廣東省江門市新會(huì)區(qū)第一中學(xué)2024−2025學(xué)年高二下學(xué)期期中考試 數(shù)學(xué)試題（含解析）

廣東省江門市新會(huì)區(qū)第一中學(xué)2024?2025學(xué)年高二下學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題一、單選題（本大題共8小題）1．在如圖所示的電路（規(guī)定只能閉合其中一個(gè)開(kāi)關(guān)）中，接通電源使燈泡發(fā)光的方法有（

）種.

A．4 B．5 C．6 D．82．曲線在點(diǎn)處的切線的方程為（

）A． B．C． D．3．下列選項(xiàng)正確的是（） B．C． D．4．?dāng)?shù)列是等比數(shù)列，，，則（

）A． B． C． D．15．已知一個(gè)等差數(shù)列的項(xiàng)數(shù)為奇數(shù)，其中所有奇數(shù)項(xiàng)的和為290，所有偶數(shù)項(xiàng)的和為261.則此數(shù)列的項(xiàng)數(shù)為（

）A．15 B．17 C．19 D．216．已知函數(shù)在上單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．7．如圖是瑞典數(shù)學(xué)家科赫在1904年構(gòu)造的能夠描述雪花形狀的圖案，圖形的作法是：從一個(gè)正三角形開(kāi)始，把每條邊分成三等份，然后以各邊的中間一段為底邊分別向外作正三角形，再去掉底邊．反復(fù)進(jìn)行這一過(guò)程，就得到一條“雪花”狀的曲線，設(shè)原正三角形（圖①）的邊長(zhǎng)為2，把圖①，圖②，圖③，圖④中圖形的周長(zhǎng)依次記為，則（

）A． B． C． D．8．定義在的函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，已知且，則下列結(jié)論正確的是（

）A．在單調(diào)遞增 B．在單調(diào)遞減C．在上有極小值 D．在上有極大值二、多選題（本大題共3小題）9．若數(shù)列為等差數(shù)列，為前n項(xiàng)和，，，，下列說(shuō)法中正確的有（

）A． B．C．和均為的最大值 D．10．已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的圖象如圖所示，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．函數(shù)的圖象在的切線的斜率為0B．函數(shù)在上單調(diào)遞減C．是函數(shù)的極小值點(diǎn)D．是函數(shù)的極大值11．已知函數(shù)，則（

）A．在區(qū)間上單調(diào)遞增B．極大值點(diǎn)僅有一個(gè)C．無(wú)最大值，有最小值D．當(dāng)時(shí)，關(guān)于的方程共有3個(gè)實(shí)根三、填空題（本大題共3小題）12．函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為.13．有個(gè)不同的正因數(shù).14．在數(shù)列中，，，且對(duì)任意的，都有，則的通項(xiàng)公式為；若，則數(shù)列的前項(xiàng)和.四、解答題（本大題共5小題）15．兩個(gè)數(shù)列，，，已知數(shù)列為等比數(shù)列且，數(shù)列的前項(xiàng)和為，又滿足.(1)求數(shù)列，的通項(xiàng)公式；(2)記，求數(shù)列的前項(xiàng)和.16．已知函數(shù)在處有極值2.(1)求，的值：(2)求函數(shù)在區(qū)間上的最大值.17．已知函數(shù).(1)討論的單調(diào)性；(2)當(dāng)時(shí)，，討論的零點(diǎn)個(gè)數(shù).18．已知數(shù)列的首項(xiàng)，且滿足.(1)設(shè)，求證：數(shù)列為等比數(shù)列；(2)設(shè)數(shù)列前n項(xiàng)和為，求；(3)若，求滿足條件的最大整數(shù).19．已知函數(shù)．(1)當(dāng)時(shí)，證明：；(2)證明：．

參考答案1．【答案】B【詳解】接通電源使燈泡發(fā)光的方案可分為兩類：第一類，閉合中的一個(gè)開(kāi)關(guān)，共2種方法；第二類，閉合中的一個(gè)開(kāi)關(guān)，共3種方法.根據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理可知.故選B.2．【答案】C【詳解】∵，∴，，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義可知曲線在處的切線的斜率，所以曲線在點(diǎn)處的切線方程為，即.故選C.3．【答案】C【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A，故A錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)B，，故B錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)C，，故C正確；對(duì)于選項(xiàng)D，，故D錯(cuò)誤；故選C.4．【答案】A【解析】分析出，再結(jié)合等比中項(xiàng)的性質(zhì)可求得的值.【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為，則，由等比中項(xiàng)的性質(zhì)可得，因此，.故選A.5．【答案】C【詳解】設(shè)等差數(shù)列的項(xiàng)數(shù)為，設(shè)所有的奇數(shù)項(xiàng)和為，則，設(shè)所有的偶數(shù)項(xiàng)和為，則，由，解得，項(xiàng)數(shù).故選C.6．【答案】B【詳解】函數(shù)，求導(dǎo)得，由函數(shù)在上單調(diào)遞減，得，，則，，而恒成立，因此，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.故選B.7．【答案】A【詳解】觀察圖形知，各個(gè)圖形的周長(zhǎng)依次排成一列構(gòu)成數(shù)列，從第二個(gè)圖形開(kāi)始，每一個(gè)圖形的邊數(shù)是相鄰前一個(gè)圖形的4倍，邊長(zhǎng)是相鄰前一個(gè)圖形的，因此從第二個(gè)圖形開(kāi)始，每一個(gè)圖形的周長(zhǎng)是相鄰前一個(gè)圖形周長(zhǎng)的，即有，因此數(shù)列是首項(xiàng)，公比為的等比數(shù)列，故，則.故選A.8．【答案】C【詳解】令，則，即且為常數(shù)，又，則，故，所以，則，當(dāng)時(shí)，即在上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，即在上單調(diào)遞增，所以處取極小值.故選C.9．【答案】AC【詳解】，則，，則，因此，且，故A正確，B錯(cuò)誤；而且均為的最大值，故C正確；，故，故D錯(cuò)誤.故選AC.10．【答案】AD【詳解】由圖可知，所以函數(shù)的圖象在的切線的斜率為0，故A正確；由圖可知時(shí)，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，故B錯(cuò)誤；由圖可知時(shí)，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，不是函數(shù)的極小值點(diǎn)，故C錯(cuò)誤；由C選項(xiàng)可知函數(shù)在上單調(diào)遞增，由圖可知時(shí)，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，故是函數(shù)的極大值點(diǎn)，是函數(shù)的極大值，故D正確．故選AD.11．【答案】BC【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，，則，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞減，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B選項(xiàng)，由A選項(xiàng)知，函數(shù)在上有一個(gè)極大值點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，，則，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)有極小值點(diǎn)，無(wú)極大值點(diǎn)，綜上所述，函數(shù)僅有1個(gè)極大值點(diǎn)，故B正確；對(duì)于C選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以，函數(shù)的最小值為，函數(shù)無(wú)最大值，故C正確；對(duì)于D選項(xiàng)，如下圖所示：

由圖可知，當(dāng)時(shí)，關(guān)于的方程共有4個(gè)實(shí)根，故D錯(cuò)誤.故選BC.12．【答案】和【詳解】，令解得或從而的單調(diào)遞增區(qū)間為和13．【答案】【詳解】，它的正因數(shù)即為的冪的乘積，因此正因數(shù)個(gè)數(shù)為.14．【答案】【詳解】因?yàn)?，，所?因?yàn)椋裕?，則有，所以，所以是以4為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列.所以，所以，又，所以是以1為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列，所以，所以.由題意可得，則的奇數(shù)項(xiàng)為以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列；偶數(shù)項(xiàng)是以為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列.所以當(dāng)為偶數(shù)，且時(shí)，；當(dāng)為奇數(shù)，且時(shí)，為偶數(shù)，.時(shí)，，滿足.所以，當(dāng)為奇數(shù)，且時(shí)，有.綜上，.15．【答案】(1)，(2)【詳解】（1）因?yàn)閿?shù)列為等比數(shù)列，設(shè)數(shù)列的公比為，又，，所以，解得，所以，又?jǐn)?shù)列的前項(xiàng)和為①，當(dāng)時(shí)，②，由①②得到，又，，所以，則，滿足，所以.（2）由（1）知，所以.16．【答案】(1)(2)2【詳解】（1）因?yàn)楹瘮?shù)在處有極值，且，所以，解得，故.（2）由（1）得：，，又，令，得，令，得，故在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增故的最大值是或，而，，故函數(shù)的最大值是2.17．【答案】(1)答案見(jiàn)解析(2)答案見(jiàn)解析【詳解】（1）的定義域?yàn)镽，.若，令，得或，令，得；若，令，得或，令，得.綜上，當(dāng)時(shí)，在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.（2）當(dāng)時(shí)，，令，則，令，則.當(dāng)和時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增.所以的極小值為，的極大值為，畫出函數(shù)的大致圖象，如圖，由圖可知，當(dāng)或時(shí)，函數(shù)有1個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)或時(shí)，函數(shù)有2個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，函數(shù)有3個(gè)零點(diǎn).18．【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)(3)【詳解】（1）由題意，數(shù)列滿足，可得，所以，又，所以，則為常數(shù)，所以數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列.（2）由（1）知數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，所以.（3）由（1）知，所以，設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，則，若，即，令，則，所以數(shù)列為遞增數(shù)列，又，，所以滿足的最大整數(shù)的值為.19．【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)證明見(jiàn)解析【詳解】（1）要證，只需證，故令，則恒成立，即在上單調(diào)遞增，故，