求出，，檢驗后得到答案；（2）求導(dǎo)，得到函數(shù)單調(diào)性，進(jìn)而得到極值和最值情況，得到答案.【詳解】（1），因為在處取極小值5，所以，得，此時所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增所以在時取極小值，符合題意所以，．又，所以．（2），所以列表如下：00,1122,33f001↗極大值6↘極小值5↗10由于，故時，．17．【答案】（1）.（2）.（3）.【詳解】（1）一次摸獎中，所取的三個球中恰有兩個是紅球的概率：.（2）由題意得，X的可能取值為100，80，60，0.，，，.所以X的分布列為：X10080600P則X的數(shù)學(xué)期望為：.（3）由二項分布的定義知，三次摸獎中獲得積分為60的次數(shù)，則，故所求概率為.18．【答案】(1)；(2)；(3).【詳解】（1）因為，所以當(dāng)時，，當(dāng)時，又也滿足上式，所以.又.（2）∵，①∴，②②－①得：，，故．（3），∴，令，①則②①－②得：，∴，∴．∴數(shù)列的前項和.19．【答案】(1)答案見解析；(2)；(3)證明見解析.【分析】（1）求定義域，求導(dǎo)，得到函數(shù)單調(diào)性；（2）變形為在上恒成立，構(gòu)造，求導(dǎo)，分，，和四種情況，得到；（3）由（2）知：當(dāng)時，有，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，從而得到，利用累加法得到，得到.【詳解】（1）的定義域為，當(dāng)時，令，得的單調(diào)遞增區(qū)間為；令，得的單調(diào)遞減區(qū)間為.當(dāng)時，令，得的單調(diào)遞增區(qū)間為；令，得的單調(diào)遞減區(qū)間為.（2）等價于，令，則不等式等價于，，當(dāng)，則在上單調(diào)遞減，，時不合題意；當(dāng)，令得，令得，故的遞增區(qū)間為，遞減區(qū)間為，若，，則