河南省名校聯(lián)盟2024−2025年高二下學(xué)期階段性檢測(cè)（三） 數(shù)學(xué)試題（含解析）

河南省名校聯(lián)盟2024?2025年高二下學(xué)期階段性檢測(cè)（三）數(shù)學(xué)試題一、單選題（本大題共8小題）1．已知點(diǎn)是空間直角坐標(biāo)系中的一點(diǎn)，則點(diǎn)關(guān)于平面對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為（

）A． B． C． D．2．函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是（

）A． B． C． D．3．若直線的方向向量為，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則直線的方程為（

）A． B． C． D．4．與圓關(guān)于直線對(duì)稱的圓的方程是（

）A． B．C． D．5．已知等差數(shù)列的首項(xiàng)為，若從第11項(xiàng)起比1大，則其公差的取值范圍是（

）A． B． C． D．6．已知是從點(diǎn)出發(fā)的三條射線，若，則直線與平面所成角的正弦值是（

）A． B． C． D．7．已知，則（

）A． B． C． D．8．已知偶函數(shù)的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線，其導(dǎo)函數(shù)為，且當(dāng)時(shí)，，則不等式的解集為（

）A． B．C． D．二、多選題（本大題共3小題）9．已知雙曲線的實(shí)軸長(zhǎng)是虛軸長(zhǎng)的3倍，則（

）A． B．的漸近線方程是C．的焦距為 D．的離心率為10．設(shè)等差數(shù)列的公差為為其前項(xiàng)和，若，則（

）A． B．C．與是的最大值 D．使成立的的最小值為1711．已知函數(shù)，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．在區(qū)間上單調(diào)遞減B．當(dāng)時(shí)，C．當(dāng)時(shí)，D．若，則過(guò)點(diǎn)可作圖象的兩條切線三、填空題（本大題共3小題）12．曲線在點(diǎn)處的切線與坐標(biāo)軸圍成的封閉圖形的面積為13．已知拋物線的準(zhǔn)線為直線，為拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)到軸的距離為，為圓上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)到的距離為，則的最小值為14．已知是遞增的整數(shù)數(shù)列，若，，則正整數(shù)的最大值為四、解答題（本大題共5小題）15．已知函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且在處取得極值．（1）求的值；（2）證明：．16．已知公比大于1的等比數(shù)列滿足．（1）求的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)為的前項(xiàng)和，，求的前項(xiàng)和．17．如圖，正方體的棱長(zhǎng)為為棱上一點(diǎn)．（1）證明：；（2）若直線與平面所成角的正弦值為，求點(diǎn)到平面的距離．18．已知函數(shù)．（1）求曲線在點(diǎn)處的切線方程；（2）討論的單調(diào)性；（3）若，且當(dāng)時(shí)，恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．19．已知是拋物線上一點(diǎn)，以點(diǎn)為圓心，2為半徑的圓過(guò)的焦點(diǎn)．按如下方式依次構(gòu)造點(diǎn)：過(guò)點(diǎn)作斜率為的直線與交于另一點(diǎn)，點(diǎn)為關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)．（1）求的方程；（2）令，證明是等差數(shù)列，并求其通項(xiàng)公式；（3）設(shè)是的面積，求證：．

參考答案1．【答案】A【詳解】點(diǎn)關(guān)于平面對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為.故選A2．【答案】B【詳解】.故選B.3．【答案】A【詳解】因?yàn)橹本€的方向向量為，所以直線的斜率，所以直線方程為，化簡(jiǎn)可得.故選A4．【答案】D【詳解】由圓有，設(shè)圓關(guān)于直線對(duì)稱的圓為，則有，所以圓關(guān)于直線對(duì)稱的圓為，故選D.5．【答案】C【詳解】依題意，，由從第11項(xiàng)起比1大，得，即，解得，所以公差的取值范圍是.故選C6．【答案】B【詳解】過(guò)點(diǎn)作平面于，在平面內(nèi)過(guò)作，垂足分別為，連接，則為直線與平面所成的角，，平面，則平面，又平面，則，同理，由，得，又，因此四邊形為正方形，，，所以直線與平面所成角的正弦值.故選B7．【答案】D【詳解】對(duì)于A，由，得，A錯(cuò)誤；對(duì)于B，取，則，則，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，取，則，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，令函數(shù)，求導(dǎo)得，函數(shù)在上遞增，由，得，即，D正確.故選D8．【答案】D【詳解】設(shè)，對(duì)求導(dǎo)，可得：已知當(dāng)時(shí)，，所以當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞增.因?yàn)槭桥己瘮?shù)，即，那么，所以也是偶函數(shù).已知，則，由是偶函數(shù)可得.不等式兩邊同時(shí)乘以可得，即.因?yàn)?，所?又因?yàn)槭桥己瘮?shù)且在上單調(diào)遞增，所以.即或.解得或.同時(shí)要注意，即.綜上，不等式的解集為.故選D.9．【答案】ABD【詳解】對(duì)于A，由雙曲線的實(shí)軸長(zhǎng)是虛軸長(zhǎng)的3倍，得，解得，A正確；對(duì)于B，雙曲線的漸近線方程是，B正確；對(duì)于C，的焦距為，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，的離心率為，D正確.故選ABD10．【答案】AC【詳解】對(duì)于A，由，得，，A正確；對(duì)于B，，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，由選項(xiàng)A知，數(shù)列是遞減等差數(shù)列，前8項(xiàng)都為正，第9項(xiàng)為0，從第10項(xiàng)起為負(fù)，因此與是的最大值，C正確；對(duì)于D，，D錯(cuò)誤.故選AC11．【答案】ACD【詳解】函數(shù)的定義域?yàn)椋髮?dǎo)得，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，對(duì)于A，，則在區(qū)間上單調(diào)遞減，A正確；對(duì)于B，當(dāng)時(shí)，，，，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增，，，當(dāng)從大于0的方向趨近于0時(shí)，趨近于0，因此，C正確；對(duì)于D，當(dāng)時(shí)，設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為，則，而，切線方程為，而切線過(guò)點(diǎn)，則，整理得，令，求導(dǎo)得，令，求導(dǎo)得，令，求導(dǎo)得，則函數(shù)在上單調(diào)遞增，，，于是存在使得，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，則函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，而，則存在使得，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)或時(shí)，，函數(shù)在上遞減，在上遞增，，，而，，即，函數(shù)在有唯一零點(diǎn)，函數(shù)在有唯一零點(diǎn)，因此過(guò)點(diǎn)可作圖象的兩條切線，D正確.故選ACD12．【答案】/0.25【詳解】所以，∴曲線在點(diǎn)處的切線斜率，∴切線方程：，切線與坐標(biāo)軸交點(diǎn)為，∴封閉圖形的面積：.13．【答案】【詳解】由準(zhǔn)線方程，則，∴，圓的圓心，半徑，∴，由拋物線的定義可知，∴，當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，最小，即，又∵，∴當(dāng)共線時(shí)，取最小值，即.14．【答案】55【詳解】要求滿足的的最大值，那么，且是公差為的等差數(shù)列，通項(xiàng)，則，則，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，不滿足題意．當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，滿足題意．綜上，的最大值為55．15．【答案】（1）.（2）證明見(jiàn)解析.【詳解】（1）由題，，即：且，解得：，經(jīng)檢驗(yàn)，此時(shí)在處取得極小值，故：.（2）令，令，解得，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，所以，所以，故，得證.16．【答案】（1）；（2）.【詳解】（1）設(shè)等比數(shù)列的公比為，由，得，則有，所以的通項(xiàng)公式為.（2）由（1）知，，，所以.17．【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）【詳解】（1）在正方體中，，又平面，平面，所以，又，平面，所以平面，又平面，所以.（2）由題知，以所在直線，分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，設(shè)，則，所以，，，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，可得，取，則，令直線與平面所成角為，則，解得或（舍去），所以，，又，所以點(diǎn)到平面的距離為.18．【答案】（1）；（2）答案見(jiàn)解析；（3）.【詳解】（1）函數(shù)，求導(dǎo)得，則，而，所以所求切線方程為，即.（2）函數(shù)的定義域?yàn)?，求?dǎo)得，當(dāng)時(shí)，恒成立，函數(shù)在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，由，得；由，得，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.（3）當(dāng)時(shí)，，不等式，令函數(shù)，依題意，，恒成立，求導(dǎo)得，令，求導(dǎo)得，函數(shù)在上單調(diào)遞增，而，則存在，使，即，此時(shí)，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，因此，由，得，則，，所以的取值范圍是.19．【答案】（1）（