期末重難點(diǎn)真題特訓(xùn)之易錯(cuò)必刷題型（浙教版上冊）（92題23個(gè)考點(diǎn)）（原卷版）

期末重難點(diǎn)真題特訓(xùn)之易錯(cuò)必刷題型（92題23個(gè)考點(diǎn)）專練【精選2023年最新考試題型專訓(xùn)】易錯(cuò)必刷題一、二次函數(shù)1．（2023上·河南周口·九年級統(tǒng)考期末）下列函數(shù)中是二次函數(shù)的是（

）A． B．C． D．2．（2022上·山東煙臺(tái)·九年級統(tǒng)考期中）若是關(guān)于x的二次函數(shù)，則m的值是．3．（2022上·九年級課時(shí)練習(xí)）已知函數(shù)y=（a+1）+（a﹣2）x（a為常數(shù)），求a的值：(1)函數(shù)為二次函數(shù)；(2)函數(shù)為一次函數(shù)．4．（2022·浙江杭州·模擬預(yù)測）已知：二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)．(1)求的值；(2)設(shè)、、均在該函數(shù)圖象上，①當(dāng)時(shí)，、、能否作為同一個(gè)三角形三邊的長？請說明理由；②當(dāng)取不小于5的任意實(shí)數(shù)時(shí)，、、一定能作為同一個(gè)三角形三邊的長，請說明理由．易錯(cuò)必刷題二、二次函數(shù)的圖象1．（2023上·浙江衢州·九年級統(tǒng)考期中）拋物線，當(dāng)時(shí)，的最大值與最小值的差為，則的值為（

）A．1 B． C．或 D．或2．（2023上·浙江衢州·九年級校考階段練習(xí)）已知二次函數(shù)，當(dāng)a取不同的值時(shí)，頂點(diǎn)在一條直線上，這條直線的表達(dá)式是．拋物線與y軸交點(diǎn)為C，當(dāng)時(shí)，C點(diǎn)經(jīng)過的路徑長為．3．（2023上·安徽滁州·九年級校聯(lián)考期末）設(shè)二次函數(shù)，的圖像的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為，．若，，且開口方向相同，則稱是的“反倍頂二次函數(shù)”．(1)請寫出二次函數(shù)的“反倍頂二次函數(shù)”；(2)已知關(guān)于的二次函數(shù)和二次函數(shù)．若函數(shù)恰是的“反倍頂二次函數(shù)”，求的值．4．（2021上·江西南昌·九年級統(tǒng)考期中）如圖，在正方形中，已知：點(diǎn)A，點(diǎn)B在拋物線上，點(diǎn)C，點(diǎn)D在x軸上．(1)求點(diǎn)A的坐標(biāo)；(2)連接交拋物線于點(diǎn)P，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．易錯(cuò)必刷題三、二次函數(shù)的性質(zhì)1．（2023上·浙江杭州·九年級校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，拋物線與軸交于點(diǎn)，點(diǎn)的橫坐標(biāo)1，點(diǎn)，點(diǎn)是該拋物線上一點(diǎn)，則下列結(jié)論：①拋物線的對稱軸是直線；②；③若，則；④若，則或．其中正確的有（

）A．②③ B．①②③ C．①②④ D．①②③④2．（2023上·浙江溫州·九年級?？计谥校┮阎魏瘮?shù)，在有最大值7，則所有滿足條件的實(shí)數(shù)的值為．3．（2023上·浙江杭州·九年級?？茧A段練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線，(1)當(dāng)時(shí)，求拋物線與x軸交點(diǎn)坐標(biāo)；(2)求拋物線的對稱軸，以及頂點(diǎn)縱坐標(biāo)的最大值；(3)若點(diǎn)，點(diǎn)在拋物線上，且．求n的取值范圍．4．（2023上·浙江杭州·九年級?？茧A段練習(xí)）【問題初探】（1）綜合與實(shí)踐數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，張老師給出了一個(gè)問題：已知二次函數(shù)，當(dāng)時(shí)，y的取值范圍為；

①小偉同學(xué)經(jīng)過分析后，將原二次函數(shù)配方成形式，確定拋物線對稱軸為直線，通過、h和2的大小關(guān)系，分別確定了最大值和最小值，進(jìn)而求出y的取值范圍；②小軍同學(xué)畫出如圖的函數(shù)圖象，通過觀察圖象確定了y的取值范圍；請你根據(jù)上述兩名同學(xué)的分析寫出y的取值范圍是；【類比分析】（2）張老師發(fā)現(xiàn)兩名同學(xué)分別從“數(shù)”和“形”的角度分析、解決問題，為了讓同學(xué)們更好感悟“數(shù)形結(jié)合”思想，張老師將前面問題變式為下面問題，請你解答：已知二次函數(shù)，當(dāng)時(shí)，求y的取值范圍；【學(xué)以致用】（3）已知二次函數(shù)，當(dāng)時(shí)，二次函數(shù)的最大值為，最小值為，若，求a的值．易錯(cuò)必刷題四、二次函數(shù)的應(yīng)用1．（2023上·浙江溫州·九年級校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，拋物線與軸交于、兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，在第三象限的拋物線上有一動(dòng)點(diǎn)，連接、，點(diǎn)在運(yùn)動(dòng)過程中，若面積最大時(shí)，則點(diǎn)的坐標(biāo)（

）A． B． C． D．2．（2023上·浙江杭州·九年級?？计谥校┤鐖D，弘益中學(xué)老師趣味運(yùn)動(dòng)跳大繩游戲，繩甩到最高處時(shí)的形狀是拋物線型，搖繩的甲、乙兩名老師拿繩的手的間距為6米，到地面的距離與均為米，繩子甩到最高點(diǎn)C處時(shí)，最高點(diǎn)距地面的垂直距離為米．跳起來最高可達(dá)米的王老師站在距點(diǎn)O水平距離為m米處，若他能夠正常跳大繩（繩子甩到最高時(shí)超過他的頭頂），則m的取值范圍是.3．（2023上·浙江·九年級校聯(lián)考階段練習(xí)）近幾年，隨著網(wǎng)絡(luò)的發(fā)展，“網(wǎng)絡(luò)直播”已成為商家銷售商品的一種手段．某商家在直播間銷售一種進(jìn)價(jià)為每件16元的商品時(shí)，經(jīng)過市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)，該商品每天銷售數(shù)量y（件）與銷售單價(jià)x（元）之間滿足一次函數(shù)關(guān)系，部分?jǐn)?shù)據(jù)如下表所示：銷售單價(jià)x／元…252627…每天銷售數(shù)量y／件…150140130…設(shè)銷售這種商品每天的利潤為W（元）(1)求每天銷售數(shù)量y（件）與銷售單價(jià)x（元）之間的函數(shù)關(guān)系式；(2)要使每天銷售的利潤W達(dá)到1280元，求該商品的銷售單價(jià)；(3)當(dāng)銷售單價(jià)不低于30元，且每天銷售量超過60件時(shí)，求W的最大值．4．（2023上·全國·九年級專題練習(xí)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)交x軸于點(diǎn)、，交y軸于點(diǎn)，在y軸上有一點(diǎn)，連接．(1)求二次函數(shù)的表達(dá)式；(2)若點(diǎn)D為拋物線在x軸負(fù)半軸上方的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求面積的最大值；(3)拋物線對稱軸上是否存在點(diǎn)P，使為等腰三角形？若存在，請直接寫出所有P點(diǎn)的坐標(biāo)，若不存在，請說明理由．易錯(cuò)必刷題五、事件的可能性1．（2023·浙江杭州·統(tǒng)考中考真題）一枚質(zhì)地均勻的正方體骰子（六個(gè)面分別標(biāo)有數(shù)字1，2，3，4，5，6），投擲5次，分別記錄每次骰子向上的一面出現(xiàn)的數(shù)字．根據(jù)下面的統(tǒng)計(jì)結(jié)果，能判斷記錄的這5個(gè)數(shù)字中一定沒有出現(xiàn)數(shù)字6的是（

）A．中位數(shù)是3，眾數(shù)是2 B．平均數(shù)是3，中位數(shù)是2C．平均數(shù)是3，方差是2 D．平均數(shù)是3，眾數(shù)是22．（2021下·江蘇無錫·八年級統(tǒng)考期末）在一個(gè)不透明的袋子中裝有個(gè)紅球、個(gè)白球和個(gè)黑球，這些球除顏色外都相同．從中任意摸出個(gè)球，摸到色的球的可能性最大．(填“紅”、“白”或“黑”)3．（2022上·九年級課時(shí)練習(xí)）世界杯決賽分成8個(gè)小組，每小組4個(gè)隊(duì)，小組進(jìn)行單循環(huán)（每個(gè)隊(duì)都與該小組的其他隊(duì)比賽一場）比賽，選出2個(gè)隊(duì)進(jìn)入16強(qiáng)，勝一場得3分，平一場得1分，負(fù)一場得0分．(1)求每小組共比賽多少場？(2)在小組比賽中，現(xiàn)有一隊(duì)得到6分，該隊(duì)出線是一個(gè)確定事件，還是不確定事件？4．（2022下·江蘇鎮(zhèn)江·八年級鎮(zhèn)江市外國語學(xué)校校考期中）數(shù)學(xué)課上，師生進(jìn)行了摸球試驗(yàn)：一只不透明的袋子中裝有編號分別為1、2、3、…、的小球（除編號外完全相同）：活動(dòng)一：當(dāng)時(shí)，從中隨機(jī)摸出一個(gè)球記錄編號后放回袋中并搖勻，再隨機(jī)摸出一個(gè)球記錄下編號后放回袋中并搖勻，重復(fù)上述操作，若事件：“記錄的編號中出現(xiàn)兩個(gè)相同的編號”是必然事件，則最少需摸______次．活動(dòng)二：當(dāng)時(shí)，從中隨機(jī)摸出一個(gè)球記錄編號后放回袋中并搖勻，再隨機(jī)摸出一個(gè)球記錄下編號后放回袋中并搖勻，重復(fù)上述操作．（1）若事件：“記錄的編號中出現(xiàn)兩個(gè)相同的編號”是必然事件，則最少需摸______次．（2）若事件：“記錄的編號中出現(xiàn)三個(gè)相同的編號”是必然事件，則最少需摸______次．活動(dòng)三：在這只裝有編號分別為1、2、3、…、的小球（除編號外完全相同）的不透明的袋子中，從中隨機(jī)摸出一個(gè)球記錄編號后放回袋中并搖勻，再隨機(jī)摸出一個(gè)球記錄下編號后放回袋中并搖勻，重復(fù)上述操作，若事件：“記錄的編號中出現(xiàn)4個(gè)相同的編號”是必然事件至少需要摸100次，則袋中有多少個(gè)小球？易錯(cuò)必刷題六、簡單事件的概率1．（2023上·浙江嘉興·九年級校聯(lián)考階段練習(xí)）若實(shí)數(shù)為不大于的非負(fù)整數(shù)，則使關(guān)于的分式方程的解為整數(shù)的概率為（）A． B． C． D．2．（2023·浙江·模擬預(yù)測）如圖，把一個(gè)轉(zhuǎn)盤分成四等份，依次標(biāo)上數(shù)字1，2，3，4，若連續(xù)自由轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)盤兩次，指針指向的數(shù)字分別記作，把作為點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)．則點(diǎn)在函數(shù)的圖象上的概率為．

3．（2023上·浙江臺(tái)州·九年級校考階段練習(xí)）隨著信息技術(shù)的迅猛發(fā)展，移動(dòng)支付已成為除了現(xiàn)金之外的一種常見的支付方式．在一次購物中，徐老師和喻老師隨機(jī)從“微信”、“支付寶”、“銀行卡”三種支付方式中各選一種方式進(jìn)行支付．(1)喻老師使用“微信”支付的概率為______；(2)求兩位老師恰好都選擇“支付寶”支付的概率．（請用畫樹狀圖或列表的方法寫出分析過程）4．（2023上·浙江·九年級校聯(lián)考階段練習(xí)）為提高學(xué)生的反詐意識，某學(xué)校組織學(xué)生參加了“反詐知識答題”活動(dòng)．該校隨機(jī)抽取部分學(xué)生答題成績進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，將成績分為四個(gè)等級：A（不合格），B（一般），C（良好），D（優(yōu)秀），并根據(jù)結(jié)果繪制成如圖所示的兩幅不完整的統(tǒng)計(jì)圖．根據(jù)圖中所給信息解答下列問題：(1)這次抽樣調(diào)查共抽取______人，其中成績?yōu)橐话愕膶W(xué)生人數(shù)______人；(2)將條形統(tǒng)計(jì)圖補(bǔ)充完整；(3)學(xué)校要從答題成績?yōu)镈的甲、乙、丙、丁四名學(xué)生中，隨機(jī)抽出兩名學(xué)生去參加市里組織的“反詐小達(dá)人”比賽，請用列表或畫樹狀圖的方法，求抽出的兩名學(xué)生恰好是甲和乙的概率．易錯(cuò)必刷題七、用頻率估計(jì)概率1．（2023上·浙江·九年級專題練習(xí)）某射擊運(yùn)動(dòng)員在同一條件下射擊，結(jié)果如表所示：根據(jù)頻率的穩(wěn)定性，這名運(yùn)動(dòng)員射擊一次擊中靶心的概率約是（）射擊總次數(shù)n1020501002005001000擊中靶心的次數(shù)m8174079158390780擊中靶心的頻率A． B． C． D．2．（2023下·上海浦東新·九年級校考階段練習(xí)）一個(gè)不透明的盒子里裝有20個(gè)紅、黃兩種顏色的小球，這些小球除顏色外其他完全相同．每次摸球前先將盒子里的球搖勻任意摸出1個(gè)球記下顏色后再放回盒子．通過大量重復(fù)摸球?qū)嶒?yàn)后發(fā)現(xiàn)，摸到黃球的頻率穩(wěn)定在0.3，那么估計(jì)盒子中黃球有個(gè)3．（2023上·浙江·九年級專題練習(xí)）已知一個(gè)不透明布袋中裝有形狀、大小、材質(zhì)完全相同的紅球和白球共5個(gè)，小明進(jìn)行多次摸球試驗(yàn)，并將數(shù)據(jù)記錄如下表：摸球次數(shù)10204060100150200紅球出現(xiàn)次數(shù)591826416181紅球出現(xiàn)的頻率0.50.450.450.4330.410.4070.405(1)從這個(gè)布袋中隨機(jī)摸出一個(gè)球，這個(gè)球恰好是紅球的概率為；(2)從這個(gè)布袋中隨機(jī)摸出兩個(gè)球，請用樹形圖或列表法求摸出的兩個(gè)球恰好“一紅一白”的概率．4．（2023上·浙江金華·九年級?？计谥校┠乘疽?元/千克的成本從果園購進(jìn)10000千克特級柑橘，在運(yùn)輸過程中，有部分柑橘損壞，該公司對剛運(yùn)到的特級柑橘進(jìn)行隨機(jī)抽查，并得到如下的“柑橘損壞率”統(tǒng)計(jì)圖．由于市場調(diào)節(jié)，特級柑橘的售價(jià)與日銷售量之間有一定的變化規(guī)律，如下表是近一段時(shí)間該水果公司的銷售記錄．特級柑橘的售價(jià)(元/千克)1415161718特級柑橘的日銷售量(千克)1000950900850800

(1)估計(jì)購進(jìn)的10000千克特級柑橘中完好的柑橘的總重量為________千克；(2)按此市場調(diào)節(jié)的規(guī)律來看，若特級柑橘的售價(jià)定為元每千克，估計(jì)日銷售量，并說明理由．(3)考慮到該水果公司的儲(chǔ)存條件，該公司打算12天內(nèi)售完這批特級柑橘（只售完好的柑橘），且售價(jià)保持不變，求該公司每日銷售該特級柑橘可能達(dá)到的最大利潤，并說明理由．易錯(cuò)必刷題八、概率的簡單應(yīng)用1．（2022·浙江寧波·九年級浙江省鄞州區(qū)宋詔橋中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）有2個(gè)信封，第一個(gè)信封內(nèi)的四張卡片上分別寫有1，2，3，4，第二個(gè)信封內(nèi)的四張卡片上分別寫有5，6，7，8，甲、乙兩人商定了一個(gè)游戲，規(guī)則是：從這兩個(gè)信封中各隨機(jī)抽取一張卡片，得到兩個(gè)數(shù)．為了使大量次游戲后對雙方都公平，獲勝規(guī)則不正確的是（

）A．第一個(gè)信封內(nèi)取出的數(shù)作為橫坐標(biāo)，第二個(gè)信封內(nèi)取出的數(shù)作為縱坐標(biāo)，所確定的點(diǎn)在直線上甲獲勝，所確定的點(diǎn)在直線上乙獲勝B．取出的兩個(gè)數(shù)乘積不大于15甲獲勝，否則乙獲勝C．取出的兩個(gè)數(shù)乘積小于20時(shí)甲得3分，否則乙得6分，游戲結(jié)束后，累計(jì)得分高的人獲勝D．取出的兩個(gè)數(shù)相加，如果得到的和為奇數(shù)，則甲獲勝，否則乙獲勝2．（2022下·北京順義·七年級統(tǒng)考期末）如圖，有8張標(biāo)記數(shù)字1-8的卡片．甲、乙兩人玩一個(gè)游戲，規(guī)則是：甲、乙兩人輪流從中取走卡片；每次可以取1張，也可以取2張，還可以取3張卡片（取2張或3張卡片時(shí)，卡片上標(biāo)記的數(shù)字必須連續(xù)）；最后一個(gè)將卡片取完的人獲勝．若甲先取走標(biāo)記2，3的卡片，乙又取走標(biāo)記7，8的卡片，接著甲取走兩張卡片，則（填“甲”或“乙”）一定獲勝；若甲首次取走標(biāo)記數(shù)字1，2，3的卡片，乙要保證一定獲勝，則乙首次取卡片的方案是．（只填一種方案即可）3．（2023上·浙江杭州·九年級浙江師范大學(xué)附屬杭州筧橋?qū)嶒?yàn)中學(xué)?？计谥校┘?、乙兩人同在如圖所示的地下車庫等電梯，兩人到1至4層的任意一層出電梯，(1)請你用畫樹狀圖或列表法求出甲、乙二人在同一層樓出電梯的概率；(2)小亮和小芳打賭說：“若甲、乙在同一層或相鄰樓層出電梯，則小亮勝，否則小芳勝”．該游戲是否公平？說明理由．4．（2023上·浙江杭州·九年級統(tǒng)考期中）如圖是兩個(gè)轉(zhuǎn)盤，每個(gè)轉(zhuǎn)盤都被圓的半徑三等分，甲轉(zhuǎn)盤的三個(gè)扇形上標(biāo)有數(shù)字2，4，6，乙轉(zhuǎn)盤的三個(gè)扇形上標(biāo)有數(shù)字1，3，5，小明和小力分別轉(zhuǎn)動(dòng)甲、乙轉(zhuǎn)盤，每入轉(zhuǎn)動(dòng)一次，記錄轉(zhuǎn)盤停止后指針指向的數(shù)字，若指針指在分界線上則重轉(zhuǎn)．

(1)兩人分別轉(zhuǎn)動(dòng)甲、乙轉(zhuǎn)盤后，可能出現(xiàn)的全部可能有哪些？請用列表或畫樹狀圖的方法表示．(2)若得到的兩數(shù)字之和是3的倍數(shù)，則小明贏；若得到的兩數(shù)字之和是7的倍數(shù)，則小力贏，此游戲公平嗎？為什么？易錯(cuò)必刷題九、圓1．（2023上·浙江紹興·九年級統(tǒng)考期中）中，，點(diǎn)為的中點(diǎn)，以點(diǎn)為圓心，長為半徑畫，則點(diǎn)與的位置關(guān)系是（）A．點(diǎn)在內(nèi) B．點(diǎn)在上C．點(diǎn)在外 D．以上均不可能2．（2023上·浙江杭州·九年級杭州外國語學(xué)校校考階段練習(xí)）如圖，AB是半徑為2的的弦，點(diǎn)C是上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，若點(diǎn)M，N分別是AB，BC中點(diǎn)，則MN長的最大值是．

3．（2023上·浙江溫州·九年級統(tǒng)考期中）如圖在的方格中有一個(gè)格點(diǎn)（頂點(diǎn)都在格點(diǎn)上）．(1)在圖1中畫出格點(diǎn)外接圓的圓心，并保留作圖痕跡．(2)在圖2中找到一個(gè)格點(diǎn)，使得．4．（2021·浙江寧波·統(tǒng)考一模）如圖，在中，，以點(diǎn)為圓心，長為半徑作圓，交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，連接．

(1)若，求的度數(shù)；(2)若，求的長．易錯(cuò)必刷題十、圖形的旋轉(zhuǎn)1．（2023上·浙江·八年級專題練習(xí)）如圖，點(diǎn)，點(diǎn)B在y軸的正半軸上，，將繞原點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)后得到，當(dāng)點(diǎn)恰好落在上時(shí)，點(diǎn)的坐標(biāo)為（

）A． B． C． D．2．（2023上·浙江寧波·八年級?？计谥校┤鐖D三條直線互相平行，且與的距離為2，與的距離為4，等邊的三個(gè)頂點(diǎn)分別在三條平行線上，則等邊的面積為．3．（2023上·浙江臺(tái)州·九年級校考階段練習(xí)）如圖，在四邊形中，，是對角線，是等邊三角形．線段繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到線段，連接．(1)求證：；(2)若，，，求的長．4．（2019·福建龍巖·九年級福建省龍巖第一中學(xué)?？计谥校╅喿x下面材料，并解決問題：

(1)如圖1等邊內(nèi)有一點(diǎn)，若點(diǎn)到頂點(diǎn)、、的距離分別為3，4，5，求的度數(shù)．為了解決本題，我們可以將繞頂點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到處，此時(shí)≌，這樣就可以利用旋轉(zhuǎn)變換，將三條線段、、轉(zhuǎn)化到一個(gè)三角形中，從而求出________；(2)基本運(yùn)用請你利用第（1）題的解答思想方法，解答下面問題已知如圖2，中，，，，為上的點(diǎn)且，求證：；(3)能力提升如圖3，在中，，，，點(diǎn)為內(nèi)一點(diǎn)，連接，，，且，求的值．易錯(cuò)必刷題十一、垂徑定理1．（2023上·浙江紹興·九年級校聯(lián)考期中）紹興是著名的“橋鄉(xiāng)”，其中有一座美麗的圓弧形石拱橋——古纖道太平橋（如圖），已知橋拱的頂部C距水面的距離為，橋弧所在的圓的半徑為，則水面的寬度是（）A． B． C． D．2．（2023上·浙江寧波·九年級?？计谥校┤鐖D由5個(gè)邊長為1的小正方形組成的“L”形，圓O經(jīng)過其頂點(diǎn)A、B、C，則圓O的半徑為．3．（2023上·浙江杭州·九年級?？计谥校┮阎堑闹睆剑?，垂足為，，，點(diǎn)在弧上，射線與射線相交于點(diǎn)．(1)求的半徑；(2)如圖，若時(shí)，求的長．4．（2023上·浙江杭州·九年級校考期中）根據(jù)素材解決問題．設(shè)計(jì)貨船通過圓形拱橋的方案素材1圖1中有一座圓拱石橋，圖2是其圓形橋拱的示意圖，查閱資料知道橋拱半徑為，測得水面寬

素材2如圖3，一艘貨船露出水面部分的橫截面為矩形，測得因水深足夠，貨船可以根據(jù)需要運(yùn)載貨物．據(jù)調(diào)查，船身下降的高度y（米）與貨船增加的載重量x（噸）滿足函數(shù)關(guān)系式

素材2問題解決任務(wù)1確定拱頂離水面的距離（C，D分別是弧和弦的中點(diǎn)）求的長任務(wù)2擬定設(shè)計(jì)方案根據(jù)圖3狀態(tài)，貨船能否通過圓形拱橋？若能，最多還能卸載多少噸貨物？若不能，至少要增加多少噸貨物才能通過？易錯(cuò)必刷題十二、圓心角1．（2023下·內(nèi)蒙古巴彥淖爾·九年級校考期中）如圖，是的兩條直徑，是劣弧的中點(diǎn)，若，則的度數(shù)是（

）

A． B． C． D．2．（2023上·九年級課時(shí)練習(xí)）如圖，是的弦，是的中點(diǎn)，交于點(diǎn)．

（1）若，則；（2）若，則．3．（2023上·浙江寧波·九年級?？计谥校┤鐖D，，是的兩條弦，點(diǎn)，分別在，上，且，是的中點(diǎn)．(1)求證：；(2)過作于點(diǎn)，當(dāng)，時(shí)，求的半徑．4．（2022上·浙江杭州·九年級校聯(lián)考期中）如圖，在中，弦相交于點(diǎn)E，連接，已知．

(1)求證：；(2)如果的半徑為5，，求的長．易錯(cuò)必刷題十三、圓周角1．（2023上·浙江杭州·九年級校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，是的直徑，，點(diǎn)是圓上不與重合的點(diǎn)，平分，交于平分，交于點(diǎn)．則以下說法：①點(diǎn)是的中點(diǎn)；②；③的最大值為18；④的最大值為．其中正確的有（

）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)2．（2023上·浙江溫州·九年級?？计谥校┤鐖D，在中，直徑交弦于點(diǎn)，點(diǎn)是的三等分點(diǎn)，連結(jié)交于點(diǎn)．若的半徑為，則的長為．3．（2023上·浙江寧波·九年級?？计谥校┤鐖D，是的直徑，弦于點(diǎn)H，點(diǎn)F為圓上一點(diǎn)且，連接，過點(diǎn)C作交AB于點(diǎn)G，交于點(diǎn)E．(1)求證：；(2)若，，求的直徑．4．（2023上·浙江·九年級專題練習(xí)）如圖，以為直徑的經(jīng)過的頂點(diǎn)C，，分別平分和，的延長線交于點(diǎn)D，連接．(1)判斷的形狀，并證明你的結(jié)論；(2)若，，求的長．易錯(cuò)必刷題十四、圓內(nèi)接四邊形1．（2023上·浙江湖州·九年級統(tǒng)考階段練習(xí)）如圖，是的直徑，點(diǎn)C、D、E在上，若，，且，則為（）A． B．6 C． D．2．（2023上·浙江紹興·九年級紹興市元培中學(xué)校聯(lián)考期中）如圖，四邊形內(nèi)接于，為的直徑，，，，則的長為．

3．（2023上·浙江杭州·九年級校考期中）如圖，在中，是上一點(diǎn)，經(jīng)過點(diǎn)、、，交于點(diǎn)，過點(diǎn)作，交于點(diǎn)，連接．(1)求證：四邊形是平行四邊形；(2)若是中點(diǎn)，證明是的直徑．4．（2019上·江蘇鹽城·九年級濱海縣第一初級中學(xué)?？茧A段練習(xí)）定義：有一個(gè)角是其對角一半的圓的內(nèi)接四邊形叫做圓美四邊形，其中這個(gè)角叫做美角．圖1

圖2

圖3(1)如圖1，若四邊形是圓美四邊形，求美角的度數(shù)．(2)在（1）的條件下，若的半徑為．①則的長是______．②如圖2，在四邊形中，若平分，求證：．(3)在（1）的條件下，如圖，若是的直徑，請用等式表示線段，，之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．易錯(cuò)必刷題十五、正多邊形1．（2023上·浙江嘉興·九年級校聯(lián)考期中）如圖，在圓內(nèi)接正六邊形中，分別交于點(diǎn)，則的度數(shù)為（）A． B． C． D．2．（2023上·浙江杭州·九年級校考期中）已知正方形與正六邊形都內(nèi)接于圓，若正方形邊長為，則．

3．（2020·湖北武漢·校聯(lián)考模擬預(yù)測）如圖，正方形內(nèi)接于，E是的中點(diǎn)，連接．

(1)求證：；(2)若，求四邊形的面積．4．（2023下·浙江臺(tái)州·九年級?？计谥校├罾蠋煄ьI(lǐng)班級同學(xué)進(jìn)行拓廣探索，通過此次探索讓同學(xué)們更深刻的了解的意義．(1)[定義]我們將正n邊形的周長L與正多邊形對應(yīng)的內(nèi)切圓的周長C的比值，稱作這個(gè)正n邊形的“正圓度”．如圖，正三角形的邊長為1，求得其內(nèi)切圓的半徑為，因此___________；(2)[探索]分別求出正方形和正六邊形的“正圓度”；(3)[總結(jié)]隨著n的增大，具有怎樣的規(guī)律，試通過計(jì)算，結(jié)合圓周率的誕生，簡要概括．易錯(cuò)必刷題十六、弧長及扇形面積1．（2023上·浙江寧波·九年級校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，點(diǎn)O是半圓的圓心，是半圓的直徑，點(diǎn)在半圓上，且，，，則過點(diǎn)D作于點(diǎn)C，則圖中陰影部分的面積是（

）A． B． C． D．2．（2023上·浙江杭州·九年級統(tǒng)考期中）如圖，有一張四邊形紙片，已知，小麗和小明各做了如圖操作，則小麗所畫面積最大扇形的弧長是，小明所畫面積最大扇形的弧長是（結(jié)果保留）．3（2023上·浙江杭州·九年級?？茧A段練習(xí)）如圖，以的一邊為直徑作交于點(diǎn)，，與邊的交點(diǎn)恰好為的中點(diǎn)，連結(jié)．(1)求證：．(2)若，求弧的長．4．（2023上·浙江湖州·九年級統(tǒng)考階段練習(xí)）如圖，在中，，以腰為直徑畫半圓，分別交，于點(diǎn)D，E．(1)求證：；(2)若，，求陰影部分弓形的面積．易錯(cuò)必刷題十七、比例線段1．（2021上·上海寶山·九年級統(tǒng)考期中）下列各組中的四條線段成比例的是（

）A． B．C． D．2．（2023上·陜西西安·九年級交大附中分校?？茧A段練習(xí)）鸚鵡螺是一類古老的軟體動(dòng)物．鸚鵡螺曲線的每個(gè)半徑和后一個(gè)半徑的比都是黃金比例，是自然界最美的鬼斧神工．如圖，P是的黃金分割點(diǎn)（），若線段的長為10cm，則的長為cm．（結(jié)果保留根號）

3．（2023上·浙江金華·九年級校聯(lián)考階段練習(xí)）已知，判斷下列比例式是否成立，并說明理由．(1)．(2)．4（2023上·浙江金華·八年級統(tǒng)考階段練習(xí)）定義：如圖1，點(diǎn)、把線段分割成、和，若以、、為邊的三角形是一個(gè)直角三角形，則稱點(diǎn)、是線段的勾股分割點(diǎn)．(1)已知點(diǎn)、是線段的勾股分割點(diǎn)，，，若，，則______．(2)如圖，在等腰直角中，，、為直線上兩點(diǎn)，滿足．①如圖2，點(diǎn)、在線段上，求證：點(diǎn)、是線段的勾股分割點(diǎn)；②如圖3，若點(diǎn)在線段上，點(diǎn)在線段的延長線上，，，求的長．易錯(cuò)必刷題十八、由平行線截得的比例線段1．（2023上·浙江·九年級周測）如圖，中，，，，的平分線交于點(diǎn)D，與的垂線相交于點(diǎn)E，過點(diǎn)D作于點(diǎn)F，則為（

）A． B． C． D．2．（2023上·九年級課時(shí)練習(xí)）如圖中，、為的三等分點(diǎn)，為的中點(diǎn)，與、分別交于、，則．

83．（2022·浙江杭州·統(tǒng)考一模）如圖，在等邊三角形中，點(diǎn)，分別是邊，上的點(diǎn)，且，連接，交于點(diǎn)(1)求證：；(2)若，求的值；(3)若點(diǎn)P恰好落在以為直徑的圓上，求的值．4．（2023上·江蘇無錫·九年級文林中學(xué)校考階段練習(xí)）【教材呈現(xiàn)】下面是華師版教材九年級上冊52頁的部分內(nèi)容：我們可以發(fā)現(xiàn)，當(dāng)兩條直線與一組平行踐相交時(shí)，所截得的線段存在一定的比例關(guān)系：．這就是如下的基本事實(shí)：兩條直線被一組平行線所截，所傅的對應(yīng)線段成比例，（簡稱“平行錢分線段成比例“

【問題原型】如圖①，中，點(diǎn)為邊上的點(diǎn)，過點(diǎn)作交為邊于點(diǎn)，點(diǎn)在邊上，直線交于點(diǎn)，交于點(diǎn)．若，，，則．【結(jié)論應(yīng)用】（1）如圖②，中，點(diǎn)在的延長線上，直線交于點(diǎn)交于點(diǎn)．求證：；（2）如圖③，中，，，，若、分別是邊、的中點(diǎn)，連接，點(diǎn)是邊上任意一點(diǎn)，連接、分別交于點(diǎn)、，則周長的最小值是．

易錯(cuò)必刷題十九、相似三角形1．（2023上·江蘇徐州·九年級統(tǒng)考期末）如圖是一張矩形紙片，點(diǎn)E是中點(diǎn)，點(diǎn)F在上，把該紙片沿折疊，點(diǎn)A、B的對應(yīng)點(diǎn)分別為、，與BC相交于點(diǎn)G，的延長線經(jīng)過點(diǎn)C．若，則的值為（

）A． B． C． D．2．（2023上·河南駐馬店·九年級統(tǒng)考期末）如圖，在矩形中，，若分別是邊上的動(dòng)點(diǎn)，且，與交于點(diǎn)，連接．則的最小值為．

3．（2023·浙江·一模）如圖，在的網(wǎng)格中，線段的端點(diǎn)都在格點(diǎn)上（兩條網(wǎng)格線的交點(diǎn)叫格點(diǎn)）．請用無刻度的直尺畫出符合要求的圖形，并保留畫圖痕跡（不要求寫畫法）．

(1)在圖1中畫出一個(gè)以為邊的，使頂點(diǎn)在格點(diǎn)上．(2)在圖2中的線段上找出一點(diǎn)，使．4．（2021上·浙江湖州·九年級統(tǒng)考期末）如圖，已知由邊長為1的小等邊三角形構(gòu)成的網(wǎng)格中，每個(gè)小等邊三角形的頂點(diǎn)稱為格點(diǎn)，以格點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形叫格點(diǎn)三角形，為格點(diǎn)三角形，請僅用無刻度直尺在網(wǎng)格中完成下列畫圖．（1）畫出繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)后得到的；（2）在邊上找一點(diǎn)，連結(jié)，使得的面積與的面積之比是2:1．（溫馨提示：請畫在答題卷相對應(yīng)的圖上）易錯(cuò)必刷題二十、兩個(gè)三角形相似的判定1、（2023上·河北邢臺(tái)·九年級邢臺(tái)市第七中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）在和中，已知，，如果從下列條件中增添一個(gè)條件，與仍不一定相似，那么這個(gè)條件是（

）A． B．C． D．2．（2023·黑龍江大慶·統(tǒng)考中考真題）在綜合與實(shí)踐課上，老師組織同學(xué)們以“矩形的折疊”為主題開展數(shù)學(xué)活動(dòng)．有一張矩形紙片如圖所示，點(diǎn)在邊上，現(xiàn)將矩形折疊，折痕為，點(diǎn)對應(yīng)的點(diǎn)記為點(diǎn)，若點(diǎn)恰好落在邊上，則圖中與一定相似的三角形是．

3．（2023上·浙江杭州·九年級校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，矩形中，，點(diǎn)是的中點(diǎn)，連接．將沿著折疊后得，延長交于，連接．(1)求證：平分．(2)求證：．4．（2023上·遼寧沈陽·九年級沈陽市第七中學(xué)校考階段練習(xí)）如圖，和都是的高，相交于F點(diǎn)，連接．

(1)求證：；(2)若點(diǎn)D是的中點(diǎn)，，則的長為__________．易錯(cuò)必刷題二十一、相似三角形的性質(zhì)及其應(yīng)用1．（2023上·浙江寧波·九年級?？计谥校┤鐖D，在中，，，，點(diǎn)是的重心，則等于(

)A． B． C． D．42．（2023上·浙江寧波·九年級校考期中）如圖，是由20個(gè)邊長為1的正