2025屆四川省成都市高三第二次診斷性檢測數(shù)學試題（解析版）

高級中學名校試題PAGEPAGE1四川省成都市2025屆高三第二次診斷性檢測數(shù)學試題一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一個選項符合題目要求.1.若，則（）A.B.C. D.【答案】A【解析】.故選：A2.已知集合，則（）A. B.C. D.【答案】B【解析】依題意，集合，對于AB，，A錯誤，B正確；對于CD，，CD錯誤.故選：B3.居民消費價格指數(shù)（ConsumerPriceIndex，簡稱CPI），是度量一定時期內(nèi)居民消費商品和服務價格水平總體變動情況的相對數(shù)，綜合反映居民消費商品和服務價格水平的變動趨勢和變動程度.下圖是2024年11月9日國家統(tǒng)計局公布的2024年10月各類商品及服務價格同比和環(huán)比漲跌幅情況（同比，環(huán)比），下列結(jié)論正確的是（）A.2024年10月份食品煙酒類價格低于2023年10月份食品煙酒類價格B.2024年10月份教育文化娛樂類價格低于2024年9月份教育文化娛樂類價格C.2024年9月份醫(yī)療保健類價格高于2023年10月份醫(yī)療保健類價格D.2024年9月份居住類價格高于2023年10月份居住類價格【答案】C【解析】對于A，由題可知，2024年10月份食品煙酒類價格同比漲幅為，所以2024年10月份食品煙酒類價格高于2023年10月份食品煙酒類價格，故A錯誤；對于B，由圖可知，2024年10月份教育文化娛樂類價格環(huán)比漲幅為，所以2024年10月份教育文化娛樂類價格高于2024年9月份教育文化娛樂類價格，故B錯誤；對于C，2024年10月份醫(yī)療保健類價格環(huán)比漲幅為，即2024年10月份醫(yī)療保健類價格等于2024年9月份醫(yī)療保健類價格，又2024年10月份醫(yī)療保健類價格同比漲幅為，所以2024年10月份醫(yī)療保健類價格高于2023年10月份醫(yī)療保健類價格，故C正確；對于D，2024年10月份居住類價格環(huán)比漲幅為，即2024年10月份居住類價格等于2024年9月份居住類價格，又2024年10月份居住類價格同比漲幅為，所以2024年10月份居住類價格低于2023年10月份居住類價格，故D錯誤.故選：C.4.已知兩個非零向量滿足，則向量在向量上的投影向量為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由，則，化簡得，所以在向量上的投影向量為.故選：C.5.袋中有5個除顏色外完全相同的小球，其中3個紅球，2個白球.從袋中不放回地依次隨機取出2個球，則這2個球顏色相同的概率為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】從袋中不放回地依次隨機取出2個球的試驗有個基本事件，取出的2個球顏色相同的事件有個基本事件，所以這2個球顏色相同的概率為.故選：D6.在天文學中，天體的明暗程度可以用星等或亮度來描述.以織女星的亮度為標準，天體的星等與亮度滿足，已知北極星的星等為2，牛郎星的星等為0.8，則北極星與牛郎星的亮度之比為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】令北極星與牛郎星的亮度分別為，依題意，，兩式相減得，解得.故選：D7.已知雙曲線右焦點為，若關(guān)于直線的對稱點在上，則雙曲線的離心率為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】設(shè)，因為關(guān)于直線的對稱點為，所以解得因為點在上，所以或（舍），故選：A8.若函數(shù)有極值，則的取值范圍為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】由，，則，令，，則，當時，恒成立，則，即函數(shù)在上單調(diào)遞增，此時函數(shù)無極值，不符合題意；當時，令，得，當時，，則，得函數(shù)在上單調(diào)遞減，又時，；時，，所以存在，使得，則函數(shù)存在極值；當時，，則時，；時，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，則，設(shè)，，則，當時，；當時，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，又，且時，，則時，，此時函數(shù)無極值，不符合題意；當時，，且時，；時，，此時函數(shù)存在極值.綜上所述，的取值范圍為.故選：A.二?多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.已知函數(shù)，則（）A.的最小正周期為B.的圖象關(guān)于直線對稱C.在上單調(diào)遞減D.在上有2個零點【答案】ACD【解析】對于A，函數(shù)的最小正周期為，A正確；對于B，因，即的圖象關(guān)于直線不對稱，B錯誤；對于C，當時，，因正弦函數(shù)在上單調(diào)遞減，故在上單調(diào)遞減，C正確；對于D，當時，，由，得或，解得或，即在上有2個零點，D正確.故選：ACD10.已知數(shù)列的通項公式，前項和為，則（）A.數(shù)列為等差數(shù)列B.，使得C.當時，取得最小值D.數(shù)列的最大項的值為【答案】ABD【解析】對于A，由，得，，數(shù)列為等差數(shù)列，A正確；對于B，，，顯然，B正確；對于C，，當時，數(shù)列單調(diào)遞減，，，當時，數(shù)列單調(diào)遞減，，，C錯誤；對于D，，因，當時，取最小值，當或時，，且當或時，取最小值3，所以數(shù)列的最大項的值為，D正確.故選：ABD.11.如圖，在直棱柱中，，是中點.過作與平面平行的平面，若平面平面，則（）A.四點共面B.棱柱沒有外接球C.直線所成的角為D.四面體與四面體的公共部分的體積為【答案】ABD【解析】在直棱柱中，平面，又，則直線兩兩垂直，以點為原點，直線分別為軸建立空間直角坐標系，則，對于A，，即，又直線，因此，即四點共面，A正確；對于B，在梯形中，，則為銳角，，因此，梯形無外接圓，則棱柱沒有外接球，B正確；對于C，平面，平面，平面平面，則，令，連接，平面平面，同理，因此直線所成的角等于直線所成的角，由，得，則，，，直線所成的角不為，C錯誤；對于D，令，則點是直棱柱所在側(cè)面矩形的中心，，四邊形是平行四邊形，平面，則平面，同理平面，而，平面，因此平面平面，同選項C得，而，則四邊形為平行四邊形，，則平面，平面，四邊形的面積，四面體與四面體的公共部分為八面體，所以四面體與四面體的公共部分的體積為，D正確.故選：ABD三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知角的終邊過點，則__________.【答案】10【解析】由角的終邊過點，得，所以.故答案為：1013.設(shè)函數(shù)，若的圖象過點，且曲線在處的切線也過點，則__________.【答案】【解析】函數(shù)，求導得，則，而，因此曲線在處的切線方程為，依題意，，所以.故答案為：14.對于一個平面圖形，如果存在一個圓能完全覆蓋住這個平面圖形，則稱這個圖形被這個圓能夠完全覆蓋，其中我們把能覆蓋平面圖形的最小圓稱為最小覆蓋圓.則曲線的最小覆蓋圓的半徑為__________.【答案】【解析】因為把換成，方程不變，所以曲線關(guān)于軸對稱；因為把換成，方程不變，所以曲線關(guān)于軸對稱；因為把換成，同時把換成，方程不變，所以曲線關(guān)于坐標原點對稱；因為把換成，同時把換成，方程不變，所以曲線關(guān)于直線對稱，因此最小覆蓋圓圓心必在坐標原點，從而最小覆蓋圓的半徑為曲線上點到原點距離最大值，，（當且僅當時取等號）因此最小覆蓋圓的半徑為故答案為：四?解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟.15.在中，角的對邊分別是，已知.（1）求；（2）若，且的周長為，求.解：（1）在中，由及正弦定理得，而，則，又，所以或.（2）由的周長為，，得，在中，由余弦定理得，即，則，當時，，于是，，此方程無解；當時，，于是，解得或，所以當時，無解；當時，或.16.如圖，在四棱錐中，底面是正方形，側(cè)棱底面是的中點，作交于點．（1）求證：平面；（2）求證：平面；（3）求平面與平面的夾角的大小．（1）證明：在四棱錐中，底面，底面，則，由底面是正方形，得，以為原點，直線分別為軸建立空間直角坐標系，設(shè)，則，，設(shè)平面的法向量為，則，令，得，則，而平面，所以平面.（2）證明：由（1）知，，由，得，又，且平面，所以平面.（3）證明：由（1）知，，且，設(shè)平面的法向量為，則，取，得，，而，則，即，則的一個法向量為，因此，而，則，所以平面與平面的夾角為.17.已知橢圓上的動點總滿足關(guān)系式，且橢圓與拋物線有共同的焦點是橢圓與拋物線的一個公共點，.（1）求拋物線的方程和橢圓的標準方程；（2）過點的直線交拋物線于兩點，交橢圓于兩點，若，求直線的方程.解：（1）由橢圓：，得右焦點，而是拋物線的焦點，則，所以拋物線；由對稱性不妨令，由，得，解得，即點，則，因此橢圓的長半軸長，短半軸，所以橢圓的標準方程為（2）直線不垂直于軸，設(shè)其方程為，，由，得，即，由消去，得，則，由消去，得，則，因此，解得，所以直線的方程為.18.某答題挑戰(zhàn)賽規(guī)則如下：比賽按輪依次進行，只有答完一輪才能進入下一輪，若連續(xù)兩輪均答錯，則挑戰(zhàn)終止；每一輪系統(tǒng)隨機地派出一道通識題或?qū)ＷR題，派出通識題的概率為，派出專識題的概率為.已知某選手答對通識題與專識題的概率分別為，且各輪答題正確與否相互獨立.（1）求該選手在一輪答題中答對題目的概率；（2）記該選手在第輪答題結(jié)束時挑戰(zhàn)依然未終止的概率為，（i）求；（ii）證明：存在實數(shù)，使得數(shù)列為等比數(shù)列.解：（1）設(shè)事件“一輪答題中系統(tǒng)派出通識題”，事件“該選手在一輪答題中答對”，依題意，，，因此，所以該選手在一輪答題中答對題目的概率為.（2）（i）設(shè)事件“該選手在第輪答對題目”，各輪答題正確與否相互獨立，由（1）知，，當時，挑戰(zhàn)顯然不會終止，即，當時，則第1、2輪至少答對一輪，，由概率加法公式得；同理.（ii）設(shè)事件“第輪答題結(jié)束時挑戰(zhàn)未終止”，當時，第輪答題結(jié)束時挑戰(zhàn)未終止的情況有兩種：①第輪答對，且第輪結(jié)束時挑戰(zhàn)未終止；②第輪答錯，且第輪答對，且第輪結(jié)束時挑戰(zhàn)未終止，因此第輪答題結(jié)束時挑戰(zhàn)未終止的事件可表示為，則，而各輪答題正確與否相互獨立，因此，當時，，設(shè)存在實數(shù)，使得數(shù)列為等比數(shù)列，當時，，整理得，而，則，解得或，當時，因此當時，數(shù)列是首項為，公比為的等比數(shù)列；當時，數(shù)列是首項為，公比為的等比數(shù)列，所以存在實數(shù)或，使得數(shù)列為等比數(shù)列.19.對于給定集合，若存在非負實數(shù)，對任意的滿足：成立，則稱集合具有性質(zhì).（1）證明：集合具有性質(zhì)；（2）若集合具有性質(zhì)，求的最小值；（3）若集合具有性質(zhì)，求的最大值.（1）證明：要證明集合具有性質(zhì)，即證明，都有，因為，所以.因為，所以，所以，都有，即集合具有性質(zhì).（2）解：因為，，令，則，因為，當且僅當時等號成立，所以，又集合具有性質(zhì)，于是，有，即，即，成立，令，，因為函數(shù)在上單調(diào)遞減，且，所以，則，所以，當且僅當時等號成立；，當且僅當或時等號成立，則，即的最小值為.（3）解：因為集合具有性質(zhì)，由題意，得，都有，即，注意到所以，又，所以，當且僅當時等號成立，即的最小值為1.又，當且僅當時等號成立，則，又，令，，則，即，則，即，所以，令，，則，即函數(shù)在上單調(diào)遞增，又，所以，當且僅當或時等號成立，所以的最大值為，又的最小值為1，所以的最大值為.四川省成都市2025屆高三第二次診斷性檢測數(shù)學試題一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一個選項符合題目要求.1.若，則（）A.B.C. D.【答案】A【解析】.故選：A2.已知集合，則（）A. B.C. D.【答案】B【解析】依題意，集合，對于AB，，A錯誤，B正確；對于CD，，CD錯誤.故選：B3.居民消費價格指數(shù)（ConsumerPriceIndex，簡稱CPI），是度量一定時期內(nèi)居民消費商品和服務價格水平總體變動情況的相對數(shù)，綜合反映居民消費商品和服務價格水平的變動趨勢和變動程度.下圖是2024年11月9日國家統(tǒng)計局公布的2024年10月各類商品及服務價格同比和環(huán)比漲跌幅情況（同比，環(huán)比），下列結(jié)論正確的是（）A.2024年10月份食品煙酒類價格低于2023年10月份食品煙酒類價格B.2024年10月份教育文化娛樂類價格低于2024年9月份教育文化娛樂類價格C.2024年9月份醫(yī)療保健類價格高于2023年10月份醫(yī)療保健類價格D.2024年9月份居住類價格高于2023年10月份居住類價格【答案】C【解析】對于A，由題可知，2024年10月份食品煙酒類價格同比漲幅為，所以2024年10月份食品煙酒類價格高于2023年10月份食品煙酒類價格，故A錯誤；對于B，由圖可知，2024年10月份教育文化娛樂類價格環(huán)比漲幅為，所以2024年10月份教育文化娛樂類價格高于2024年9月份教育文化娛樂類價格，故B錯誤；對于C，2024年10月份醫(yī)療保健類價格環(huán)比漲幅為，即2024年10月份醫(yī)療保健類價格等于2024年9月份醫(yī)療保健類價格，又2024年10月份醫(yī)療保健類價格同比漲幅為，所以2024年10月份醫(yī)療保健類價格高于2023年10月份醫(yī)療保健類價格，故C正確；對于D，2024年10月份居住類價格環(huán)比漲幅為，即2024年10月份居住類價格等于2024年9月份居住類價格，又2024年10月份居住類價格同比漲幅為，所以2024年10月份居住類價格低于2023年10月份居住類價格，故D錯誤.故選：C.4.已知兩個非零向量滿足，則向量在向量上的投影向量為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由，則，化簡得，所以在向量上的投影向量為.故選：C.5.袋中有5個除顏色外完全相同的小球，其中3個紅球，2個白球.從袋中不放回地依次隨機取出2個球，則這2個球顏色相同的概率為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】從袋中不放回地依次隨機取出2個球的試驗有個基本事件，取出的2個球顏色相同的事件有個基本事件，所以這2個球顏色相同的概率為.故選：D6.在天文學中，天體的明暗程度可以用星等或亮度來描述.以織女星的亮度為標準，天體的星等與亮度滿足，已知北極星的星等為2，牛郎星的星等為0.8，則北極星與牛郎星的亮度之比為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】令北極星與牛郎星的亮度分別為，依題意，，兩式相減得，解得.故選：D7.已知雙曲線右焦點為，若關(guān)于直線的對稱點在上，則雙曲線的離心率為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】設(shè)，因為關(guān)于直線的對稱點為，所以解得因為點在上，所以或（舍），故選：A8.若函數(shù)有極值，則的取值范圍為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】由，，則，令，，則，當時，恒成立，則，即函數(shù)在上單調(diào)遞增，此時函數(shù)無極值，不符合題意；當時，令，得，當時，，則，得函數(shù)在上單調(diào)遞減，又時，；時，，所以存在，使得，則函數(shù)存在極值；當時，，則時，；時，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，則，設(shè)，，則，當時，；當時，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，又，且時，，則時，，此時函數(shù)無極值，不符合題意；當時，，且時，；時，，此時函數(shù)存在極值.綜上所述，的取值范圍為.故選：A.二?多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.已知函數(shù)，則（）A.的最小正周期為B.的圖象關(guān)于直線對稱C.在上單調(diào)遞減D.在上有2個零點【答案】ACD【解析】對于A，函數(shù)的最小正周期為，A正確；對于B，因，即的圖象關(guān)于直線不對稱，B錯誤；對于C，當時，，因正弦函數(shù)在上單調(diào)遞減，故在上單調(diào)遞減，C正確；對于D，當時，，由，得或，解得或，即在上有2個零點，D正確.故選：ACD10.已知數(shù)列的通項公式，前項和為，則（）A.數(shù)列為等差數(shù)列B.，使得C.當時，取得最小值D.數(shù)列的最大項的值為【答案】ABD【解析】對于A，由，得，，數(shù)列為等差數(shù)列，A正確；對于B，，，顯然，B正確；對于C，，當時，數(shù)列單調(diào)遞減，，，當時，數(shù)列單調(diào)遞減，，，C錯誤；對于D，，因，當時，取最小值，當或時，，且當或時，取最小值3，所以數(shù)列的最大項的值為，D正確.故選：ABD.11.如圖，在直棱柱中，，是中點.過作與平面平行的平面，若平面平面，則（）A.四點共面B.棱柱沒有外接球C.直線所成的角為D.四面體與四面體的公共部分的體積為【答案】ABD【解析】在直棱柱中，平面，又，則直線兩兩垂直，以點為原點，直線分別為軸建立空間直角坐標系，則，對于A，，即，又直線，因此，即四點共面，A正確；對于B，在梯形中，，則為銳角，，因此，梯形無外接圓，則棱柱沒有外接球，B正確；對于C，平面，平面，平面平面，則，令，連接，平面平面，同理，因此直線所成的角等于直線所成的角，由，得，則，，，直線所成的角不為，C錯誤；對于D，令，則點是直棱柱所在側(cè)面矩形的中心，，四邊形是平行四邊形，平面，則平面，同理平面，而，平面，因此平面平面，同選項C得，而，則四邊形為平行四邊形，，則平面，平面，四邊形的面積，四面體與四面體的公共部分為八面體，所以四面體與四面體的公共部分的體積為，D正確.故選：ABD三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知角的終邊過點，則__________.【答案】10【解析】由角的終邊過點，得，所以.故答案為：1013.設(shè)函數(shù)，若的圖象過點，且曲線在處的切線也過點，則__________.【答案】【解析】函數(shù)，求導得，則，而，因此曲線在處的切線方程為，依題意，，所以.故答案為：14.對于一個平面圖形，如果存在一個圓能完全覆蓋住這個平面圖形，則稱這個圖形被這個圓能夠完全覆蓋，其中我們把能覆蓋平面圖形的最小圓稱為最小覆蓋圓.則曲線的最小覆蓋圓的半徑為__________.【答案】【解析】因為把換成，方程不變，所以曲線關(guān)于軸對稱；因為把換成，方程不變，所以曲線關(guān)于軸對稱；因為把換成，同時把換成，方程不變，所以曲線關(guān)于坐標原點對稱；因為把換成，同時把換成，方程不變，所以曲線關(guān)于直線對稱，因此最小覆蓋圓圓心必在坐標原點，從而最小覆蓋圓的半徑為曲線上點到原點距離最大值，，（當且僅當時取等號）因此最小覆蓋圓的半徑為故答案為：四?解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟.15.在中，角的對邊分別是，已知.（1）求；（2）若，且的周長為，求.解：（1）在中，由及正弦定理得，而，則，又，所以或.（2）由的周長為，，得，在中，由余弦定理得，即，則，當時，，于是，，此方程無解；當時，，于是，解得或，所以當時，無解；當時，或.16.如圖，在四棱錐中，底面是正方形，側(cè)棱底面是的中點，作交于點．（1）求證：平面；（2）求證：平面；（3）求平面與平面的夾角的大?。?）證明：在四棱錐中，底面，底面，則，由底面是正方形，得，以為原點，直線分別為軸建立空間直角坐標系，設(shè)，則，，設(shè)平面的法向量為，則，令，得，則，而平面，所以平面.（2）證明：由（1）知，，由，得，又，且平面，所以平面.（3）證明：由（1）知，，且，設(shè)平面的法向量為，則，取，得，，而，則，即，則的一個法向量為，因此，而，則，所以平面與平面的夾角為.17.已知橢圓上的動點總滿足關(guān)系式，且橢圓與拋物線有共同的焦點是橢圓與拋物線的一個公共點，.（1）求拋物線的方程和橢圓的標準方程；（2）過點的直線交拋物線于兩點，交橢圓于兩點，若，求直線的方程.解：（1）由橢圓：，得右焦點，而是拋物線的焦點，則，所以拋物線；由對稱性不妨令，由，得，解得，即點，則，因此橢圓的長半軸長，短半軸，所以橢圓的標準方程為（2）直線不垂直于軸，設(shè)其方程為，，由，得，即，由消去，得，則，由消去，得，則，因此，解得，所以直線的方程為.18.某答題挑戰(zhàn)賽規(guī)則如下：比賽按輪依次進行，只有答完一輪才能進入下一輪，若連