湖北省部分省級(jí)示范高中2024-2025學(xué)年下學(xué)期高二期中測(cè)試 數(shù)學(xué)試卷（含解析）

湖北省部分省級(jí)示范高中2024~2025學(xué)年下學(xué)期高二期中測(cè)試數(shù)學(xué)試卷一、單選題（本大題共8小題）1．如果函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)為1，那么（

）A． B． C．1 D．2．等比數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，且，則（

）A． B． C． D．3．系統(tǒng)的登錄密碼由個(gè)字符組成，其中前位是大寫字母、、、的某種排列，后位是不相同的數(shù)字，則可能的密碼總數(shù)是多少（

）A． B． C． D．4．函數(shù)在上單調(diào)遞增的充要條件是（

）A． B． C． D．5．設(shè)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，則數(shù)列的前100項(xiàng)和是（

）A． B． C． D．6．已知，則曲線在處的切線與坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為（

）A． B． C． D．7．已知是定義在區(qū)間上的函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)為，且不等式恒成立，則下列結(jié)論正確的是（

）A． B． C． D．8．初等數(shù)論中的四平方和定理最早由歐拉提出，后被拉格朗日等數(shù)學(xué)家證明．四平方和定理的內(nèi)容是：任意正整數(shù)都可以表示為不超過(guò)四個(gè)自然數(shù)的平方和，例如正整數(shù)．設(shè)，其中均為自然數(shù)，則滿足條件的有序數(shù)組的個(gè)數(shù)是（

）A． B． C． D．二、多選題（本大題共3小題）9．下列函數(shù)求導(dǎo)運(yùn)算正確的是（

）A． B．C． D．10．2025年某影院在春節(jié)檔引入了5部電影，包含3部喜劇電影、2部動(dòng)畫電影．其中《哪吒之魔童鬧?！菲狈砍?50億，成為全球動(dòng)畫票房冠軍．該影院某天預(yù)留了一個(gè)影廳用于放映這5部電影，這5部電影當(dāng)天全部放映，則下列選項(xiàng)正確的是（

）A．《哪吒之魔童鬧?！凡慌旁诘?場(chǎng)，共有96種排法B．兩部動(dòng)畫片放映的先后順序固定（不一定相鄰），一定共有60種排法C．兩部動(dòng)畫片相鄰放映，共有48種排法D．3部喜劇電影不相鄰，共有24種排法11．煙花三月，鶯飛草長(zhǎng)，美麗的櫻花開(kāi)滿園.將櫻花抽象并按照一定的規(guī)律循環(huán)出下圖：圖①將櫻花抽象后，得櫻花數(shù)，圖②以櫻花五片花瓣為蕊作五個(gè)縮小版櫻花，得櫻花數(shù)，以此類推.假設(shè)第n個(gè)圖的櫻花數(shù)是，設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為.則下列說(shuō)法正確的是（

）A． B．C．?dāng)?shù)列是遞增數(shù)列 D．?dāng)?shù)列的前n項(xiàng)和為三、填空題（本大題共3小題）12．用數(shù)字、、、、組成的無(wú)重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)的個(gè)數(shù)為．（用數(shù)字作答）13．已知與分別是等差數(shù)列與等差數(shù)列的前n項(xiàng)和，且，則．14．已知定義在R上的偶函數(shù)滿足，且當(dāng)時(shí)，．若，則在點(diǎn)處的切線方程為．四、解答題（本大題共5小題）15．?dāng)?shù)列的前項(xiàng)和為，已知且．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）在數(shù)學(xué)中，常用符號(hào)“”表示一系列數(shù)的連乘，求集合中元素的個(gè)數(shù)．16．2025武漢馬拉松于3月23日鳴槍開(kāi)跑，4萬(wàn)名跑者踏上一條串聯(lián)歷史與詩(shī)意、自然與繁華的賽道，感受這座“每天不一樣”的城市的蓬勃心跳．本次賽事設(shè)置全程馬拉松、半程馬拉松和13公里跑3個(gè)項(xiàng)目，社會(huì)各界踴躍參加志愿服務(wù)，現(xiàn)有甲、乙等5名大學(xué)生志愿者擬安排在三個(gè)項(xiàng)目進(jìn)行志愿者活動(dòng)，求（1）若將這5人分配到三個(gè)比賽項(xiàng)目，每個(gè)比賽項(xiàng)目至少安排1人，有多少種不同的分配方案？（2）若全程馬拉松項(xiàng)目安排3人，其余兩項(xiàng)各安排1人，且甲乙不能安排在同一項(xiàng)目，則有多少種不同的分配方案？17．已知．（1）求函數(shù)的極值；（2）過(guò)點(diǎn)做曲線的切線l，求切線l的方程．18．等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，數(shù)列滿足（1）求數(shù)列和的通項(xiàng)公式；（2）若從數(shù)列中依次剔除與數(shù)列的公共項(xiàng)，剩下的項(xiàng)組成新的數(shù)列，求數(shù)列的前50項(xiàng)和．19．已知函數(shù)（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）若有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，求證：.

參考答案1．【答案】D【詳解】由題意可知，則.故選D2．【答案】B【詳解】因?yàn)榈缺葦?shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，且，由等比數(shù)列的性質(zhì)得，因此，.故選B.3．【答案】C【詳解】由題意可知，前個(gè)位置中有兩個(gè)位置安排字母，有種，然后從中選擇兩個(gè)不同的數(shù)字排最后兩個(gè)位置，有種，由分步乘法計(jì)數(shù)原理可知，可能的密碼種數(shù)為.故選C.4．【答案】A【詳解】由題意可得在上恒成立，即在上恒成立，令，則，令，則，當(dāng)時(shí)，，則函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，則函數(shù)單調(diào)遞減，所以時(shí)，有極大值，即最大值，，所以.故選A5．【答案】C【詳解】由可得其導(dǎo)函數(shù)為，又，可得，所以，所以，因此數(shù)列的前100項(xiàng)和為.故選C6．【答案】B【詳解】因?yàn)椋?，令，得到，解得，代回原函?shù)得到，而，故切點(diǎn)為，而，，設(shè)曲線在處的切線斜率為，由導(dǎo)數(shù)的幾何意義得，故切線方程為，化簡(jiǎn)得，令，得到，所以與軸交點(diǎn)為，令，得到，所以與軸交點(diǎn)為，且設(shè)三角形面積為，故，故B正確.故選B7．【答案】B【詳解】由可得，令函數(shù)，可得即在上單調(diào)遞減，因此可得，即，所以.故選B8．【答案】C【詳解】小于等于的自然數(shù)的平方有：，而，由構(gòu)成的有序數(shù)組的個(gè)數(shù)為：個(gè)；由構(gòu)成的有序數(shù)組的個(gè)數(shù)為：個(gè)；由構(gòu)成的有序數(shù)組的個(gè)數(shù)為：個(gè)；所以一共有：個(gè).故選C.9．【答案】AC【詳解】由基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式可知，A正確；，故B錯(cuò)誤；，故C正確；令，則，則，，則，故D錯(cuò)誤；故選AC10．【答案】ABC【詳解】對(duì)于A，先從剩下的四場(chǎng)中選一場(chǎng)排《哪吒之魔童鬧?！?，然后另外的4部電影全排列，則有種排法，故A正確；對(duì)于B，5部電影全排列有種排法，因?yàn)閮刹縿?dòng)畫片放映的先后順序固定，則有種排法，故B正確；對(duì)于C，先將兩部動(dòng)畫片捆綁，再與另外三部電影全排列，則有種排法，故C正確；對(duì)于D，先排兩部動(dòng)畫片，剛好形成3個(gè)空，將三部喜劇電影插入這3個(gè)空，則有種排法；故選ABC11．【答案】BCD【詳解】A，由題意可知，顯然，A錯(cuò)誤；B，由題意可得，則，也適合，故，所以，B正確；C，，則，當(dāng)時(shí)，，即，故數(shù)列是遞增數(shù)列，C正確；D，，故數(shù)列的前n項(xiàng)和為，D正確，故選BCD12．【答案】【詳解】首位不能排，有種選擇，然后在剩余個(gè)數(shù)字中選擇個(gè)排在剩余的三個(gè)數(shù)位上，因此，滿足條件的四位數(shù)的個(gè)數(shù)為個(gè).13．【答案】4【詳解】由題意知，由，所以.14．【答案】【詳解】因?yàn)椋?，即，令，有，所以，因?yàn)闉榕己瘮?shù)，所以，由，令得，所以，因?yàn)闉榕己瘮?shù)，所以，所以在點(diǎn)處的切線方程為，即.15．【答案】（1）（2）【詳解】（1）因?yàn)?，即，?dāng)時(shí)，可得，則，當(dāng)時(shí)，由可得，上述兩個(gè)等式作差可得，整理可得且，所以，數(shù)列為首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，故.（2）由題可知：所以集合故集合中元素的個(gè)數(shù)為.16．【答案】（1）150（2）14【詳解】（1）將5個(gè)人分成3組，且每組至少1人，有兩種分法，若為1，1，3，則有種分組方式，再將分好的組進(jìn)行分配，則不同的分配方案有共有種；若為1，2，2，則有種分組方式，再將分好的組進(jìn)行分配，則不同的分配方案有共有種，所以由分類加法計(jì)數(shù)原理可知，共有種不同的分配方案.（2）先從5人中選3人安排到全程馬拉松項(xiàng)目，有種方法，然后剩下2人安排到其余兩個(gè)項(xiàng)目，每個(gè)項(xiàng)目安排1人，有種，則共有種分配方案，若甲乙兩人在同一個(gè)項(xiàng)目，則甲乙只能安排到全程馬拉松項(xiàng)目，則剩下的3人每個(gè)項(xiàng)目安排1人即可，有種分配方案，最后共有種分配方案.17．【答案】（1）答案見(jiàn)解析（2）【詳解】（1）函數(shù)定義域?yàn)?，，?dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞增，此時(shí)無(wú)極值；當(dāng)時(shí)，令，則，則在上單調(diào)遞增；令，則，則在上單調(diào)遞減；此時(shí)的極小值為，無(wú)極大值.綜合上述，當(dāng)時(shí)，無(wú)極值；當(dāng)時(shí)，的極小值為，無(wú)極大值.（2）設(shè)直線與曲線的切點(diǎn)坐標(biāo)為，由（1）知，則在點(diǎn)處的切線斜率為，故切線方程為，①將點(diǎn)代入得解得.代回①得切線方程為.18．【答案】（1），（2）4231【詳解】（1）因數(shù)列是等差數(shù)列，則，得，又，所以，所以等差數(shù)列的公差，則，因，則當(dāng)時(shí)，，

兩式作差得，即，令，得，則，滿足上式，則，綜上，數(shù)列的通項(xiàng)公式為，數(shù)列的通項(xiàng)公式為.（2）由（1）可得，，且，經(jīng)驗(yàn)證數(shù)列前50項(xiàng)中與數(shù)列的公共項(xiàng)共有4項(xiàng)，分別為，從而數(shù)列中去掉的是這4項(xiàng)，所以.19．【答案】（1）函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；（2）證明見(jiàn)解析.【詳解】（1）函數(shù)的定義域?yàn)?，?duì)函數(shù)求導(dǎo)得，令，可得，此時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞減，令，可得，此時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增