江蘇省淮安市高中校協(xié)作體2024−2025學(xué)年高二下學(xué)期期中聯(lián)考 數(shù)學(xué)試題（含解析）

江蘇省淮安市高中校協(xié)作體2024?2025學(xué)年高二下學(xué)期期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試題一、單選題1．如圖，在空間四邊形中，，，，且，，則等于（

）

A． B．C． D．2．設(shè)，則（）A．-2 B．-1 C．0 D．13．已知隨機(jī)變量，若，則（）A． B． C． D．4．已知空間向量，，，若向量共面，則實(shí)數(shù)的值為（

）.A．9 B．10 C．11 D．125．在某次無(wú)人機(jī)燈光表演秀中，有8架無(wú)人機(jī)排布成如下圖形式，已知每架無(wú)人機(jī)均可以發(fā)出紅、黃、藍(lán)3種顏色的光，編號(hào)1至5號(hào)的無(wú)人機(jī)顏色必須相同，編號(hào)7、8號(hào)的無(wú)人機(jī)顏色必須相同，編號(hào)6號(hào)的無(wú)人機(jī)與其他無(wú)人機(jī)顏色均不相同，則這8架無(wú)人機(jī)同時(shí)發(fā)光時(shí)，一共可以有（

）種燈光組合.A．18 B．15 C．12 D．96．關(guān)于空間向量，以下說(shuō)法正確的是（

）A．若空間向量，則在的投影向量為B．若空間向量，滿足，則與夾角為銳角C．若直線l的方向向量為，平面的一個(gè)法向量為，則D．若對(duì)空間中任意一點(diǎn)O，有，則P，A，B，C四點(diǎn)共面7．某學(xué)校安排甲、乙、丙、丁、戊五人一周7天的值班工作，每天只有1人值班，甲要求星期一、星期日不值班，且連續(xù)3天值班，其他人員每人值班1天，則不同的安排方法種數(shù)為（

）A．72 B．96 C．108 D．1568．已知一個(gè)盒子里有5個(gè)大小形狀完全相同的小球，其中2個(gè)紅球，3個(gè)黑球，現(xiàn)從中任取兩球，若已知一個(gè)是紅球，則另一個(gè)也是紅球的概率是（

）A． B． C． D．二、多選題9．已知A，B，C，D是空間直角坐標(biāo)系中的四點(diǎn)，P是空間中任意一點(diǎn)，則（

）A．若與關(guān)于平面對(duì)稱，則B．若，則A，B，C，D共面C．若，則A，B，C，D共面D．若三點(diǎn)共線，則10．下列等式正確的是（

）A． B．C． D．11．若小明坐公交上班的用時(shí)（單位：分鐘）和騎自行車上班的用時(shí)（單位：分鐘）分別滿足，且同一坐標(biāo)系中的密度曲線與的密度曲線在分鐘時(shí)相交，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．B．C．若的密度曲線與的密度曲線相交所對(duì)應(yīng)的另一個(gè)時(shí)間為，則D．若要在34分鐘內(nèi)上班不遲到，小明最好選擇坐公交三、填空題12．在正四面體中，點(diǎn)M在上，且，則異面直線與所成角的余弦值為13．甲、乙、丙、丁、戊、戌6名同學(xué)坐一排照相，若甲不坐在6個(gè)人的兩端，乙和丙相鄰，則不同的排列方式種數(shù)為14．已知兩個(gè)隨機(jī)事件，若，，，則.四、解答題15．2025年春節(jié)期間，全國(guó)各大影院熱映《哪吒之魔童鬧海》、《唐探1900》、《封神2》、《射雕英雄傳》4部?jī)?yōu)秀的影片．現(xiàn)有4名同學(xué)，每人選擇這4部影片中的1部現(xiàn)看．（1）如果這4名同學(xué)選擇觀看的影片均不相同，那么共有多少種不同的選擇方法？（2）如果這4名同學(xué)中的甲、乙2名同學(xué)分別選擇觀看影片《哪吒之魔童鬧?！?、《封神2》，那么共有多少種不同的選擇方法？（3）如果這4名同學(xué)中恰有2名同學(xué)選擇觀看同一部影片，那么共有多少種不同的選擇方法？16．如圖，圓柱中，是底面圓上的一條直徑，，分別是底面，圓周上的一點(diǎn)，，，且點(diǎn)不與，兩點(diǎn)重合.

（1）證明：平面平面；（2）若二面角為，求直線與平面所成角的正弦值.17．二項(xiàng)式展開式前三項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和為22.（1）求的值；（2）求展開式中各項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和；（3）求展開式中的常數(shù)項(xiàng)及二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng).18．為促進(jìn)山區(qū)扶貧事業(yè)的持續(xù)發(fā)展，某研究所為深入研究當(dāng)?shù)睾０我蛩貙?duì)某種古茶樹產(chǎn)茶量的影響，在山上和山下的試驗(yàn)田中分別種植了株和株古茶樹進(jìn)行對(duì)比試驗(yàn).現(xiàn)在從山上和山下的試驗(yàn)田中各隨機(jī)選取了4株作為樣本，每株采摘的茶葉量（單位：）如下表所示：編號(hào)位置①②③④山上5443山下4221（1）根據(jù)樣本數(shù)據(jù)，試估計(jì)山上試驗(yàn)田古茶樹產(chǎn)茶的總產(chǎn)量；（2）記山上與山下試驗(yàn)田古茶樹產(chǎn)茶量的方差分別為，根據(jù)樣本數(shù)據(jù)，估計(jì)與的大小關(guān)系（只需寫出結(jié)論）；（3）從樣本中的山上與山下古茶樹中各隨機(jī)選取1株，記這2株產(chǎn)茶量的總和為，求隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望.19．如圖，在四棱錐中，底面，，，，，，為棱的中點(diǎn)．（1）求證：平面；（2）求平面與平面夾角的余弦值；（3）求點(diǎn)P到平面的距離．

參考答案1．【答案】C【詳解】因?yàn)椋礊榈闹悬c(diǎn)，所以，因?yàn)?，所以?故選C.2．【答案】A【詳解】令易知，令可得，，所以.故選A.3．【答案】B【詳解】，解得，所以.故選B.4．【答案】B【詳解】因?yàn)橄蛄?，，共面，所以存在?shí)數(shù)，使得.則可得.由，可列出方程組.由可得，將其代入中，得到.去括號(hào)得，移項(xiàng)合并同類項(xiàng)得，解得.將代入，可得.將，代入，可得.故選B.5．【答案】C【詳解】若發(fā)出2種光，則有種；若發(fā)出3種光，則有種，則共有種.故選C6．【答案】D【詳解】對(duì)于A，在的投影向量與共線，則投影向量的橫坐標(biāo)為0，A錯(cuò)誤；對(duì)于B，當(dāng)夾角為0時(shí)，也滿足，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，，則，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，在中，，則P，A，B，C四點(diǎn)共面，D正確.故選D7．【答案】A【詳解】甲要求星期一、星期日不值班，且連續(xù)3天值班，則可以安排在（周二、周三、周四），（周三、周四、周五），（周四、周五、周六），共3種情況，剩下四個(gè)人進(jìn)行全排列，安排在剩下4天，有種情況，則有種不同的安排方法.故選A.8．【答案】C【詳解】設(shè)事件A表示：在所取的球中有一個(gè)是紅球，事件B表示：另一個(gè)也是紅球，則，，所以所求事件的概率.故選C.9．【答案】BD【詳解】對(duì)于A，A與B關(guān)于平面對(duì)稱，則，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，由共面向量定理易知得B正確；對(duì)于C，因?yàn)?，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，，因?yàn)锳，B，C共線，所以共線，所以，所以，故D正確．故選BD．10．【答案】BCD【詳解】對(duì)于A，，顯然，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，，故B正確；對(duì)于C，，故C正確；對(duì)于D，，故D正確．故選BCD.11．【答案】BD【詳解】由題意易知坐公交的方差比騎自行車的方差大，即的密度曲線較矮胖，的密度曲線更瘦高，則的密度曲線在38分鐘后在的密度曲線的上方，可在同一坐標(biāo)系中作出密度曲線，易知，故A錯(cuò)誤；由原則可知，故B正確；根據(jù)條件可知兩種方式相應(yīng)密度函數(shù)分別為：，，建立方程，整理可得，則，故C錯(cuò)誤；易知，故D正確.故選BD12．【答案】【詳解】設(shè)棱長(zhǎng)均為1,因?yàn)?，所以，所以，所?又.設(shè)異面直線與所成角為,則.13．【答案】144【詳解】乙和丙相鄰，那么乙和丙兩人之間的排列方式有種．甲不坐在個(gè)人的兩端，那么甲可選擇的位置有中間的個(gè)位置，所以甲的排法有種．此時(shí)相當(dāng)于將乙丙整體、甲以及丁、戊、戌進(jìn)行排列，已經(jīng)排好了甲，還剩下個(gè)位置，乙丙整體和丁、戊、戌全排列的方式有種．所以不同的排列方式種數(shù)為種．14．【答案】【詳解】由可得，故,15．【答案】（1）24（2）16（3）144【詳解】（1）因?yàn)檫@4名同學(xué)選擇觀看的影片均不相同，所以不同的選擇方法共有種；（2）因?yàn)榧?、?名同學(xué)選擇觀看的影片已確定，所以其余2人觀看影片的不同方法有種；（3）因?yàn)檫@4名同學(xué)中恰有2名同學(xué)選擇觀看同一部影片，所以不同的選擇方法有種.16．【答案】（1）證明過(guò)程見解析（2）【詳解】（1）因?yàn)槭堑酌鎴A上的一條直徑，所以⊥，因?yàn)椤偷酌鎴A，，所以⊥底面圓，因?yàn)榈酌鎴A，所以⊥，因?yàn)?，平面，所以⊥平面，因?yàn)槠矫?，所以平面⊥平面；?）因?yàn)椤偷酌鎴A，圓，所以⊥，⊥，所以為二面角的平面角，故，又，所以為等邊三角形，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，，設(shè)，故，，，，，設(shè)平面的法向量為，則，解得，令，得，故，設(shè)直線與平面所成角的大小為，則，

直線與平面所成角的正弦值為.17．【答案】（1）6（2）64（3）常數(shù)項(xiàng)為960，二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)為【詳解】（1）展開式前三項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和為22，或（舍），故的值為6.（2）展開式中各項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和為.（3）設(shè)展開式中常數(shù)項(xiàng)為第項(xiàng)，即，令，得，，由題可得，展開式中最大的二項(xiàng)式系數(shù)為，展開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)為第4項(xiàng)，即，綜上所述：常數(shù)項(xiàng)為，二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)為.18．【答案】（1）（2）（3）分布列見解析，【詳解】（1）由山上試驗(yàn)田4株古茶樹產(chǎn)茶量數(shù)據(jù)，得樣本平均數(shù)，則山上試驗(yàn)田株古茶樹產(chǎn)茶量估算為；（2）山上，山下試驗(yàn)田古茶樹產(chǎn)茶量平均數(shù)分別為4和，故方差，，故；（3）依題意，隨機(jī)變量可以取，隨機(jī)變量的分布列為987654隨機(jī)變量的期望.19．【答案】（1）證明見解析（2）（3）