廣東省廣州市天河外國(guó)語(yǔ)學(xué)校2024−2025學(xué)年高二下學(xué)期期中考試 數(shù)學(xué)試卷（含解析）

廣東省廣州市天河外國(guó)語(yǔ)學(xué)校2024?2025學(xué)年高二下學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試卷一、單選題（本大題共8小題）1．已知的展開(kāi)式中第2項(xiàng)，第3項(xiàng)，第4項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)成等差數(shù)列，則（）A．5 B．6 C．7 D．82．甲?乙兩人向同一目標(biāo)各射擊1次，已知甲命中目標(biāo)的概率為，乙命中目標(biāo)的概率為，已知目標(biāo)至少被命中1次，則甲命中目標(biāo)的概率為（

）A． B． C． D．3．已知函數(shù)，為的導(dǎo)函數(shù)，則的大致圖象是（

）A． B． C． D．4．已知函數(shù)在區(qū)間上不單調(diào)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（

）A． B． C． D．5．中國(guó)是世界上最早發(fā)明雨傘的國(guó)家，傘是中國(guó)勞動(dòng)人民一個(gè)重要的創(chuàng)造．如圖所示的雨傘，其傘面被傘骨分成個(gè)區(qū)域，每個(gè)區(qū)域分別印有數(shù)字，，，，現(xiàn)準(zhǔn)備給該傘面的每個(gè)區(qū)域涂色，要求每個(gè)區(qū)域涂一種顏色，相鄰兩個(gè)區(qū)域所涂顏色不能相同，對(duì)稱(chēng)的兩個(gè)區(qū)域如區(qū)域與區(qū)域所涂顏色相同．若有種不同顏色的顏料可供選擇，則不同的涂色方案有（

）A．種 B．種C．種 D．種6．在等比數(shù)列中，是函數(shù)的兩個(gè)極值點(diǎn)，若，則的值為（

）A．3 B． C． D．97．定義：兩個(gè)正整數(shù)a，b，若它們除以正整數(shù)m所得的余數(shù)相等，則稱(chēng)a，b對(duì)于模m同余，記作，比如：．已知：，滿足，則p可以是（

）A．26 B．31 C．32 D．378．已知實(shí)數(shù)a，b，，且，，，則（

）A． B．C． D．二、多選題（本大題共3小題）9．一個(gè)袋子里裝有3個(gè)紅球，7個(gè)黃球，每次隨機(jī)的摸出一個(gè)球，摸出的球不再放回則下列說(shuō)法正確的是（

）A．第二次摸出紅球的概率為B．第一次摸出黃球的條件下，第二次摸出紅球的概率為C．第一次摸出黃球且第二次摸出紅球的概率為D．已知第二次摸出紅球，則第一次摸出黃球的概率為10．已知函數(shù)和的定義域?yàn)镽，為偶函數(shù)，，下列說(shuō)法正確的是（

）A．函數(shù)關(guān)于對(duì)稱(chēng) B．C．關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng) D．11．下列不等式中，所有正確的是（

）A． B． C． D．三、填空題（本大題共3小題）12．記者要為5名志愿者和他們幫助的2位老人拍照，要求排成一排，2位老人相鄰但不排在兩端，不同的排法共有種.13．已知函數(shù)的定義域?yàn)?，?duì)任意，有，則不等式的解集是．14．計(jì)算機(jī)是20世紀(jì)最偉大的發(fā)明之一，計(jì)算機(jī)在進(jìn)行計(jì)算和信息處理時(shí)，使用的是二進(jìn)制．若將一個(gè)十進(jìn)制數(shù)表示為，其中，則其二進(jìn)制為，例如：自然數(shù)1在二進(jìn)制中就表示為，2表示為，3表示為，4表示為，7表示為．記為中0的個(gè)數(shù)，如，則；從1到127這些自然數(shù)的二進(jìn)制表示中的自然數(shù)有個(gè)．四、解答題（本大題共5小題）15．甲?乙?丙等6名同學(xué)利用周末到社區(qū)進(jìn)行志愿服務(wù).(1)6名同學(xué)站成一排，若甲?乙?丙自左向右從高到矮排列，則不同的排列方案有多少種？(2)6名同學(xué)站成一排，甲?乙兩名同學(xué)之間恰有2人的不同排列方案有多少種？(3)6名同學(xué)分成三組（每組至少有一人），進(jìn)行三項(xiàng)不同的社區(qū)服務(wù)，則不同的分配方案有多少種？16．設(shè).(1)求；(2)若是，，，，中唯一的最大值，求的值；(3)若，求.17．廣告公司為某游樂(lè)場(chǎng)設(shè)計(jì)某項(xiàng)設(shè)施的宣傳畫(huà)，根據(jù)該設(shè)施的外觀，設(shè)計(jì)成的平面圖由半徑為的扇形和三角區(qū)域構(gòu)成，其中在一條直線上，，記該設(shè)施平面圖的面積為，，其中．(1)寫(xiě)出關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式；(2)如何設(shè)計(jì)，使得有最大值？18．給出定義：設(shè)是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，若方程有實(shí)數(shù)解，則稱(chēng)為函數(shù)的.“固點(diǎn)”.經(jīng)研究發(fā)現(xiàn)所有的三次函數(shù)都有“固點(diǎn)”，且該“固點(diǎn)”也是函數(shù)的圖象的對(duì)稱(chēng)中心.根據(jù)以上信息和相關(guān)知識(shí)回答下列問(wèn)題：已知函數(shù).(1)當(dāng)時(shí)，試求的對(duì)稱(chēng)中心.(2)討論的單調(diào)性；(3)當(dāng)時(shí)，有三個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，當(dāng)取得最大值時(shí)，求的值.19．已知函數(shù)，其中.(1)當(dāng)時(shí)，求函數(shù)在點(diǎn)上的切線方程.（其中e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）(2)已知關(guān)于x的方程有兩個(gè)不相等的正實(shí)根，，且.（?。┣髮?shí)數(shù)a的取值范圍；（ⅱ）設(shè)k為大于1的常數(shù)，當(dāng)a變化時(shí)，若有最小值，求k的值.

參考答案1．【答案】C【詳解】已知的展開(kāi)式中第2項(xiàng)，第3項(xiàng)，第4項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)為，依題意成等差數(shù)列，故，得到：，化簡(jiǎn)得，即：，解得：或（舍去）故選C.2．【答案】C【詳解】設(shè)事件目標(biāo)至少被命中1次，事件甲命中目標(biāo)．則，，所以．故選C．3．【答案】B【詳解】因?yàn)榈亩x域?yàn)?，且，，又，所以為奇函?shù)，函數(shù)圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，故排除A、D；又，故排除C.故選B.4．【答案】C【詳解】由，①當(dāng)時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增，不合題意；②當(dāng)時(shí)，函數(shù)的極值點(diǎn)為，若函數(shù)在區(qū)間不單調(diào)，必有，解得.故選C.5．【答案】B【詳解】由題意可得，只需確定區(qū)域，，，的顏色，即可確定整個(gè)傘面的涂色．先涂區(qū)域，有種選擇，再涂區(qū)域，有種選擇，當(dāng)區(qū)域與區(qū)域涂的顏色不同時(shí)，區(qū)域有種選擇，剩下的區(qū)域有種選擇；當(dāng)區(qū)域與區(qū)域涂的顏色相同時(shí)，剩下的區(qū)域有種選擇，故不同的涂色方案有種．故選B．6．【答案】D【分析】由等比數(shù)列下標(biāo)和性質(zhì)及求出，再根據(jù)函數(shù)存在極值點(diǎn)條件求解即可．【詳解】因?yàn)閍n為等比數(shù)列，，所以，解得或（不合題意，舍去），所以，，令，即，由題意得，是方程的兩個(gè)相異正根，則，，符合題意，故選D．7．【答案】D【詳解】因?yàn)?，而，因此除以的余?shù)為除以的余數(shù)2，而26，31，32除以7的余數(shù)分別為5，3，4，不符合題意，37除以7的余數(shù)為2，即D滿足.故選D.8．【答案】A【詳解】構(gòu)造函數(shù)

，，顯然時(shí)，，即時(shí)是單調(diào)遞增的，當(dāng)時(shí)，是單調(diào)遞減的，故的最大值是，當(dāng)時(shí)的值域是，由題意，對(duì)于，，，，對(duì)于，即，∵，，∴必然存在，使得

，由于，，即，由于是單調(diào)遞增的，，對(duì)于，即，同理，，，由于，，即，；故選A.9．【答案】ABD【詳解】對(duì)于A、第二次摸出紅球分兩種情況：第一次摸出黃球，第二次摸出紅球，其概率為第一次摸出紅球，第二次摸出紅球，其概率為，可得第二次摸出紅球的概率為：，所以選項(xiàng)A正確；對(duì)于B、設(shè)“第一次摸出黃球”為事件A，“第二次摸出紅球”為事件，由選項(xiàng)A的分析可知，，根據(jù)條件概率公式，所以選項(xiàng)B正確；對(duì)于C、由選項(xiàng)A可知，第一次摸出黃球且第二次摸出紅球的概率為，所以選項(xiàng)C錯(cuò)誤；對(duì)于D、設(shè)第一摸出黃球求事件，第二次摸出紅球?yàn)槭录?，由前面的?jì)算可得，由條件概率公式，所以選項(xiàng)D正確.故選ABD.10．【答案】ABD【詳解】因?yàn)?，所以關(guān)于對(duì)稱(chēng)，則，則關(guān)于對(duì)稱(chēng)，A正確；為偶函數(shù)，所以，故，所以為奇函數(shù)，由可得，周期為4，，B正確；，，則，,故關(guān)于對(duì)稱(chēng)，C錯(cuò)誤；，周期為4．的周期也為4，,，D正確．故選ABD．11．【答案】BCD【詳解】對(duì)A，令，，，，則在上恒成立，則，即，故A錯(cuò)誤；對(duì)B，，而，則，而，則成立，故B正確；對(duì)C，設(shè)，，則，再令，則，，則在上恒成立，則在上單調(diào)遞減，則，則在上恒成立，則在上單調(diào)遞減，因?yàn)椋瑒t，則成立，故C正確；對(duì)D，根據(jù)余弦函數(shù)單調(diào)性知，故D正確.故選BCD.12．【答案】960【詳解】5名志愿者再進(jìn)行全排列有種，再排2位老人，有種排法，所以共有種.13．【答案】【詳解】函數(shù)的定義域?yàn)?，?duì)任意，有，令，，則，所以在上單調(diào)遞增，不等式，即，即，所以，解得，所以不等式的解集是.14．【答案】035【詳解】因?yàn)?，所以；?dāng)時(shí)，有1個(gè)，當(dāng)時(shí)，有個(gè)，當(dāng)時(shí)，有個(gè)，當(dāng)時(shí)，有個(gè)，當(dāng)時(shí)，有個(gè)，則一共個(gè)，所以從1到127這些自然數(shù)的二進(jìn)制表示中的自然數(shù)有35個(gè)．15．【答案】(1)120(2)144(3)540【詳解】（1）先將6人全排列有種，考慮到甲、乙、丙三人排列有種，所以甲?乙?丙自左向右從高到矮排列時(shí)，不同的排法有種；（2）從除甲、乙以外的4人中任取2人排在甲、乙之間，與甲、乙組成一個(gè)整體，再與余下2個(gè)人全排列，則有種排列方案；（3）由題可得學(xué)生的分配方案可以有：①；②；③；①名學(xué)生按分為三個(gè)組有種方法，則人分配到三所學(xué)校共有種分配方法；②名學(xué)生按分為三個(gè)組有種分法，則人分配到三項(xiàng)不同的社區(qū)一社區(qū)人、一社區(qū)人、一社區(qū)人共有分配方法；③名學(xué)生平均分配到三項(xiàng)不同的社區(qū)有種方法；則人分配到三項(xiàng)不同的社區(qū)每個(gè)社區(qū)至少一人一共有：種方法.16．【答案】(1)(2)17，18，19.(3)【詳解】（1）令，可得；令，可得；所以.（2）由題意知的展開(kāi)式的通項(xiàng)為，，所以，.因?yàn)槭侵形ㄒ坏淖畲笾?，可得，即，解得，又因?yàn)椋缘娜≈禐?7，18，19.（3）由題意可得：，所以，，則.17．【答案】(1)(2)【詳解】（1）由已知可得，在△中由正弦定理可得：，所以，從而，所以，.（2），由令增區(qū)間是；令減區(qū)間是；所以在處取得最大值是．答：設(shè)計(jì)成時(shí)，該設(shè)施的平面圖面積最大是．18．【答案】(1)(2)答案見(jiàn)解析(3)【詳解】（1），，，令，，，故的對(duì)稱(chēng)中心為.（2），令，則，，當(dāng)時(shí)，，恒成立，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，在，上，，函數(shù)在，上單調(diào)遞增，在上，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，在，上，，函數(shù)在，上單調(diào)遞增，在上，，函數(shù)在上單調(diào)遞減.綜上所述：當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.（3），，令，，，所以對(duì)稱(chēng)中心為，當(dāng)和時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減；；，要使得有三個(gè)解，故，，且，，是方程的根，由于對(duì)稱(chēng)性，為了簡(jiǎn)化研究，只研究的情況，，根據(jù)常數(shù)項(xiàng)知：，根據(jù)對(duì)稱(chēng)性知：，，且，故，即，.當(dāng)時(shí)，取得最大值，此時(shí).19．【答案】(1)(2)（?。?；（ⅱ）.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，所以，所以，又，所以函數(shù)在點(diǎn)上的切線方程為，即；（2）（?。┘?，則有，，設(shè)，，則，令，得，令，得，令，得，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，又x趨向于0時(shí)，趨向負(fù)無(wú)窮，x趨向于正無(wú)窮大時(shí)，無(wú)限趨向0，且，函數(shù)的圖象如下：由題意，方程有兩個(gè)不相等的正實(shí)根，即方程有兩個(gè)不相等的正實(shí)根，所以函數(shù)的圖象與直線有兩個(gè)交點(diǎn)，由圖知，，故實(shí)數(shù)a的取值范圍為；（ⅱ）因?yàn)?，?/p>