河南省開封市五校2024−2025學(xué)年高二下學(xué)期4月期中考試 數(shù)學(xué)試題（含解析）

河南省開封市五校2024?2025學(xué)年高二下學(xué)期4月期中考試數(shù)學(xué)試題一、單選題（本大題共8小題）1．在填寫高考志愿表時，一名高中畢業(yè)生了解到A，B兩所大學(xué)分別有7，8個自己感興趣的專業(yè)，若這名同學(xué)只能從這些專業(yè)中選擇1個，則他不同的選擇種數(shù)為（

）A．56 B．15 C．28 D．302．函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)等于（

）A．2 B．1 C． D．3．據(jù)報道，從2024年7月16日起，“高原版”復(fù)興號動車組將上線新成昆鐵路和達(dá)成鐵路，“高原版”復(fù)興號動車組涂裝用的是高耐性油漆，可適應(yīng)高海拔低溫環(huán)境．“高原版”復(fù)興號動車組列車全長236.7米，由9輛編組構(gòu)成，設(shè)有6個商務(wù)座、28個一等座、642個二等座，最高運行時速達(dá)160千米，全列定額載客676人．假設(shè)“高原版”復(fù)興號動車開出站一段時間內(nèi)，速度與行駛時間的關(guān)系為，則當(dāng)時，“高原版”復(fù)興號動車的加速度為（

）A． B． C． D．4．中國體育代表團(tuán)在2024年巴黎奧運會獲得40金27銀24銅共91枚獎牌，金牌數(shù)與美國隊并列排名第一?創(chuàng)造了參加境外奧運會的最佳戰(zhàn)績.巴黎奧運會中國內(nèi)地奧運健兒代表團(tuán)于8月29日至9月2日訪問香港?澳門.訪問期間，甲?乙?丙3名代表團(tuán)團(tuán)員與4名青少年站成一排拍照留念，若甲?乙?丙互不相鄰，則不同的排法有（

）A．2880種 B．1440種 C．720種 D．360種5．函數(shù)的極小值點為（

）A． B． C．0 D．16．某5位同學(xué)排成一排準(zhǔn)備照相時，又來了2位同學(xué)要加入，如果保持原來5位同學(xué)的相對順序不變，則不同的加入方法種數(shù)為（

）A．21 B．30 C．42 D．607．已知函數(shù)存在單調(diào)遞增區(qū)間，則實數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．8．將7名身高不同的學(xué)生從左往右排成一列，記第名學(xué)生的身高為，當(dāng)時，由于學(xué)生的身高變化像字母，所以也叫“數(shù)列”，則滿足條件的“數(shù)列”共有（

）A．61個 B．65個 C．68個 D．71個二、多選題（本大題共3小題）9．已知，則滿足不等式的的值為（

）A．3 B．4 C．5 D．610．已知，則（

）A． B．C． D．11．已知是函數(shù)的極值點，則（

）A．有3個零點B．當(dāng)時，C．曲線關(guān)于點對稱D．過點與曲線相切的直線有2條三、填空題（本大題共3小題）12．已知，則．13．某班組織一次認(rèn)識大自然的活動，有6名同學(xué)參加，其中有3名男生，3名女生，現(xiàn)要從這6名同學(xué)中隨機(jī)抽取3名同學(xué)去采集自然標(biāo)本，則抽取的3名同學(xué)中既有男生又有女生的抽取方法共有種．14．設(shè)為函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的圖象上一點，為函數(shù)的圖象上一點，當(dāng)關(guān)于直線對稱時，稱是一組對稱點．若恰有3組對稱點，則的取值范圍是．四、解答題（本大題共5小題）15．已知函數(shù)．（1）求曲線在點處切線的方程；（2）求函數(shù)的極值．16．在的二項展開式中，所有項的二項式系數(shù)之和為64.（1）求展開式中的常數(shù)項；（2）求展開式中二項式系數(shù)最大的項.17．已知等差數(shù)列滿足成等比數(shù)列．（1）求數(shù)列的通項公式；（2）若，求數(shù)列的前項和．18．已知橢圓的兩個焦點坐標(biāo)分別為、，且橢圓經(jīng)過點．（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）已知圓，過圓上任意一點作圓的切線，若與橢圓交于、兩點，求的面積的最大值．19．已知函數(shù)（為自然對數(shù)的底數(shù)，），函數(shù)的極值點為0．(1)求的值；(2)證明：對；(3)已知數(shù)列的前項和，證明：．

參考答案1．【答案】B【詳解】不同的選擇種數(shù)為.故選B.2．【答案】A【詳解】函數(shù)，求導(dǎo)得，所以.故選A3．【答案】B【詳解】因為，所以，故當(dāng)時，，即時，“高原版”復(fù)興號動車的加速度為，故選B4．【答案】B【詳解】第一步先排4名青少年共有種排法，第二步把甲?乙?丙插在4名青少年中間有種排法，所以根據(jù)分步乘法計數(shù)原理共有種排法，故選B.5．【答案】C【詳解】，由，得，由，得，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以的極小值點為0．故選C6．【答案】C【詳解】7位同學(xué)排成一排準(zhǔn)備照相時，共有種排法，如果保持原來5位同學(xué)的相對順序不變，則有種排法.故選C7．【答案】C【詳解】易知的定義域為，又，由題意可知在上有解，即在上有解，可得，所以．故選C．8．【答案】D【詳解】記這7名學(xué)生的身高由低到高分別為數(shù)字1，2，3，4，5，6，7，因為都比大，所以只能為，或.當(dāng)時，有種選法，剩余數(shù)字中的最大值作為，所以有種選法，剩下一個數(shù)作為，共有個“數(shù)列”；當(dāng)時，有種選法，剩余數(shù)字中的最大值作為，剩余兩個數(shù)排，有種選法，共有個“數(shù)列”；當(dāng)時，，從4，5，6，7中選2個數(shù)作為有種選法，剩余2個數(shù)為，共有6個“數(shù)列”.綜上所述，滿足條件的“數(shù)列”共有個.故選D.9．【答案】AB【詳解】因為，所以，即，又，所以或4.故選AB.10．【答案】AD【詳解】對于A選項，令，得，故A正確；對于B選項，令，得，故B錯誤；對于C選項，令，得，故C錯誤；對于D選項，將，兩式相加，得，即，故D正確.故選AD11．【答案】CD【詳解】，則，解得，則，當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以的極小值為，極大值為，所以有1個零點，A錯誤；由，得，所以，又在上單調(diào)遞增，所以，故B錯誤；因為，所以曲線關(guān)于點對稱，C正確；設(shè)過點的直線與曲線相切于點，所以切線方程，將點代入切線方程為，整理得，即，解得，或，過點的直線與曲線相切于點或，因此過點與曲線相切的直線有2條，D正確．故選CD．12．【答案】【詳解】由，得，所以，解得．13．【答案】18【詳解】抽取的3名同學(xué)中既有男生又有女生包含2種情況：1名男生，2名女生；2名男生，1名女生.所以滿足要求的抽取方法共有（種）.14．【答案】【詳解】，設(shè)，則，所以，，所以，因為與的圖象若恰有3組對稱點，所以有三組解，可得即有三個解，令，即函數(shù)與的圖象有3個不同的交點，，當(dāng)時，，單調(diào)遞增，當(dāng)時，，單調(diào)遞減，當(dāng)時，，單調(diào)遞減，所以，，所以.15．【答案】（1）（2）極小值為，極大值為13【詳解】（1）由，得，因為，所以，所以曲線在點處切線的方程為，即．（2）令，得或，當(dāng)變化時，的變化情況如下表：300單調(diào)遞減極小值單調(diào)遞增極大值單調(diào)遞減又，所以函數(shù)的極小值為，極大值為13．16．【答案】（1）（2）【詳解】（1）由題意可得，解得，所以該二項式為，則通項公式為：．令，解得，所以該二項式的展開式中的常數(shù)項為．（2）因為，易知：展開式第四項二項式系數(shù)最大，即,所以展開式中二項式系數(shù)最大的項.17．【答案】（1）（2）【詳解】（1）因為數(shù)列為等差數(shù)列，則，即，又因為成等比數(shù)列，則，聯(lián)立方程，解得或，且，則，可知公差，所以數(shù)列的通項公式.（2）由（1）可得：，所以.18．【答案】（1）（2）【詳解】（1）設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，由題意可得，解得，因此，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）當(dāng)切線的斜率不存在時，易知點的坐標(biāo)為或，若點的坐標(biāo)為時，則直線的方程為，聯(lián)立可得，不妨取點、，此時，；當(dāng)切線的斜率存在時，設(shè)直線的方程為，設(shè)點、，易知圓的圓心為原點，半徑為，因為直線與圓相切，則，可得，聯(lián)立可得，，由韋達(dá)定理可得，，，當(dāng)且僅當(dāng)時，即當(dāng)時，等號成立，此時，，且，因此，面積的最大值為.19．【答案】(1)(2)證明見詳解(3)證明見詳解【詳解】（1）由，得，因為函數(shù)的極值點為0，所以，解得．若，當(dāng)時，單調(diào)遞減；當(dāng)時