2025屆上海市寶山區(qū)高考二模數(shù)學(xué)試卷（解析版）

高級(jí)中學(xué)名校試題PAGEPAGE1上海市寶山區(qū)2025屆高考二模數(shù)學(xué)試卷一、填空題（本大題共有12題，滿分54分，第1～6題每題4分，第7～12題每題5分，要求在答題紙相應(yīng)題序的空格內(nèi)直接填寫(xiě)結(jié)果，每個(gè)空格填對(duì)得分，否則一律得零分）．1.是虛數(shù)單位，則__________．【答案】【解析】，故答案為．2.已知集合，，則____________________.【答案】【解析】由，。所以.故答案為：.3.拋物線的準(zhǔn)線方程是_______【答案】【解析】因?yàn)閽佄锞€的標(biāo)準(zhǔn)方程為，焦點(diǎn)在y軸上，所以：，即，所以，所以準(zhǔn)線方程為：，故答案是：.4.已知函數(shù)則=________.【答案】【解析】由題意可得.故答案為：.5.若函數(shù)是奇函數(shù)，則=______【答案】3【解析】因?yàn)楹瘮?shù)是奇函數(shù)且為多項(xiàng)式的形式,故偶次項(xiàng)系數(shù)均為0,即,即故故答案為36.的二項(xiàng)展開(kāi)式中，項(xiàng)的系數(shù)為_(kāi)_______.【答案】【解析】由題意得二項(xiàng)式的展開(kāi)式的通項(xiàng)公式為，令，得，所以項(xiàng)系數(shù)為．故答案為：．7.已知函數(shù)且)的圖像經(jīng)過(guò)定點(diǎn)，則點(diǎn)的坐標(biāo)為_(kāi)___【答案】【解析】令，可得.所以定點(diǎn)的坐標(biāo)為.故答案為：.8.已知圓柱的底面積為，側(cè)面積為，則該圓柱的體積為_(kāi)________.【答案】【解析】設(shè)圓柱的底面圓的半徑為，高為，由題意可得，解得，所以圓柱的體積.故答案為：.9.已知中，，，點(diǎn)在線段上，且，則的值為_(kāi)________.【答案】【解析】設(shè)等腰在邊上的高為，因?yàn)?，所以，所以，所以，所?故答案為：.10.有件商品的編號(hào)分別為，它們的售價(jià)（元），且滿足，則這件商品售價(jià)的所有可能情況有________種.【答案】【解析】分四類討論：①當(dāng)時(shí)，有6種情況；②當(dāng)時(shí)，若，有5種選法；若，有4種選法；若，有3種選法；若，有2種選法；若，有1種選法；由加法原理可得共有15種；③當(dāng)時(shí)，若，選擇有5種選法；若，選擇有4種選法；若，選擇有3種選法；若，選擇有2種選法；若，選擇有1種選法；由加法原理可得共有15種；④當(dāng)時(shí)，有種，綜上，共有種.故答案為：56.11.某分公司經(jīng)銷一產(chǎn)品，每件產(chǎn)品的成本為5元，且每件產(chǎn)品需向總公司交2元的管理費(fèi)，預(yù)計(jì)每件產(chǎn)品的售價(jià)為元時(shí)，一年的銷售量為萬(wàn)件，則每件產(chǎn)品售價(jià)為_(kāi)________元時(shí)，該分公司一年的利潤(rùn)達(dá)到最大值.（結(jié)果精確到1元）【答案】【解析】分公司一年的利潤(rùn)(萬(wàn)元)與售價(jià)的函數(shù)關(guān)系式為，所以，令，即，解得或（舍），當(dāng)時(shí)，，此時(shí)在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)在單調(diào)遞減，又因?yàn)榻Y(jié)果精確到1元，且當(dāng)時(shí)，，且當(dāng)時(shí)，，于是：當(dāng)每件產(chǎn)品的售價(jià)為9元時(shí)，該分公司一年的利潤(rùn)最大.故答案為：9.12.空間中有相互垂直的兩條異面直線，點(diǎn)，且，若，且，則二面角平面角的余弦值最小為_(kāi)________.【答案】【解析】根據(jù)雙曲線的定義，平面內(nèi)到兩個(gè)定點(diǎn)、（焦點(diǎn)）的距離之差的絕對(duì)值為定值（小于）的點(diǎn)的軌跡為雙曲線.由，可知，所以點(diǎn)在以、為焦點(diǎn)的雙曲線上.在空間中，是此雙曲線繞旋轉(zhuǎn)得到的曲面.因?yàn)?，根?jù)直徑所對(duì)的圓周角是直角，所以點(diǎn)同時(shí)在以為直徑的球面上.由于，所以、在與垂直的面上.不妨令固定在一支雙曲線上，設(shè)雙曲線方程為.過(guò)作于，在雙曲線中，變形可得.在（因?yàn)椋┲?，的長(zhǎng)度可根據(jù)坐標(biāo)關(guān)系得到，因?yàn)樵谶^(guò)與垂直面與球的交線上，設(shè)球心為（中點(diǎn)），由（球的半徑的平方為，根據(jù)勾股定理得到此關(guān)系），的長(zhǎng)度與有關(guān)（點(diǎn)坐標(biāo)與點(diǎn)縱坐標(biāo)有關(guān)），且在軸上的投影長(zhǎng)度就是，所以.在中，根據(jù)余弦定理，通過(guò)，代入余弦定理公式化簡(jiǎn)得到,.令，則.對(duì)于二次函數(shù)，其對(duì)稱軸為，當(dāng)時(shí)，取得最大值.所以.故答案為：.二、選擇題（本大題共有4題，滿分18分，第13～14題每題4分，第15～16題每題5分，每題都給出四個(gè)結(jié)論，其中有且僅有一個(gè)結(jié)論是正確的，必須把答題紙上相應(yīng)題序內(nèi)的正確結(jié)論代號(hào)涂黑，選對(duì)得相應(yīng)滿分，否則一律得零分）.13.已知向量，，若，則的值為（

）A. B. C. D.【答案】D【解析】由題意可得，解得.故選：D.14.“”的一個(gè)必要非充分條件是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】對(duì)于選項(xiàng)A，由，得到，即，所以可得，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤，對(duì)于選項(xiàng)B，由，得到，所以可得，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤，對(duì)于選項(xiàng)C，由，得到，即，所以推不出，但可以得出，故選項(xiàng)C正確，對(duì)于選項(xiàng)D，由，得到，又，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，顯然不滿足題意，則，即，又當(dāng)，有，所以是的充要條件，故選項(xiàng)D錯(cuò)誤，故選：C.15.甲、乙兩名籃球運(yùn)動(dòng)員在8場(chǎng)比賽中的單場(chǎng)得分用莖葉圖表示如左下圖，莖葉圖中甲的得分有部分?jǐn)?shù)據(jù)丟失，但甲得分的折線圖完好（右下圖），則下列結(jié)論正確的是（）A.甲得分的極差小于乙得分的極差B.甲得分第25百分位數(shù)大于乙得分的第75百分位數(shù)C.甲得分的平均數(shù)大于乙得分的平均數(shù)D.甲得分的方差小于乙得分的方差【答案】C【解析】對(duì)于A選項(xiàng)，甲得分的極差為：，乙得分的極差為：，因?yàn)椋约椎梅值臉O差大于乙得分的極差，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B選項(xiàng)，因?yàn)?，所以甲得分的?5百分位數(shù)為，又，所以乙得分的第75百分位數(shù)為，因?yàn)椋约椎梅值牡?5百分位數(shù)小于乙得分的第75百分位數(shù)，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C選項(xiàng)，由折線圖可知，在莖葉圖中甲的得分中丟失的數(shù)據(jù)一個(gè)為，另一個(gè)設(shè)為，其中，所以甲的平均數(shù)為，乙的平均數(shù)為，因?yàn)?，所以，所以，所以甲得分的平均?shù)大于乙得分的平均數(shù)，故C正確；對(duì)于D選項(xiàng)，方差是刻畫(huà)數(shù)據(jù)離散程度或波動(dòng)幅度的指標(biāo).從莖葉圖中可以看到，甲的得分分布比乙的得分分布分散，所以甲得分的方差大于乙得分的方差，故D錯(cuò)誤.故選：C16.若對(duì)任意正整數(shù)，數(shù)列的前項(xiàng)和都是完全平方數(shù)，則稱數(shù)列為“完全平方數(shù)列”.有如下兩個(gè)命題：①若數(shù)列的前項(xiàng)和，（為正整數(shù)），則使得數(shù)列為“完全平方數(shù)列”的值有且僅有一個(gè)；②存在無(wú)窮多個(gè)“完全平方數(shù)列”的等差數(shù)列.則下列選項(xiàng)中正確的是（）A.①是真命題，②是真命題； B.①是真命題，②是假命題；C.①是假命題，②是真命題； D.①是假命題，②是假命題.【答案】A【解析】對(duì)于①，數(shù)列的前項(xiàng)和（為正整數(shù)），當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，不滿足上式，所以，當(dāng)，時(shí)，，所以數(shù)列與原數(shù)列相同，所以，所以當(dāng)時(shí)，數(shù)列為完全平方數(shù)列，當(dāng)時(shí)，不是“完全平方數(shù)，所以當(dāng)時(shí)，數(shù)列不是完全平方數(shù)列，綜上所述：數(shù)列為“完全平方數(shù)列”，故①是真命題；對(duì)于②，因?yàn)闉橥耆椒綌?shù)，故，若，則，若對(duì)任意的，均為完全平方數(shù)，則，否則假設(shè)為的素因數(shù)，且恰好整除，為正整數(shù)，若為奇數(shù)，則不是完全平方數(shù)，矛盾，若為偶數(shù)，取，則不是完全平方數(shù)，矛盾，若，則，若，取，則或，當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，此時(shí)，均不是完全平方數(shù)，當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，取，，為奇數(shù)，故此時(shí)不是完全平方數(shù)，故，即，故，設(shè)，故，當(dāng)時(shí)，，又適合上式，即.故存在無(wú)窮多個(gè)“完全平方數(shù)列”的等差數(shù)列，故②是真命題.故選：A.三、解答題（本大題共有5題，滿分78分，解答下列各題必須在答題紙的規(guī)定區(qū)域（對(duì)應(yīng)的題號(hào)）內(nèi)寫(xiě)出必要的步驟）．17.如圖，在四面體中，是邊長(zhǎng)為的正三角形，且.（1）證明：；（2）若是的中點(diǎn)，且二面角的大小為，求與平面所成角的大小.（1）證明：取中點(diǎn)，連接，由已知條件是邊長(zhǎng)為的正三角形，得.平面，所以平面，又平面，所以.（2）解：二面角的大小為，即平面平面.由平面平面，且由（1）知，平面，所以平面，從而即為與平面所成角在中，，從而，在中，，因?yàn)槠矫妫移矫?，所以，所以在中，，且，易求得，即與平面所成角的大小為.18.已知函數(shù)，（且）（1）若，求方程的解；（2）已知，若關(guān)于的不等式在區(qū)間上恒成立，求實(shí)數(shù)的最大值.解：（1）即解得，于是，方程即為，令，則有即，求得（舍負(fù)），所以方程的解為.（2）由已知得，整理得，因?yàn)?，所以，從而?duì)任意恒成立，因?yàn)椋ó?dāng)且僅當(dāng)取等號(hào)），所以，即實(shí)數(shù)的最大值為.19.某游樂(lè)園的活動(dòng)項(xiàng)目共有三類，分別是“過(guò)山車”等10個(gè)體驗(yàn)類項(xiàng)目、“海豚之舞”等4個(gè)表演類項(xiàng)目、“智力闖關(guān)”等3個(gè)互動(dòng)類項(xiàng)目.因設(shè)備維護(hù)需要，項(xiàng)目并非每日都全部開(kāi)放.以下數(shù)據(jù)是項(xiàng)目開(kāi)放的數(shù)量（個(gè)）和游客平均等待時(shí)間（分鐘/個(gè)）的關(guān)系：項(xiàng)目類別體驗(yàn)類演出類互動(dòng)類開(kāi)放數(shù)量（個(gè)）456782423平均等待時(shí)間（分鐘/個(gè)）7673676053304630（1）體驗(yàn)類項(xiàng)目中，若關(guān)于的回歸方程為，請(qǐng)計(jì)算的值，并依據(jù)該模型預(yù)測(cè)所有體驗(yàn)類項(xiàng)目均開(kāi)放時(shí)的平均等待時(shí)間（精確到整數(shù)）；（2）小王游玩當(dāng)日，體驗(yàn)類、演出類、互動(dòng)類項(xiàng)目分別開(kāi)放了8個(gè)、4個(gè)、3個(gè)，他計(jì)劃隨機(jī)游玩其中的3個(gè)項(xiàng)目，已知他選擇的項(xiàng)目中至少包含1個(gè)互動(dòng)類項(xiàng)目，求他的等待總時(shí)間恰為120分鐘的概率；（3）為提高游客的參與度，園方在互動(dòng)類項(xiàng)目“智力闖關(guān)”中設(shè)計(jì)了兩關(guān).通過(guò)第一關(guān)的游客獎(jiǎng)勵(lì)20個(gè)游園幣，游客可以選擇結(jié)束或繼續(xù)闖關(guān).若繼續(xù)闖關(guān)，則必須完成第二關(guān)的所有題目.第二關(guān)包含2道相互獨(dú)立的選擇題，每答對(duì)1題可再獎(jiǎng)勵(lì)20個(gè)游園幣，每答錯(cuò)1題則要扣除10個(gè)游園幣.每個(gè)游園幣可兌換園區(qū)內(nèi)任意一個(gè)項(xiàng)目的1分鐘等待時(shí)間.小王已通過(guò)第一關(guān)，假設(shè)他在第二關(guān)中每道題答對(duì)的概率均為，為了獲得更多項(xiàng)目等待時(shí)間的兌換獎(jiǎng)勵(lì)，小王是否應(yīng)該繼續(xù)闖關(guān)？請(qǐng)你幫他做出決策.解：（1），代入回歸方程，得，解得.當(dāng)時(shí),，即開(kāi)放所有體驗(yàn)類項(xiàng)目時(shí)的平均等待時(shí)間約為51分鐘.（2）記事件“等待總時(shí)間恰為120分鐘”，事件“選擇的3個(gè)項(xiàng)目中至少包含1個(gè)互動(dòng)類項(xiàng)目”，因?yàn)槿康捻?xiàng)目數(shù)為15個(gè)，其中互動(dòng)類項(xiàng)目有3個(gè)，則事件共包含了種；在事件的條件下，等待總時(shí)間恰為120分鐘，此時(shí)的可能情況有：①一個(gè)互動(dòng)類項(xiàng)目，一個(gè)體驗(yàn)類項(xiàng)目，一個(gè)演出類項(xiàng)目，此時(shí)共有種情況；②兩個(gè)互動(dòng)類項(xiàng)目，一個(gè)體驗(yàn)類項(xiàng)目，此時(shí)共有種情況.由條件概率公式得.（3）設(shè)小王參加第二關(guān)獲得的游園幣數(shù)為隨機(jī)變量，則所有可能取值為，則所以.所以，當(dāng)時(shí)，，不建議小王繼續(xù)闖關(guān)；當(dāng)時(shí)，，小王可根據(jù)自己的情況隨機(jī)選擇；當(dāng)時(shí)，，建議小王繼續(xù)闖關(guān).20.已知雙曲線分別是其左、右焦點(diǎn)，直線與雙曲線的右支交于兩點(diǎn).（1）當(dāng)直線過(guò)點(diǎn)，且時(shí)，求的周長(zhǎng)；（2）已知點(diǎn)，若直線的斜率之和為，且，當(dāng)分別與軸交于點(diǎn)時(shí)，求的面積；（3）已知直線過(guò)點(diǎn)，是雙曲線上一點(diǎn)且位于第一象限，且滿足的點(diǎn)在線段上，若，求點(diǎn)的坐標(biāo).解：（1）根據(jù)雙曲線定義得：，，兩式相加得，即，由已知得，所以的周長(zhǎng)為，（2）設(shè)直線傾斜角分別為，由已知得，不妨設(shè)，則，則可求得，，所以直線解得，直線解得，所以的面積為.（3）設(shè)，由知若直線斜率不存在，則，此時(shí)與點(diǎn)重合，不符題意，舍去；設(shè)直線方程為：，與雙曲線聯(lián)立化簡(jiǎn)得，顯然成立，設(shè)交點(diǎn)，由韋達(dá)定理：由得，從而，即，將韋達(dá)定理代入化簡(jiǎn)得（※），因?yàn)?，即，由已知在雙曲線上，得，從而得代入（※）式，，化簡(jiǎn)得，即，解得，則點(diǎn)的坐標(biāo)為.21.定義在上的可導(dǎo)函數(shù)，集合為正整數(shù)，其中稱為的自和函數(shù)，稱為的固著點(diǎn).已知.（1）若，，求的值及的固著點(diǎn)；（2）若，是的自和函數(shù)，且在上是嚴(yán)格增函數(shù)，求的最大值；（3）若，，且是的固著點(diǎn)，求的取值范圍，并證明：.（1）解：由題得，所以，因?yàn)?，所以，解得，所以，固著點(diǎn).（2）解：由題得，則，所以，因?yàn)槭巧系膰?yán)格增函數(shù)，所以在區(qū)間上恒成立，由，得到，所以，所以，因此的最大值是.（3）證明：（方法一）由題得，，所以，因?yàn)椋沂堑墓讨c(diǎn)，所以（*）在上有唯一的解，記，則，所以在是嚴(yán)格減函數(shù)，從而，又當(dāng)時(shí)，，故的值域是，所以，即，記，則由上述可知是的嚴(yán)格減函數(shù)且，，因?yàn)?，所以，所以①又，記，則，因?yàn)?，所以，所以，所以是上的?yán)格增函數(shù)，故，從而②由①②可知，，即，又是的嚴(yán)格減函數(shù)，所以，故.（方法二）由題得，，所以，因?yàn)榍沂堑墓讨c(diǎn)，所以（*）在上有唯一的解求導(dǎo)得，當(dāng)時(shí)，，是上的嚴(yán)格減函數(shù)，所以，所以方程（*）無(wú)解；當(dāng)時(shí)，（?。┊?dāng)時(shí)，在恒成立，故是上的嚴(yán)格增函數(shù)，所以，所以方程（*）無(wú)解；（ⅱ）當(dāng)時(shí)，如下表-0+嚴(yán)格減極小值嚴(yán)格增可知在嚴(yán)格減，在嚴(yán)格增，又，，當(dāng)時(shí)，，所以方程（*）在無(wú)解，在有唯一解，滿足題意的的取值范圍，因?yàn)槭堑奈ㄒ唤猓?，又，令，則，所以是上的嚴(yán)格減函數(shù)，所以，即，又當(dāng)時(shí)，，所以，又在上有唯一的零點(diǎn)，則，綜上，，此時(shí).上海市寶山區(qū)2025屆高考二模數(shù)學(xué)試卷一、填空題（本大題共有12題，滿分54分，第1～6題每題4分，第7～12題每題5分，要求在答題紙相應(yīng)題序的空格內(nèi)直接填寫(xiě)結(jié)果，每個(gè)空格填對(duì)得分，否則一律得零分）．1.是虛數(shù)單位，則__________．【答案】【解析】，故答案為．2.已知集合，，則____________________.【答案】【解析】由，。所以.故答案為：.3.拋物線的準(zhǔn)線方程是_______【答案】【解析】因?yàn)閽佄锞€的標(biāo)準(zhǔn)方程為，焦點(diǎn)在y軸上，所以：，即，所以，所以準(zhǔn)線方程為：，故答案是：.4.已知函數(shù)則=________.【答案】【解析】由題意可得.故答案為：.5.若函數(shù)是奇函數(shù)，則=______【答案】3【解析】因?yàn)楹瘮?shù)是奇函數(shù)且為多項(xiàng)式的形式,故偶次項(xiàng)系數(shù)均為0,即,即故故答案為36.的二項(xiàng)展開(kāi)式中，項(xiàng)的系數(shù)為_(kāi)_______.【答案】【解析】由題意得二項(xiàng)式的展開(kāi)式的通項(xiàng)公式為，令，得，所以項(xiàng)系數(shù)為．故答案為：．7.已知函數(shù)且)的圖像經(jīng)過(guò)定點(diǎn)，則點(diǎn)的坐標(biāo)為_(kāi)___【答案】【解析】令，可得.所以定點(diǎn)的坐標(biāo)為.故答案為：.8.已知圓柱的底面積為，側(cè)面積為，則該圓柱的體積為_(kāi)________.【答案】【解析】設(shè)圓柱的底面圓的半徑為，高為，由題意可得，解得，所以圓柱的體積.故答案為：.9.已知中，，，點(diǎn)在線段上，且，則的值為_(kāi)________.【答案】【解析】設(shè)等腰在邊上的高為，因?yàn)椋?，所以，所以，所?故答案為：.10.有件商品的編號(hào)分別為，它們的售價(jià)（元），且滿足，則這件商品售價(jià)的所有可能情況有________種.【答案】【解析】分四類討論：①當(dāng)時(shí)，有6種情況；②當(dāng)時(shí)，若，有5種選法；若，有4種選法；若，有3種選法；若，有2種選法；若，有1種選法；由加法原理可得共有15種；③當(dāng)時(shí)，若，選擇有5種選法；若，選擇有4種選法；若，選擇有3種選法；若，選擇有2種選法；若，選擇有1種選法；由加法原理可得共有15種；④當(dāng)時(shí)，有種，綜上，共有種.故答案為：56.11.某分公司經(jīng)銷一產(chǎn)品，每件產(chǎn)品的成本為5元，且每件產(chǎn)品需向總公司交2元的管理費(fèi)，預(yù)計(jì)每件產(chǎn)品的售價(jià)為元時(shí)，一年的銷售量為萬(wàn)件，則每件產(chǎn)品售價(jià)為_(kāi)________元時(shí)，該分公司一年的利潤(rùn)達(dá)到最大值.（結(jié)果精確到1元）【答案】【解析】分公司一年的利潤(rùn)(萬(wàn)元)與售價(jià)的函數(shù)關(guān)系式為，所以，令，即，解得或（舍），當(dāng)時(shí)，，此時(shí)在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)在單調(diào)遞減，又因?yàn)榻Y(jié)果精確到1元，且當(dāng)時(shí)，，且當(dāng)時(shí)，，于是：當(dāng)每件產(chǎn)品的售價(jià)為9元時(shí)，該分公司一年的利潤(rùn)最大.故答案為：9.12.空間中有相互垂直的兩條異面直線，點(diǎn)，且，若，且，則二面角平面角的余弦值最小為_(kāi)________.【答案】【解析】根據(jù)雙曲線的定義，平面內(nèi)到兩個(gè)定點(diǎn)、（焦點(diǎn)）的距離之差的絕對(duì)值為定值（小于）的點(diǎn)的軌跡為雙曲線.由，可知，所以點(diǎn)在以、為焦點(diǎn)的雙曲線上.在空間中，是此雙曲線繞旋轉(zhuǎn)得到的曲面.因?yàn)?，根?jù)直徑所對(duì)的圓周角是直角，所以點(diǎn)同時(shí)在以為直徑的球面上.由于，所以、在與垂直的面上.不妨令固定在一支雙曲線上，設(shè)雙曲線方程為.過(guò)作于，在雙曲線中，變形可得.在（因?yàn)椋┲?，的長(zhǎng)度可根據(jù)坐標(biāo)關(guān)系得到，因?yàn)樵谶^(guò)與垂直面與球的交線上，設(shè)球心為（中點(diǎn)），由（球的半徑的平方為，根據(jù)勾股定理得到此關(guān)系），的長(zhǎng)度與有關(guān)（點(diǎn)坐標(biāo)與點(diǎn)縱坐標(biāo)有關(guān)），且在軸上的投影長(zhǎng)度就是，所以.在中，根據(jù)余弦定理，通過(guò)，代入余弦定理公式化簡(jiǎn)得到,.令，則.對(duì)于二次函數(shù)，其對(duì)稱軸為，當(dāng)時(shí)，取得最大值.所以.故答案為：.二、選擇題（本大題共有4題，滿分18分，第13～14題每題4分，第15～16題每題5分，每題都給出四個(gè)結(jié)論，其中有且僅有一個(gè)結(jié)論是正確的，必須把答題紙上相應(yīng)題序內(nèi)的正確結(jié)論代號(hào)涂黑，選對(duì)得相應(yīng)滿分，否則一律得零分）.13.已知向量，，若，則的值為（

）A. B. C. D.【答案】D【解析】由題意可得，解得.故選：D.14.“”的一個(gè)必要非充分條件是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】對(duì)于選項(xiàng)A，由，得到，即，所以可得，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤，對(duì)于選項(xiàng)B，由，得到，所以可得，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤，對(duì)于選項(xiàng)C，由，得到，即，所以推不出，但可以得出，故選項(xiàng)C正確，對(duì)于選項(xiàng)D，由，得到，又，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，顯然不滿足題意，則，即，又當(dāng)，有，所以是的充要條件，故選項(xiàng)D錯(cuò)誤，故選：C.15.甲、乙兩名籃球運(yùn)動(dòng)員在8場(chǎng)比賽中的單場(chǎng)得分用莖葉圖表示如左下圖，莖葉圖中甲的得分有部分?jǐn)?shù)據(jù)丟失，但甲得分的折線圖完好（右下圖），則下列結(jié)論正確的是（）A.甲得分的極差小于乙得分的極差B.甲得分第25百分位數(shù)大于乙得分的第75百分位數(shù)C.甲得分的平均數(shù)大于乙得分的平均數(shù)D.甲得分的方差小于乙得分的方差【答案】C【解析】對(duì)于A選項(xiàng)，甲得分的極差為：，乙得分的極差為：，因?yàn)椋约椎梅值臉O差大于乙得分的極差，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B選項(xiàng)，因?yàn)?，所以甲得分的?5百分位數(shù)為，又，所以乙得分的第75百分位數(shù)為，因?yàn)?，所以甲得分的?5百分位數(shù)小于乙得分的第75百分位數(shù)，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C選項(xiàng)，由折線圖可知，在莖葉圖中甲的得分中丟失的數(shù)據(jù)一個(gè)為，另一個(gè)設(shè)為，其中，所以甲的平均數(shù)為，乙的平均數(shù)為，因?yàn)椋?，所以，所以甲得分的平均?shù)大于乙得分的平均數(shù)，故C正確；對(duì)于D選項(xiàng)，方差是刻畫(huà)數(shù)據(jù)離散程度或波動(dòng)幅度的指標(biāo).從莖葉圖中可以看到，甲的得分分布比乙的得分分布分散，所以甲得分的方差大于乙得分的方差，故D錯(cuò)誤.故選：C16.若對(duì)任意正整數(shù)，數(shù)列的前項(xiàng)和都是完全平方數(shù)，則稱數(shù)列為“完全平方數(shù)列”.有如下兩個(gè)命題：①若數(shù)列的前項(xiàng)和，（為正整數(shù)），則使得數(shù)列為“完全平方數(shù)列”的值有且僅有一個(gè)；②存在無(wú)窮多個(gè)“完全平方數(shù)列”的等差數(shù)列.則下列選項(xiàng)中正確的是（）A.①是真命題，②是真命題； B.①是真命題，②是假命題；C.①是假命題，②是真命題； D.①是假命題，②是假命題.【答案】A【解析】對(duì)于①，數(shù)列的前項(xiàng)和（為正整數(shù)），當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，不滿足上式，所以，當(dāng)，時(shí)，，所以數(shù)列與原數(shù)列相同，所以，所以當(dāng)時(shí)，數(shù)列為完全平方數(shù)列，當(dāng)時(shí)，不是“完全平方數(shù)，所以當(dāng)時(shí)，數(shù)列不是完全平方數(shù)列，綜上所述：數(shù)列為“完全平方數(shù)列”，故①是真命題；對(duì)于②，因?yàn)闉橥耆椒綌?shù)，故，若，則，若對(duì)任意的，均為完全平方數(shù)，則，否則假設(shè)為的素因數(shù)，且恰好整除，為正整數(shù)，若為奇數(shù)，則不是完全平方數(shù)，矛盾，若為偶數(shù)，取，則不是完全平方數(shù)，矛盾，若，則，若，取，則或，當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，此時(shí)，均不是完全平方數(shù)，當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，取，，為奇數(shù)，故此時(shí)不是完全平方數(shù)，故，即，故，設(shè)，故，當(dāng)時(shí)，，又適合上式，即.故存在無(wú)窮多個(gè)“完全平方數(shù)列”的等差數(shù)列，故②是真命題.故選：A.三、解答題（本大題共有5題，滿分78分，解答下列各題必須在答題紙的規(guī)定區(qū)域（對(duì)應(yīng)的題號(hào)）內(nèi)寫(xiě)出必要的步驟）．17.如圖，在四面體中，是邊長(zhǎng)為的正三角形，且.（1）證明：；（2）若是的中點(diǎn)，且二面角的大小為，求與平面所成角的大小.（1）證明：取中點(diǎn)，連接，由已知條件是邊長(zhǎng)為的正三角形，得.平面，所以平面，又平面，所以.（2）解：二面角的大小為，即平面平面.由平面平面，且由（1）知，平面，所以平面，從而即為與平面所成角在中，，從而，在中，，因?yàn)槠矫?，且平面，所以，所以在中，，且，易求得，即與平面所成角的大小為.18.已知函數(shù)，（且）（1）若，求方程的解；（2）已知，若關(guān)于的不等式在區(qū)間上恒成立，求實(shí)數(shù)的最大值.解：（1）即解得，于是，方程即為，令，則有即，求得（舍負(fù)），所以方程的解為.（2）由已知得，整理得，因?yàn)?，所以，從而?duì)任意恒成立，因?yàn)椋ó?dāng)且僅當(dāng)取等號(hào)），所以，即實(shí)數(shù)的最大值為.19.某游樂(lè)園的活動(dòng)項(xiàng)目共有三類，分別是“過(guò)山車”等10個(gè)體驗(yàn)類項(xiàng)目、“海豚之舞”等4個(gè)表演類項(xiàng)目、“智力闖關(guān)”等3個(gè)互動(dòng)類項(xiàng)目.因設(shè)備維護(hù)需要，項(xiàng)目并非每日都全部開(kāi)放.以下數(shù)據(jù)是項(xiàng)目開(kāi)放的數(shù)量（個(gè)）和游客平均等待時(shí)間（分鐘/個(gè)）的關(guān)系：項(xiàng)目類別體驗(yàn)類演出類互動(dòng)類開(kāi)放數(shù)量（個(gè)）456782423平均等待時(shí)間（分鐘/個(gè)）7673676053304630（1）體驗(yàn)類項(xiàng)目中，若關(guān)于的回歸方程為，請(qǐng)計(jì)算的值，并依據(jù)該模型預(yù)測(cè)所有體驗(yàn)類項(xiàng)目均開(kāi)放時(shí)的平均等待時(shí)間（精確到整數(shù)）；（2）小王游玩當(dāng)日，體驗(yàn)類、演出類、互動(dòng)類項(xiàng)目分別開(kāi)放了8個(gè)、4個(gè)、3個(gè)，他計(jì)劃隨機(jī)游玩其中的3個(gè)項(xiàng)目，已知他選擇的項(xiàng)目中至少包含1個(gè)互動(dòng)類項(xiàng)目，求他的等待總時(shí)間恰為120分鐘的概率；（3）為提高游客的參與度，園方在互動(dòng)類項(xiàng)目“智力闖關(guān)”中設(shè)計(jì)了兩關(guān).通過(guò)第一關(guān)的游客獎(jiǎng)勵(lì)20個(gè)游園幣，游客可以選擇結(jié)束或繼續(xù)闖關(guān).若繼續(xù)闖關(guān)，則必須完成第二關(guān)的所有題目.第二關(guān)包含2道相互獨(dú)立的選擇題，每答對(duì)1題可再獎(jiǎng)勵(lì)20個(gè)游園幣，每答錯(cuò)1題則要扣除10個(gè)游園幣.每個(gè)游園幣可兌換園區(qū)內(nèi)任意一個(gè)項(xiàng)目的1分鐘等待時(shí)間.小王已通過(guò)第一關(guān)，假設(shè)他在第二關(guān)中每道題答對(duì)的概率均為，為了獲得更多項(xiàng)目等待時(shí)間的兌換獎(jiǎng)勵(lì)，小王是否應(yīng)該繼續(xù)闖關(guān)？請(qǐng)你幫他做出決策.解：（1），代入回歸方程，得，解得.當(dāng)時(shí),，即開(kāi)放所有體驗(yàn)類項(xiàng)目時(shí)的平均等待時(shí)間約為51分鐘.（2）記事件“等待總時(shí)間恰為120分鐘”，事件“選擇的3個(gè)項(xiàng)目中至少包含1個(gè)互動(dòng)類項(xiàng)目”，因?yàn)槿康捻?xiàng)目數(shù)為15個(gè)，其中互動(dòng)類項(xiàng)目有3個(gè)，則事件共包含了種；在事件的條件下，等待總時(shí)間恰為120分鐘，此時(shí)的可能情況有：①一個(gè)互動(dòng)類項(xiàng)目，一個(gè)體驗(yàn)類項(xiàng)目，一個(gè)演出類項(xiàng)目，此時(shí)共有種情況；②兩個(gè)互動(dòng)類項(xiàng)目，一個(gè)體驗(yàn)類項(xiàng)目，此時(shí)共有種情況.由條件概率公式得.（3）