廣東省東莞市石龍中學(xué)2024−2025學(xué)年高二下學(xué)期第一次月考 數(shù)學(xué)試題（含解析）

廣東省東莞市石龍中學(xué)2024?2025學(xué)年高二下學(xué)期第一次月考數(shù)學(xué)試題一、單選題（本大題共8小題）1．設(shè)函數(shù)是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，若，則（

）A． B． C． D．2．已知函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)的圖象如圖所示，則（

）

A．有2個(gè)極值點(diǎn) B．在處取得極小值C．有極大值，沒(méi)有極小值 D．在上單調(diào)遞減3．甲、乙等5人去聽(tīng)同時(shí)舉行的4個(gè)講座，每人可自由選擇聽(tīng)其中一個(gè)講座，則恰好只有甲、乙兩人聽(tīng)同一個(gè)講座，其他人聽(tīng)的講座互不相同的種數(shù)為（

）A．12 B．16 C．18 D．244．已知函數(shù)，則單調(diào)遞增區(qū)間是（

）A． B．C． D．5．若一個(gè)三位數(shù)的各位數(shù)字中，有且僅有兩個(gè)數(shù)字一樣，我們就把這樣的三位數(shù)定義為“單重?cái)?shù)”.例如：232，114等，則不超過(guò)200的“單重?cái)?shù)”中，從小到大排列第25個(gè)“單重?cái)?shù)”是（

）A．166 B．171 C．181 D．1886．函數(shù)在處的切線與直線垂直，則（）A． B． C． D．7．已知函數(shù)在上無(wú)極值，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．8．已知兩條曲線與恰好存在兩個(gè)公共點(diǎn)，則的取值范圍為（）A． B． C． D．二、多選題（本大題共3小題）9．如圖，是可導(dǎo)函數(shù)，直線l：是曲線在處的切線，令，其中是的導(dǎo)函數(shù)，則(

)A． B． C． D．10．已知函數(shù)，為的導(dǎo)函數(shù)，則（）A．曲線在處的切線方程為B．在區(qū)間上單調(diào)遞增C．在區(qū)間上有極小值D．在區(qū)間上有兩個(gè)零點(diǎn)11．設(shè)，則（

）A．B．C．D．若表示正數(shù)的整數(shù)部分，則三、填空題（本大題共3小題）12．已知函數(shù)，則．13．某校開(kāi)設(shè)了門體育類課程和門科技類課程，學(xué)生從這門課中最多選修門，且至少選修門體育類課程，則不同的選課方案有種．（用數(shù)字作答）14．已知函數(shù)，若方程有三個(gè)不同的實(shí)數(shù)根且，則的取值范圍是.四、解答題（本大題共5小題）15．已知函數(shù)在處有極值2.(1)求，的值：(2)求函數(shù)在區(qū)間上的最大值.16．已知的展開(kāi)式中，第項(xiàng)與第項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之比是.（1）求展開(kāi)式中各項(xiàng)系數(shù)的和；（2）求展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)；（3）求展開(kāi)式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng).17．某分公司經(jīng)銷某種品牌產(chǎn)品，每件產(chǎn)品的成本為3元，并且每件產(chǎn)品需向總公司交a元()的管理費(fèi)，預(yù)計(jì)當(dāng)每件產(chǎn)品的售價(jià)為x元()時(shí)，一年的銷售量為萬(wàn)件．(1)求分公司一年的利潤(rùn)L(萬(wàn)元)與每件產(chǎn)品的售價(jià)x的函數(shù)關(guān)系式(并寫(xiě)出函數(shù)的定義域)；(2)當(dāng)每件產(chǎn)品的售價(jià)為多少元時(shí)，分公司一年的利潤(rùn)L最大，并求出L的最大值Q(a)．18．已知函數(shù)．(1)當(dāng)時(shí)，證明函數(shù)在單調(diào)遞增；(2)若函數(shù)在有極值，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；(3)若函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線方程為，求函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)．19．設(shè).(1)若，求函數(shù)的圖象在處的切線方程；(2)若在上恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；(3)若函數(shù)存在兩個(gè)極值點(diǎn)，求證：.

參考答案1．【答案】B【詳解】因?yàn)?，所以，所以，故選B.2．【答案】C【詳解】由導(dǎo)函數(shù)的圖象可知，當(dāng)時(shí)，，僅時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以函數(shù)只有一個(gè)極值大點(diǎn)，無(wú)極小值點(diǎn)，所以有極大值，沒(méi)有極小值，故ABD錯(cuò)誤，C正確.故選C.3．【答案】D【詳解】甲乙兩人聽(tīng)同一個(gè)講座，方法數(shù)有種，其他人聽(tīng)不同的講座，方法數(shù)有種，所以恰好只有甲、乙兩人聽(tīng)同一個(gè)講座的種數(shù)為種.故選D.4．【答案】B【分析】求出函數(shù)的定義域與導(dǎo)函數(shù)，再解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式即可.【詳解】函數(shù)的定義域?yàn)榍?，令，解得，所以單調(diào)遞增區(qū)間是.故選B.【思路導(dǎo)引】利用常用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)對(duì)求導(dǎo)，并令，再結(jié)合函數(shù)本身的定義域，即可計(jì)算出單調(diào)遞增區(qū)間是.5．【答案】D【詳解】在符合條件的三位數(shù)中，有兩個(gè)1且1在百位的有個(gè).1在首位但不是重復(fù)數(shù)字的有100，122，133，144，155，166，177，188，199，共9個(gè)，則200以內(nèi)的“單重?cái)?shù)”有18+9=27個(gè)，其中最大的為199，其次為191，188,則從小到大排列第25個(gè)“單重?cái)?shù)”是188.故選D.6．【答案】B【詳解】函數(shù)，求導(dǎo)得，在處的切線斜率為，又在處的切線與直線垂直，所以，解得.故選B.7．【答案】D【詳解】，則，故，因?yàn)楹瘮?shù)在上無(wú)極值，所以在上恒成立，即在上恒成立，當(dāng)時(shí)，，設(shè)，則，當(dāng)時(shí)，得，當(dāng)時(shí)，得，則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，從而，故，當(dāng)時(shí)，，則．綜上，．故選．8．【答案】A【詳解】由題可知恰有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，即恰有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)解.令，則，又，所以在上單調(diào)遞增，所以函數(shù)的值域?yàn)椋郧∮袃蓚€(gè)不同的實(shí)數(shù)解.所以函數(shù)與函數(shù)的圖象有且僅有兩個(gè)交點(diǎn)，設(shè)，則，令，解得，在上單調(diào)遞增，令，解得，在單調(diào)遞減，且，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，作出函數(shù)和的大致圖象如圖，由圖象可知，當(dāng)時(shí)，恰有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，即的取值范圍為.故選A.9．【答案】ACD【詳解】由圖可知，f(3)＝1，故A正確；(3，1)在y＝kx＋2上，故1＝3k＋2，故，故B錯(cuò)誤；，則，故C正確；，，故D正確.故選ACD.10．【答案】BC【詳解】依題意，，對(duì)于A，，，所求切線方程為，A錯(cuò)誤；對(duì)于B，當(dāng)時(shí)，，在區(qū)間上單調(diào)遞增，B正確；對(duì)于C，在上都單調(diào)遞增，則函數(shù)在上單調(diào)遞增，，，則存在唯一，使得，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，因此在處取得極小值，C正確；對(duì)于D，由選項(xiàng)C知，在上有唯一零點(diǎn)，又，當(dāng)時(shí)，，即，，因此在區(qū)間上有1零點(diǎn)，D錯(cuò)誤.故選BC.11．【答案】ACD【詳解】對(duì)于A，令，可得，故A正確；對(duì)于B，令，可得，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，令，可得，所以，所以，所以，故C正確；對(duì)于D，所以，故D正確；故選ACD.12．【答案】6【詳解】因，由可得，故.13．【答案】【詳解】學(xué)生從這門課中最多選修門且至少選修門課程的選法有，學(xué)生從這門課中最多選修門至少選門，且所選課程都為科技類課程的選法選法有，所以滿足條件的選法有（種）.14．【答案】【詳解】方程有三個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，即直線與函數(shù)的圖象有3個(gè)交點(diǎn)，則當(dāng)時(shí)，直線與射線有一個(gè)交點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，直線與函數(shù)有2個(gè)交點(diǎn)，在同一坐標(biāo)系內(nèi)作出函數(shù)的圖象及直線，如圖，令直線與圖象相切的切點(diǎn)為，由求導(dǎo)得：，則，解得，即直線與圖象相切時(shí)，，因此當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，直線與函數(shù)的圖象有3個(gè)交點(diǎn)，由，解得，由，得，即，因此，函數(shù)在上遞減，當(dāng)時(shí)，，所以的取值范圍是.15．【答案】(1)(2)2【詳解】（1）因?yàn)楹瘮?shù)在處有極值，且，所以，解得，故.（2）由（1）得：，，又，令，得，令，得，故在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增故的最大值是或，而，，故函數(shù)的最大值是2.16．【答案】（1）1;（2）180;（3）.【詳解】解：（1）由題意知，，即

，求得，故令，可得展開(kāi)式中各項(xiàng)系數(shù)的和為．（2）由于二項(xiàng)式的通項(xiàng)公式為，令，求得，故展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)為．（3）要使二項(xiàng)式系數(shù)最大，只要最大，故，故二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)為第6項(xiàng)．17．【答案】(1)(2)答案見(jiàn)解析【詳解】（1）分公司一年的利潤(rùn)（萬(wàn)元）與售價(jià)的函數(shù)關(guān)系式為：．（2）．令得或（不合題意，舍去）．，．在兩側(cè)的值由正變負(fù)．所以當(dāng)即時(shí)，．當(dāng)即時(shí)，，所以答：若，則當(dāng)每件售價(jià)為9元時(shí)，分公司一年的利潤(rùn)最大，最大值（萬(wàn)元）；若，則當(dāng)每件售價(jià)為元時(shí)，分公司一年的利潤(rùn)最大，最大值（萬(wàn)元）．18．【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)(3)1個(gè)【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，由，可得，因，則，又因?yàn)?，則，所以函數(shù)在單調(diào)遞增；（2），因?yàn)楹瘮?shù)在有極值，所以在有變號(hào)的根，又因?yàn)樵趩握{(diào)遞增，則，即，所以，解得，故實(shí)數(shù)a的取值范圍為；（3）因?yàn)楹瘮?shù)在點(diǎn)處的切線方程為，所以，且，解得．故則，當(dāng)時(shí)，，即在單調(diào)遞增，因，所以在沒(méi)有零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，，即在沒(méi)有零點(diǎn)．綜上所述，函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為1個(gè)．19．【答案】(1)；(2)；(3)證明見(jiàn)解析.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，則，則，又，則切線方程為，即；（2），令，則，當(dāng)時(shí)，有，故在上單調(diào)遞增，即在上單調(diào)遞增，則，當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞增，有，滿足要求；當(dāng)時(shí)，則，又，則