2025屆遼寧省大連市高三下學(xué)期第一次模擬考試數(shù)學(xué)試卷（解析版）

高級中學(xué)名校試題PAGEPAGE1遼寧省大連市2025屆高三下學(xué)期第一次模擬考試數(shù)學(xué)試卷一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.復(fù)數(shù)的虛部是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】，虛部為.故選：C2.“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充要條件D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】解不等式，可得或，因為是或的真子集，所以“”是“”的充分不必要條件.故選：A．3.已知，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】令，則，所以，即，則故選：D．4.為了了解學(xué)校質(zhì)量監(jiān)測成績，現(xiàn)隨機(jī)抽取該校200名學(xué)生的成績作為樣本進(jìn)行分析，并繪制頻率分布直方圖，若該頻率分布直方圖的組距為10，且樣本中成績在區(qū)間這一組內(nèi)的學(xué)生有40人，則在頻率分布直方圖中該組數(shù)據(jù)對應(yīng)的矩形高度為（）A.0.02 B.0.2 C.0.04 D.0.4【答案】A【解析】由題意成績在區(qū)間內(nèi)學(xué)生頻率為，因此，故選：A5.已知一個圓臺的上下底面半徑分別為3和4，母線長為，則該圓臺的側(cè)面積為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】圓臺的側(cè)面積為.故選：B．6.在的展開式中，的系數(shù)是（）A. B. C.20 D.40【答案】D【解析】，的通項為，所以的系數(shù)是.故選：D．7.已知函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，函數(shù)的圖象關(guān)于點中心對稱，若，則（）A B. C.0 D.1【答案】B【解析】由函數(shù)的圖象關(guān)于點中心對稱可知，，即，可得，因此函數(shù)具有對稱軸，由，可得，由為上的偶函數(shù)且具有對稱軸，可得．故選：B．8.古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯采用平面切割圓錐面的方法來研究圓錐曲線，如圖1，設(shè)圓錐軸截面的頂角為，用一個平面去截該圓錐面，隨著圓錐的軸和所成角的變化，截得的曲線的形狀也不同．據(jù)研究，曲線的離心率為，比如，當(dāng)時，，此時截得的曲線是拋物線．如圖2，在底面半徑為1，高為的圓錐SO中，AB、CD是底面圓O上互相垂直的直徑，E是母線SC上一點，，平面ABE截該圓錐面所得的曲線的離心率為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由題意的，，則，，所以，在中，，，，且，則，，，則，所以，由正弦定理得，，即.故選：C．二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9.已知函數(shù)，則下列說法正確的是（）A.函數(shù)的最小正周期為B.函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增C.函數(shù)的圖象的對稱軸方程為D.函數(shù)的圖象可由函數(shù)的圖象向右平移個單位長度得到【答案】AC【解析】對于A，函數(shù)的周期為，故A正確；對于B，由，得，所以的單調(diào)增區(qū)間為，故B錯誤；對于C，令，則，所以函數(shù)的圖象的對稱軸方程，故C正確；對于D，函數(shù)向右平移個單位長度得到，故D錯誤．故選：AC．10.已知數(shù)列滿足，則下列說法中正確的是（）A.若，，則是等差數(shù)列B.若，，則是等差數(shù)列C.若，，則等比數(shù)列D.若，，則是等比數(shù)列【答案】BCD【解析】對于A，當(dāng)時，若，則所以數(shù)列不是等差數(shù)列，故A錯誤；對于B，當(dāng)時，，因為，所以，即，因為，所以數(shù)列是等差數(shù)列，故B正確；對于C，當(dāng)時，有，因為，所以，即所以是等比數(shù)列，故C正確；對于D，當(dāng)時，有，因為，所以，即，因為，所以是等比數(shù)列，故D正確；故選：BCD．11.在平面內(nèi)，存在定圓M和定點A，點P是圓M上的動點，若線段PA的中垂線交直線PM于點Q，關(guān)于點Q軌跡敘述正確的是（）A.當(dāng)點A與圓心M重合時，點Q的軌跡為圓B.當(dāng)點A在圓M上時，點Q的軌跡為拋物線C.當(dāng)點A在圓M內(nèi)且不與圓心M重合時，點Q的軌跡為橢圓D.當(dāng)點A在圓M外時，點Q的軌跡為雙曲線【答案】ACD【解析】當(dāng)點A與圓M的圓心重合時，線段PA的中垂線與直線PM的交點Q，即Q為PM的中點，因此點Q的軌跡為圓，故A選項正確；當(dāng)點A在圓M上時，PA的中垂線恒過圓心M，即點Q的軌跡為一個點M，故B選項錯誤；當(dāng)點A在圓M內(nèi)且非圓心時，，則（其中r為圓M的半徑），因此點Q的軌跡為以為焦點的橢圓，故C選項正確；當(dāng)點A在圓M外時，，則或（其中r為圓M的半徑），因此點Q的軌跡為以為焦點的雙曲線，故D正確.故選：ACD．三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.已知公差不為0的等差數(shù)列的首項為1，且，，成等比數(shù)列，則________．【答案】【解析】設(shè)等差數(shù)列的公差為，因為，，成等比數(shù)列，所以，所以，化簡整理得，解得（舍去），或，所以．故答案為：．13.已知向量，滿足，，且，則________．【答案】【解析】．故答案為：．14.2025年春晚，一場別開生面的機(jī)器人舞蹈表演震撼了觀眾．現(xiàn)在編排一個動作，機(jī)器人從原點O出發(fā)，每一次等可能地向左或向右或向上或向下移動一個單位，共移動3次．求該機(jī)器人在有且僅有一次經(jīng)過（含到達(dá)）點位置的條件下，水平方向移動2次的概率為________．【答案】【解析】設(shè)事件“有且僅有一次經(jīng)過”，事件“水平方向移動2次”，按到位置需要1步，3步分類討論．記向左，向右，向上，向下，①若1步到位為事件，則滿足要求的是LU（L或U或R），LL（L或U或D），LD（L或R或D），LR（U或D或R），所以；②若3步到位為事件，則滿足要求的是ULD，DLU，RLL，UDL，DUL所以；所以，滿足AB的情況有：LU（L或R），LD（L或R），LL（U或D），LR（U或D）．所以，所以．故答案為:．四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟．15.在中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且．（1）求角A的大??；（2）若，求的最大值．解：（1）因為，由余弦定理得，再由正弦定理得，又，所以，在中，所以，，所以，所以，又，所以；（2）由余弦定理可得，即，所以，，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時“”成立.16.已知函數(shù)．（1）若存在，使成立，求k的取值范圍；（2）已知，若在上恒成立，求k的最小值．解：（1）由得，可得存在，使成立，令，，令得，當(dāng)時，單調(diào)遞增，當(dāng)時，單調(diào)遞減，所以，若存在，使成立，則；（2），若在上恒成立，則在上恒成立，令，則，令，則（舍）或，當(dāng)時，單調(diào)遞增，當(dāng)時，單調(diào)遞減，所以，則，則k的最小值為．17.斜三棱柱各棱長為4，，D為棱上的一點．（1）求證：；（2）若平面平面ABC，且二面角的余弦值為，求BD的長．（1）證明：取AB中點O，在中，，O為AB中點，所以，在中，，，，由余弦定理可得，所以有，即，所以，又因為，平面，平面，平面，又因為平面，所以；（2）解：由（1）知且平面平面，平面平面，平面，所以平面，則，如圖以O(shè)A，OC，兩兩垂直，以O(shè)為坐標(biāo)原點，以O(shè)A，OC，方向為x軸，y軸，z軸正方向，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系．，，，，設(shè)，，，，設(shè)平面法向量為，，，可取，平面的法向量為，所以有，化簡得，所以有（舍）或者，所以．18.已知O為坐標(biāo)原點，動點P到x軸的距離為d，且，其中，均為常數(shù)，動點P的軌跡稱為曲線．（1）若曲線為雙曲線，試問，應(yīng)滿足什么條件？（2）設(shè)曲線C為曲線，點是C上位于第一象限的一點，點A，B關(guān)于原點O中心對稱，點A，D關(guān)于y軸對稱．延長AD至E，使得，且直線BE和曲線C的另一個交點G位于第二象限內(nèi)．（ⅰ）求的取值范圍；（ⅱ）設(shè)直線OA斜率為，直線AG斜率為，判斷與的關(guān)系，并求的取值范圍．解：（1）由，得，若曲線為雙曲線，則，所以可化為，則，則，所以當(dāng)，且時，曲線為雙曲線；（2）方法一：當(dāng)，時，，即，（?。┯深}意得，，設(shè)點，由，即，即，得，則，直線BE的斜率為，所以直線BG的方程為，即，聯(lián)立，得，由直線BG與雙曲線有2個交點，則，又因為滿足，由韋達(dá)定得，解得，因為，且，得，所以，又因為，可得，所以，因為，所以，所以，可得，即的取值范圍為．（ⅱ）由（ⅰ）得，所以，因為，則，則，；方法二：當(dāng)，時，，即，（?。┯深}意得，，設(shè)點，由．即，即，得，則，直線BE的斜率為，所以直線BG的方程為，設(shè)點（，），因為，所以，所以，，同理，由，兩式作差得，將直線BG方程代入并化簡得（*）所以，所以，可得，即的取值范圍為；（ⅱ）由（*）式可得，所以，由（?。┑?，所以．19.某網(wǎng)店發(fā)現(xiàn)其某款商品的日銷售量與該店在購物平臺APP的日訪問量呈線性相關(guān)關(guān)系，為了吸引更多的顧客購買該商品，在APP上推出了A和B兩款互動游戲，顧客在參與游戲后，有機(jī)會獲得優(yōu)惠券．下圖是該商品日銷售量y（單位：千件）與日訪問量x（單位：萬人次）的散點圖：（1）求出y關(guān)于x的回歸方程，并預(yù)測日訪問量12萬人次時日銷售多少千件商品；（2）A款游戲為通關(guān)游戲，游戲規(guī)則為：顧客每次挑戰(zhàn)都有的概率成功通關(guān)，一旦成功，則游戲立即結(jié)束并獲得優(yōu)惠券，如果挑戰(zhàn)失敗，可繼續(xù)挑戰(zhàn)；每位顧客共有n次挑戰(zhàn)機(jī)會，第n次無論成功與否都結(jié)束游戲．設(shè)X為游戲結(jié)束時，進(jìn)行挑戰(zhàn)的次數(shù)，X的數(shù)學(xué)期望為，證明：；（3）B款游戲為抽球游戲，游戲規(guī)則為：有個小球，編號為，參與者從中隨機(jī)抽取個小球，記錄編號后放回，再重新隨機(jī)抽取個小球，記被重復(fù)抽取的小球數(shù)為，并向參與者發(fā)放張優(yōu)惠卷，求使取得最大值時的m值．參考數(shù)據(jù)：，．參考公式：回歸方程中的斜率和截距的最小二乘估計公式分別為：，．解：（1）由題意可得：，，，，所以回歸方程，時，，所以日訪問量12萬人時銷售千件商品；（2）X可取值為，，，所以X的分布列為X123…nP…故①因為②由①②得，所以；（3）當(dāng)時，Y只能取n，故m只能取n，有；當(dāng)時，整數(shù)m滿足，其中t是0和中的較大者．兩次抽球包含的基本事件總數(shù)為，事件“”所包含的基本事件數(shù)為，此時，當(dāng)時，令，整理得到：，解得，因為，所以，當(dāng)時，顯然，當(dāng)時，，所以，故當(dāng)時，取得最大值的整數(shù)或，當(dāng)時，取得最大值的整數(shù)，其中為不超過的最大整數(shù)．遼寧省大連市2025屆高三下學(xué)期第一次模擬考試數(shù)學(xué)試卷一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.復(fù)數(shù)的虛部是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】，虛部為.故選：C2.“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充要條件D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】解不等式，可得或，因為是或的真子集，所以“”是“”的充分不必要條件.故選：A．3.已知，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】令，則，所以，即，則故選：D．4.為了了解學(xué)校質(zhì)量監(jiān)測成績，現(xiàn)隨機(jī)抽取該校200名學(xué)生的成績作為樣本進(jìn)行分析，并繪制頻率分布直方圖，若該頻率分布直方圖的組距為10，且樣本中成績在區(qū)間這一組內(nèi)的學(xué)生有40人，則在頻率分布直方圖中該組數(shù)據(jù)對應(yīng)的矩形高度為（）A.0.02 B.0.2 C.0.04 D.0.4【答案】A【解析】由題意成績在區(qū)間內(nèi)學(xué)生頻率為，因此，故選：A5.已知一個圓臺的上下底面半徑分別為3和4，母線長為，則該圓臺的側(cè)面積為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】圓臺的側(cè)面積為.故選：B．6.在的展開式中，的系數(shù)是（）A. B. C.20 D.40【答案】D【解析】，的通項為，所以的系數(shù)是.故選：D．7.已知函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，函數(shù)的圖象關(guān)于點中心對稱，若，則（）A B. C.0 D.1【答案】B【解析】由函數(shù)的圖象關(guān)于點中心對稱可知，，即，可得，因此函數(shù)具有對稱軸，由，可得，由為上的偶函數(shù)且具有對稱軸，可得．故選：B．8.古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯采用平面切割圓錐面的方法來研究圓錐曲線，如圖1，設(shè)圓錐軸截面的頂角為，用一個平面去截該圓錐面，隨著圓錐的軸和所成角的變化，截得的曲線的形狀也不同．據(jù)研究，曲線的離心率為，比如，當(dāng)時，，此時截得的曲線是拋物線．如圖2，在底面半徑為1，高為的圓錐SO中，AB、CD是底面圓O上互相垂直的直徑，E是母線SC上一點，，平面ABE截該圓錐面所得的曲線的離心率為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由題意的，，則，，所以，在中，，，，且，則，，，則，所以，由正弦定理得，，即.故選：C．二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9.已知函數(shù)，則下列說法正確的是（）A.函數(shù)的最小正周期為B.函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增C.函數(shù)的圖象的對稱軸方程為D.函數(shù)的圖象可由函數(shù)的圖象向右平移個單位長度得到【答案】AC【解析】對于A，函數(shù)的周期為，故A正確；對于B，由，得，所以的單調(diào)增區(qū)間為，故B錯誤；對于C，令，則，所以函數(shù)的圖象的對稱軸方程，故C正確；對于D，函數(shù)向右平移個單位長度得到，故D錯誤．故選：AC．10.已知數(shù)列滿足，則下列說法中正確的是（）A.若，，則是等差數(shù)列B.若，，則是等差數(shù)列C.若，，則等比數(shù)列D.若，，則是等比數(shù)列【答案】BCD【解析】對于A，當(dāng)時，若，則所以數(shù)列不是等差數(shù)列，故A錯誤；對于B，當(dāng)時，，因為，所以，即，因為，所以數(shù)列是等差數(shù)列，故B正確；對于C，當(dāng)時，有，因為，所以，即所以是等比數(shù)列，故C正確；對于D，當(dāng)時，有，因為，所以，即，因為，所以是等比數(shù)列，故D正確；故選：BCD．11.在平面內(nèi)，存在定圓M和定點A，點P是圓M上的動點，若線段PA的中垂線交直線PM于點Q，關(guān)于點Q軌跡敘述正確的是（）A.當(dāng)點A與圓心M重合時，點Q的軌跡為圓B.當(dāng)點A在圓M上時，點Q的軌跡為拋物線C.當(dāng)點A在圓M內(nèi)且不與圓心M重合時，點Q的軌跡為橢圓D.當(dāng)點A在圓M外時，點Q的軌跡為雙曲線【答案】ACD【解析】當(dāng)點A與圓M的圓心重合時，線段PA的中垂線與直線PM的交點Q，即Q為PM的中點，因此點Q的軌跡為圓，故A選項正確；當(dāng)點A在圓M上時，PA的中垂線恒過圓心M，即點Q的軌跡為一個點M，故B選項錯誤；當(dāng)點A在圓M內(nèi)且非圓心時，，則（其中r為圓M的半徑），因此點Q的軌跡為以為焦點的橢圓，故C選項正確；當(dāng)點A在圓M外時，，則或（其中r為圓M的半徑），因此點Q的軌跡為以為焦點的雙曲線，故D正確.故選：ACD．三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.已知公差不為0的等差數(shù)列的首項為1，且，，成等比數(shù)列，則________．【答案】【解析】設(shè)等差數(shù)列的公差為，因為，，成等比數(shù)列，所以，所以，化簡整理得，解得（舍去），或，所以．故答案為：．13.已知向量，滿足，，且，則________．【答案】【解析】．故答案為：．14.2025年春晚，一場別開生面的機(jī)器人舞蹈表演震撼了觀眾．現(xiàn)在編排一個動作，機(jī)器人從原點O出發(fā)，每一次等可能地向左或向右或向上或向下移動一個單位，共移動3次．求該機(jī)器人在有且僅有一次經(jīng)過（含到達(dá)）點位置的條件下，水平方向移動2次的概率為________．【答案】【解析】設(shè)事件“有且僅有一次經(jīng)過”，事件“水平方向移動2次”，按到位置需要1步，3步分類討論．記向左，向右，向上，向下，①若1步到位為事件，則滿足要求的是LU（L或U或R），LL（L或U或D），LD（L或R或D），LR（U或D或R），所以；②若3步到位為事件，則滿足要求的是ULD，DLU，RLL，UDL，DUL所以；所以，滿足AB的情況有：LU（L或R），LD（L或R），LL（U或D），LR（U或D）．所以，所以．故答案為:．四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟．15.在中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且．（1）求角A的大?。唬?）若，求的最大值．解：（1）因為，由余弦定理得，再由正弦定理得，又，所以，在中，所以，，所以，所以，又，所以；（2）由余弦定理可得，即，所以，，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時“”成立.16.已知函數(shù)．（1）若存在，使成立，求k的取值范圍；（2）已知，若在上恒成立，求k的最小值．解：（1）由得，可得存在，使成立，令，，令得，當(dāng)時，單調(diào)遞增，當(dāng)時，單調(diào)遞減，所以，若存在，使成立，則；（2），若在上恒成立，則在上恒成立，令，則，令，則（舍）或，當(dāng)時，單調(diào)遞增，當(dāng)時，單調(diào)遞減，所以，則，則k的最小值為．17.斜三棱柱各棱長為4，，D為棱上的一點．（1）求證：；（2）若平面平面ABC，且二面角的余弦值為，求BD的長．（1）證明：取AB中點O，在中，，O為AB中點，所以，在中，，，，由余弦定理可得，所以有，即，所以，又因為，平面，平面，平面，又因為平面，所以；（2）解：由（1）知且平面平面，平面平面，平面，所以平面，則，如圖以O(shè)A，OC，兩兩垂直，以O(shè)為坐標(biāo)原點，以O(shè)A，OC，方向為x軸，y軸，z軸正方向，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系．，，，，設(shè)，，，，設(shè)平面法向量為，，，可取，平面的法向量為，所以有，化簡得，所以有（舍）或者，所以．18.已知O為坐標(biāo)原點，動點P到x軸的距離為d，且，其中，均為常數(shù)，動點P的軌跡稱為曲線．（1）若曲線為雙曲線，試問，應(yīng)滿足什么條件？（2）設(shè)曲線C為曲線，點是C上位于第一象限的一點，點A，B關(guān)于原點O中心對稱，點A，D關(guān)于y軸對稱．延長AD至E，使得，且直線BE和曲線C的另一個交點G位于第二象限內(nèi)．（ⅰ）求的取值范圍；（ⅱ）設(shè)直線OA斜率為，直線AG斜率為，判斷與的關(guān)系，并求的取值范圍．解：（1）由，得，若曲線為雙曲線，則，所以可化為，則，則，所以當(dāng)，且時，曲線為雙曲線；（2）方法一：當(dāng)，時，，即，（?。┯深}意得，，設(shè)點，由，即，即，得，則，直線BE的斜率為，所以直線BG的方程為，即，聯(lián)立，得，由直線BG與雙曲線有2個交點，則，又因為滿足，由韋達(dá)定得，解得，因為，且，得，所以，又因為，可得，所以，因為，所以