期中典例專練13：長方體和正方體的表面積增減變化問題“綜合版”-2023-2024學(xué)年五年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)典型例題系列（解析版）人教版

2023-2024學(xué)年五年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)典型例題系列期中典例專練13：長方體和正方體的表面積增減變化問題“綜合版”一、填空題。1．棱長為1dm的正方體的體積是()dm3，至少要用()個(gè)這樣的正方體才能拼成一個(gè)更大的正方體，拼成的大正方體的體積是()dm3?！敬鸢浮?88【分析】根據(jù)正方體的體積公式：體積＝棱長×棱長×棱長，代入數(shù)據(jù)，求出正方體的體積；用小正方體拼成大正方體時(shí)，大正方體的棱長是兩個(gè)小正方體的棱長組成，幾一個(gè)棱長是2dm，根據(jù)正方體的體積公式：棱長×棱長×棱長，代入數(shù)據(jù)即可求出大正方體的體積，再用大正方體的體積除以一個(gè)小正方體的體積即可求出需要多少個(gè)小正方體。【詳解】1×1×1＝1×1＝1（dm3）1×2＝2（dm）2×2×2＝8（dm3）8÷1＝8（個(gè)）棱長為1dm的正方體的體積是1dm3，至少要用8個(gè)這樣的正方體才能拼成一個(gè)更大的正方體，拼成的大正方體的體積是8dm3。2．有一根長2米的長方體木料，把它截成3段后，表面積增加了48平方分米，原來木料的體積是()平方分米。【答案】240【分析】根據(jù)題意，每鋸一下就會(huì)新露出2個(gè)橫截面，把它截成3段需要鋸2下，就會(huì)新露出4個(gè)橫截面，表面積也就是增加了4個(gè)橫截面的面積，已知表面積增加了48平方分米，用48÷4即為l個(gè)橫截面的面積；橫截面的面積×長＝體積；據(jù)此列式解答即可?！驹斀狻浚?－1）×2＝2×2＝4（個(gè)）48÷4＝12（平方分米）2米＝20分米12×20＝240（立方分米）它原來的體積是240立方分米。3．把一根1米長的長方體木材鋸成4段，表面積增加了24平方厘米，這根木材原來的體積是()立方厘米。【答案】400【分析】長方體木材鋸成4段，表面積增加了6個(gè)面，增加的面積÷6＝長方形的底面積，長方體的底面積×高＝這根木材原來的體積?！驹斀狻?米＝100厘米24÷6＝4（平方厘米）4×100＝400（立方厘米）所以，這根木材原來的體積是400立方厘米。4．一塊長方體木料，長6cm，寬4cm，高3cm，把這塊長方體木料平均切割成2個(gè)長方體，它的表面積最多可增加()cm2，最少可增加()cm2?！敬鸢浮?824【分析】根據(jù)題意可知：要想使表面積增加的最多，需要對(duì)長方體橫切，則表面積增加兩個(gè)底面積的大小；要想使表面積增加的最小，需沿著高縱切，此時(shí)表面積增加兩個(gè)側(cè)面的大小。據(jù)此解答。【詳解】表面積增加最多：＝＝(平方厘米）表面積增加最少：＝＝24(平方厘米）它的表面積最多可增加（48）cm2，最少可增加（24）cm2?！军c(diǎn)睛】5．從長7厘米、寬5厘米、高6厘米的長方體上截下一個(gè)最大的正方體，正方體的體積是()立方厘米?！敬鸢浮?25【分析】從長7厘米、寬5厘米、高6厘米的長方體上截下一個(gè)最大的正方體，這個(gè)正方體的棱長為5厘米。根據(jù)正方體的體積＝棱長×棱長×棱長，據(jù)此計(jì)算即可?！驹斀狻浚⒎嚼迕祝┘催@個(gè)正方體的體積是125立方厘米。6．把4個(gè)棱長1厘米的正方體，排成一排拼成一個(gè)長方體后，表面積減少了()平方厘米，得到長方體的體積是()立方厘米?！敬鸢浮?4【分析】把4個(gè)棱長為1厘米的正方體，排成一排拼成一個(gè)長方體，則減少了6個(gè)面，算出這6個(gè)面的面積即可得到表面積減少了多少平方厘米；求得到長方體的體積，只要求出一個(gè)正方體的體積，乘4即可解答?！驹斀狻?×1×6＝6（平方厘米）1×1×1×4＝4（立方厘米）表面積減少了6平方厘米，得到長方體的體積是4立方厘米。7．把兩個(gè)長、寬、高分別是10厘米、8厘米、2厘米的相同長方體拼成一個(gè)大長方體，這個(gè)大長方體的表面積最少是()平方厘米?！敬鸢浮?04【分析】根據(jù)長方體表面積的意義，把兩個(gè)完全一樣的小長方體拼成一個(gè)大長方體，要使表面積最小也就是把兩個(gè)小長方體的最大面重合在一起，拼成一個(gè)長10厘米，寬8厘米，高（2×2）厘米的長方體，根據(jù)長方體的表面積公式：S＝（ab＋ah＋bh）×2，把數(shù)據(jù)代入公式解答。【詳解】2×2＝4（厘米）（10×8＋10×4＋8×4）×2＝（80＋40＋32）×2＝152×2＝304（平方厘米）則這個(gè)大長方體的表面積最少是304平方厘米。8．一個(gè)長方體，左右兩個(gè)面都是正方形，它的表面積是100平方厘米，能切成2個(gè)一樣大小的正方體，每個(gè)正方體的表面積是()平方厘米?！敬鸢浮?0【分析】根據(jù)題意可知，長方體切成2個(gè)一樣大小的正方體，則長方體的長是寬2倍，也是高的2倍，設(shè)長方體的左面正方形的面積是x平方厘米；左右相等，右邊正方形面積也是x平方厘米；則其余四個(gè)面中一個(gè)面的面積是2x平方厘米，四個(gè)面積是（4×2x）平方厘米，這個(gè)長方體的表面積是100平方厘米，列方程：2x＋4×2x＝100，解方程，求出左面的面積，再乘6，即可求出正方體的表面積，據(jù)此解答?！驹斀狻拷猓涸O(shè)長方體左面的面積是x平方厘米。2x＋4×2x＝1002x＋8x＝10010x＝100x＝100÷10x＝1010×6＝60（平方厘米）一個(gè)長方體，左右兩個(gè)面都是正方形，它的表面積是100平方厘米，能切成2個(gè)一樣大小的正方體，每個(gè)正方體的表面積是60平方厘米。9．從兩個(gè)棱長為6厘米的正方體木塊上，分別鋸掉長6厘米，寬和高都是1厘米的小長方體木塊，得到甲乙兩種形狀的木塊，如圖所示。則甲的體積()乙的體積，甲的表面積()乙的表面積。（填寫“＞”“＜”或“＝”）【答案】＝＜【分析】根據(jù)題意可知，兩個(gè)正方體的體積相等，都鋸掉一個(gè)長是6厘米，寬和高都是1厘米的長方體，根據(jù)長方體體積公式：體積＝長×寬×高，兩個(gè)正方體鋸掉的體積都相等的長方體，即兩個(gè)正方體都減去一個(gè)相同的體積，甲的體積＝乙的體積；甲正方體鋸掉一個(gè)長方體，減少兩個(gè)長6厘米，寬1厘米的長方形面積，又增加兩個(gè)同樣的面積，同時(shí)加又減少兩個(gè)邊長1厘米的正方形面積，所以變面積比原來減少了兩個(gè)正方形的面積；乙正方體鋸掉一個(gè)長方體，減少一個(gè)長6厘米，寬1厘米的長方形面積和兩個(gè)邊長1厘米的正方形面積；同時(shí)又增加了三個(gè)長6厘米，寬1厘米的長方形面積，即乙增加的面積是：6×1×3－6×1－1×1×2＝10平方厘米，所以甲的表面積小于乙的表面積。據(jù)此解答?！驹斀狻扛鶕?jù)分析可知，從兩個(gè)棱長為6厘米的正方體木塊上，分別鋸掉長6厘米，寬和高都是1厘米的小長方體木塊，得到甲乙兩種形狀的木塊，如圖所示。則甲的體積＝乙的體積，甲的表面積＜乙的表面積。10．一個(gè)長方體，它的高減少4分米，就成為一個(gè)正方體，這時(shí)表面積比原來減少9600平方厘米。原來的長方體的體積是()立方分米?！敬鸢浮?60【分析】9600平方厘米＝96平方分米，如果長方體的高減少4分米，則長方體的側(cè)面積減少，根據(jù)側(cè)面積＝底面周長×高，據(jù)此可知側(cè)面減少的面積除以減少的高度，即可求出長方體的底面周長，因?yàn)楦邷p少4分米，就成為一個(gè)正方體，說明長方體的底面是一個(gè)正方形，根據(jù)正方形的周長公式，用底面周長除以4即可求出底面的長和寬，再加上4即可求出長方體原來的高，最后根據(jù)長方體的體積＝長×寬×高，代入數(shù)據(jù)即可求出原來長方體的體積。【詳解】9600平方厘米＝96平方分米96÷4＝24（分米）24÷4＝6（分米）6＋4＝10（分米）6×6×10＝360（立方分米）原來的長方體的體積是360立方分米?！军c(diǎn)睛】本題主要考查了長方體表面積公式和體積公式的靈活應(yīng)用，要注意表面積減少了哪些面是解答本題的關(guān)鍵。二、解答題。11．一根長3.2米的長方體木料截成兩段（如圖），表面積比原來增加了36平方分米，原來這根木料的體積是多少立方米？【答案】0.576立方米【分析】這根長方體木料截成兩段后，表面積比原來增加了2個(gè)長方形的面積。已知表面積比原來增加了36平方分米，用36除以2即可求出一個(gè)長方形的面積，即橫截面的面積。長方體的體積＝橫截面的面積×長，據(jù)此代入數(shù)據(jù)計(jì)算即可?！驹斀狻?.2米＝32分米36÷2×32＝18×32＝576（立方分米）576立方分米＝0.576立方米答：原來這根木料的體積是0.576立方米。12．一個(gè)長方體長16分米，高7分米，沿著水平方向橫切兩個(gè)小長方體，表面積增加160平方分米，原來長方體的體積是多少立方分米？【答案】560立方分米【分析】增加的面積就是2個(gè)長方體的底面積，增加的面積÷2＝長方體的底面積，長方體的底面積÷長方體的長＝長方體的寬，長方體的長×寬×高＝長方體的體積。據(jù)此解答?！驹斀狻?60÷2÷16=80÷16＝5（分米）16×7×5=112×5＝560（立方分米）答：原來長方體的體積是560立方分米。13．一塊長方體木料長15米，沿橫截面把它截成6段，表面積增加120平方分米，原來這塊長方體木料體積是多少立方米？【答案】1.8立方米【分析】沿橫截面平均截成6段，表面積比原來增加120平方分米，鋸了5次，增加了（5×2）個(gè)截面的面積，由此可以求出它的一個(gè)截面的面積，然后利用長方體的體積公式：V＝Sh，列式解答?！驹斀狻浚?－1）×2＝5×2＝10（面）120÷10＝12（平方分米）12平方分米＝0.12平方米0.12×15＝1.8（立方米）答：原來這塊長方體木料體積是1.8立方米。14．將兩盒糖果包裝成一包，怎樣包裝才能最節(jié)省包裝紙？（畫出草圖）需要包裝紙的面積是多少平方厘米？【答案】將上下兩個(gè)面拼起來；畫圖見詳解；1300平方厘米【分析】想最節(jié)省包裝紙就是讓拼起來的長方體表面積最小，將長方體最大的兩個(gè)面拼起來表面積最小，觀察示意圖，上下面最大，將上下兩個(gè)面拼起來即可。拼起來的大長方體長和寬不變，高＝原長方體的高×2，根據(jù)長方體表面積＝（長×寬＋長×高＋寬×高）×2，即可求出需要的包裝紙的面積。【詳解】5×2＝10（厘米）（20×15＋20×10＋15×10）×2＝（300＋200＋150）×2＝650×2＝1300（平方厘米）答：將上下兩個(gè)面拼起來最節(jié)省包裝紙，需要包裝紙的面積是1300平方厘米。15．一段長3米的長方體木料，將它截成4段后，表面積增加了30平方分米，這根木料的體積是多少立方分米？【答案】150立方分米【分析】根據(jù)題意，把木料截成4段后，表面積增加的部分是6個(gè)底面積，那么將30平方分米除以6，即可求出底面積。長方體體積＝底面積×高，由此求出木料的體積?！驹斀狻浚?－1）×2＝3×2＝6（個(gè)）30÷6＝5（平方分米）3米＝30分米5×30＝150（立方分米）答：這根木料的體積是150立方分米。16．有3盒磁帶，每盒長為11厘米，寬為7厘米，高為1.5厘米?，F(xiàn)在要用塑料薄膜將這3盒磁帶包扎在一起，至少需要多少平方厘米的塑料薄膜？（接頭處忽略不計(jì)）【答案】316平方厘米【分析】將這3盒磁帶包扎在一起，要想省包裝紙，就要把磁帶盒最大的面重合起來，使重合的面積最大，其表面積最小，則需要的塑料薄膜最少；先計(jì)算該磁帶盒每個(gè)面的面積，進(jìn)行大小比較，最大的面積為接觸面，據(jù)此算出3盒磁帶組成的大長方體的長寬高，再根據(jù)長方體表面積公式：S＝（ab＋ah＋bh）×2，將數(shù)據(jù)代入求解即可?！驹斀狻?1×7＝77（平方厘米）11×1.5＝16.5（平方厘米）1.5×7＝10.5（平方厘米）77＞16.5＞10.5，以面積為77平方厘米的面為接觸面時(shí)，用的塑料薄膜最少，此時(shí)3盒磁帶組成的大長方體的長是11厘米，寬是7厘米，高是1.5×3＝4.5（厘米）。（11×7＋11×4.5＋7×4.5）×2＝（77＋49.5＋31.5）×2＝（126.5＋31.5）×2＝158×2＝316（平方厘米）答：至少需要316平方厘米的塑料薄膜。17．一根橫截面是正方形的長方體木料，表面積為1290平方厘米。從一端鋸下一個(gè)最大的正方體后，其表面積減少了100平方厘米，這根木料最多能鋸多少個(gè)這樣的正方體？（損耗忽略不計(jì)）【答案】12個(gè)【分析】鋸下一個(gè)最大的正方體，這個(gè)正方體的棱長等于原來長方體的底面邊長，從一端鋸下一個(gè)最大的正方體后，其表面積減少了100平方厘米，實(shí)際上是減少的4個(gè)面的面積，由此可以求出鋸下的正方體的一個(gè)面的面積（也就是原來長方體的底面積），進(jìn)而求出正方體的棱長，用原來長方體的表面積，減去兩個(gè)底面的面積，進(jìn)一步求出原來長方體的4個(gè)側(cè)面的面積；用側(cè)面積除以4可以求出原來長方體的每個(gè)側(cè)面的面積，再除以底面的邊長即可求出木料的長；最后用木料的長除以每鋸一次會(huì)損耗木料的長（也就是底面的邊長），根據(jù)有余數(shù)的除法取值即可?！驹斀狻空襟w一個(gè)面的面積：100÷4＝25（平方厘米）25＝5×5，即正方體的棱長為5厘米，（1290－25×2）÷4÷5＝（1290－50）÷4÷5＝1240÷4÷5＝310÷5＝62（厘米）62÷5＝12（個(gè)）……2（厘米）答：這根木料最多能鋸12個(gè)這樣的正方體。18．一個(gè)長40厘米，橫截面是正方形的長方體，如果長增加5厘米，表面積就增加80平方厘米，求原長方體的表面積？【答案】672平方厘米【詳解】80÷5÷4=4（厘米）4×4×2+4×40×4=672（平方厘米）19．如圖所示,一個(gè)正方體和一個(gè)長方體拼成一個(gè)新的長方體,拼成的長方體的表面積比原來的長方體的表面積增加了50平方厘米,原來正方體的表面積是多少平方厘米?【答案】75平