第04講曲線形計算綜合（教師版）

曲線形計算綜合曲線形計算綜合知識點知識點曲線型問題綜合提高（六下）圓與扇形進階（五下）

課堂例題課堂例題1、在右圖中，長方形的兩邊長分別為2cm和4cm，而兩個四分之一圓弧的半徑分別是2cm和4cm，求兩個陰影部分的面積差（結果保留π）．【答案】

【解析】

．2、圖中的三角形是等腰直角三角形，那么陰影部分的面積是________．（π取近似值3.14）AACBDE4【答案】

4.56【解析】

陰影部分的面積，相當于45度扇形與半圓的面積和，再減去等腰直角三角形的面積．3、圖中的兩個直角扇形的半徑分別是2和6，那么陰影部分的面積是______．（π取近似值3.14）226【答案】

19.4【解析】

陰影部分的面積，相當于兩個直角扇形的面積和，再減去一個長方形的面積．4、圖中有半徑分別為5厘米，4厘米，3厘米的三個圓，A部分（即兩小圓重疊部分）的面積與陰影部分的面積相比，__________大，大__________．AA【答案】

一樣大【解析】

如圖所示，半徑為5厘米的圓與半徑為4厘米的圓面積之差為，它等于半徑為3厘米的圓面積，同時等于圖中陰影部分面積與B部分面積之和．而小圓面積又等于A部分的面積與B部分面積之和．因此A部分的面積與陰影部分面積相等．AAB5、三個半圓、兩個圓如圖擺放，兩個小半圓和兩個小圓的半徑都是10cm，求大半圓外的陰影面積比大半圓內的陰影面積大多少平方厘米？【答案】

【解析】

．6、如圖，在一個正方形中恰好放了四個相同的半圓，每個半圓的直徑恰好都在邊上．一些線段的長度如圖所示，那么中間的陰影面積與四個角上的陰影面積之差是多少？（π取3.14）6622666【答案】

16【解析】

如下左圖，順次連接四個半圓的圓心，將大正方形分成一個斜的正方形和四個相等的直角三角形．斜正方形里的四個扇形正好可以組成一個圓，四個三角形里的八個扇形也可以組成一個圓；因此斜正方形和四個三角形包含的扇形的面積是相等的；而它們去掉這些扇形之后，分別得到中間的陰影和四個角上的陰影；因此中間的陰影面積與四個角上的陰影面積之差就是斜正方形與四個三角形的面積之差．再看右圖，圖中八個直角三角形是完全相同的，斜正方形與四個三角形面積之差等于里面的小正方形的面積，這個小正方形的邊長為三角形的兩條直角邊之差，是，面積是；此中間的陰影面積與四個角上的陰影面積之差是16．7、圖中大圓的半徑是20厘米，7個小圓的半徑都是10厘米．那么陰影圖形的面積是_______平方厘米（取3.14）．【答案】

942【解析】

陰影部分的六分之一可以分成一個“月牙形”和四個弓形，而四個弓形的面積之和等于一個大弓形的面積（如下圖，因為大圓半徑是小圓半徑的2倍，面積是校園面積的4倍），月牙形和大弓形正好拼成半圓，所以陰影部分面積的六分之一等于半圓面積，陰影部分面積等于三個圓的面積，．8、6個半徑相等的小圓和1個大圓如圖擺放．圖中大圓的面積是120，那么，陰影部分面積是__________．【答案】

40【解析】

設大圓半徑和小圓半徑分別為和，畫出大小圓半徑發(fā)現(xiàn)它們同處一個等邊三角形，如圖1所示，兩條粗線分別為大圓半徑和小圓半徑，由等邊三角形性質和勾股定理，有，說明大圓面積是小圓面積的3倍關系，即小圓面積為40．圖2，由于三個小圓面積等于大圓面積，所以圖中．圖3，可以看出，圖2中的兩種陰影部分拼在一起可以形成扇形，一共可以形成6個120度扇形，總共為2個小圓，又因為兩種陰影部分面積相等，所以所求面積為一個小圓面積，即40．圖圖1圖2圖39、圖中大圓的半徑是5厘米，小圓的半徑是1厘米．當小圓繞大圓滾動一周又回到原來位置時，那小圓掃過區(qū)域的面積是______平方厘米．（π取近似值3.14）【答案】

50.24【解析】

滾圓掃過區(qū)域的面積，相當于以大圓圓心為圓心，內半徑為3厘米，外半徑為5厘米的一個圓環(huán)的面積．10、一只狗被拴在底座為邊長的等邊三角形建筑物的墻角上(如圖)，繩長是，求狗所能到的地方的總面積．【答案】

【解析】

羊活動的范圍是一個半徑4m，圓心角300°的扇形與兩個半徑，圓心角120°的扇形之和．所以答案是．11、如下圖，草場上有一個長20米、寬10米的關閉著的羊圈，在羊圈的一角用長30米的繩子拴著一只羊．問：這只羊能夠活動的范圍有多大？【答案】

2512平方米【解析】

如下圖．．

隨堂練習隨堂練習1、圖中正六邊形的邊長是3厘米，小圓的半徑是1厘米．當小圓繞正六邊形滾動一周又回到原來位置時，小圓掃過區(qū)域的面積是______平方厘米．（π取近似值3.14）【答案】

48.56【解析】

小圓在邊上滾動時，掃過區(qū)域的外邊界是一條線段，那么這部分圖形的相當于一個長方形；而小圓在拐角時，掃過區(qū)域外邊界是一段圓弧，那么這部分圖形相當于一個扇形，這些扇形恰好能夠組合成一個整圓．2、（2015年金帆五春）已知圖中的小圓直徑為1，圖中陰影部分的面積為_________．（π取3.14）【答案】

1.14【解析】

如圖，將中間陰影部分移至四周，可知．3、圖中陰影部分為一個空心零件的設計圖，該零件由三個半圓套成．該零件最寬處的寬度為12厘米．該零件的面積為多少平方厘米？（π取3.14）【答案】

42.39平方厘米【解析】

如圖，作出直線GHI，其中I是大半圓的圓心，G是中半圓的圓心，H是小半圓的圓心．記大、中、小半圓的半徑分別是、、．先找和的關系，如圖2，連接CI，這樣△CGI的兩條直角邊長度為，斜邊長度為a，那么；再找和的關系，如圖3，連接GF，這樣△GHF的兩條直角邊長度為，斜邊長度為，那么；所以；也就是．那么所以陰影部分的面積為42.39平方厘米．AABCDIGHEFABCDIGCDIGHEF4、如圖所示，直角三角形ABC繞點B旋轉到直角三角形EBD，°，，，則直角邊AC掃過的面積是_________．（π取3.14）EEDCBA60°510【答案】

78.5【解析】

如圖所示，直角邊AC掃過的面積即為陰影部分的面積．陰影部分面積等于大扇形和直角三角形BDE的面積和減去小扇形和直角三角形ABC的面積，所以陰影部分的面積即大扇形面積與小扇形面積的差，即．EEDCBA5、如圖所示，大正方形的邊長為10厘米，它內部有一等邊三角形ABC，邊長為5厘米，三角形從左下角開始沿正方形的邊翻轉一圈之后，頂點A所劃過的曲線的總長度為_________厘米；三角形所掃過的面積是_________平方厘米．（π取3.14）CCBAAAB【答案】

20.93，64.25【解析】

頂點A所劃過的曲線的總長度如圖1所示，洋紅色曲線，即（厘米）．三角形所掃過的面積如圖2所示陰影部分的面積，即（平方厘米）．圖1圖2圖1圖2課后作業(yè)課后作業(yè)1、圖中陰影部分的兩段圓弧所對應的圓心分別為點A和點C，AE=4m，點B是AE的中點，那么陰影部分的周長是___________m，面積是___________m2（圓周率取3）．FFEDCBA【答案】

13；7【解析】

根據(jù)圖形可知陰影部分的周長即兩段圓弧加長方形的長，所以周長為m；陰影部分的面積根據(jù)容斥原理，即為兩個扇形面積和減去長方形的面積，所以面積是平方米．2、如圖，正方形ABCD的面積是64平方厘米，E，F(xiàn)分別為所在半圓弧的中點．求陰影部分的面積．（取3.14）EEFABDC【答案】

73.12平方厘米【解析】

從圖中可以看出，兩塊空白圖形的面積等于半圓面積加上正方形面積減去△AED的面積，即，陰影部分面積等于整個圖形面積減去空白的面積，即平方厘米．3、如圖AB是圓的直徑，∠ABC=90°，AB=BC=4，則圖中陰影部分的面積是______【答案】

4【解析】

設AC交圓于D點，連結BD．易知為直角三角形，，故其為等腰直角三角形，左右對稱，因此．4、如圖，已知AB=40cm，圖中的曲線是由半徑不同的三種半圓弧平滑連接而成，那么陰影部分的面積是__________cm2．（π取3.14）BBA【答案】

628【解析】

通過圖形的旋轉，我們可以把小半圓陰影移動到如圖所示的位置，那么總共陰影的面積就等于一個大圓（半徑為20cm）的面積減去兩個小圓（半徑為10cm）的面積和，即平方厘米．5、如圖，右圖中的圓和半圓都兩兩相切，兩個小圓和三個半圓的半徑長都是1．求陰影部分的面積_________．（π取3.14）【答案】

【解析】

，．如圖所示，，故，．6、下圖是一個直徑是3厘米的半圓，AB是直徑．如圖所示，讓A點不動，把整個半圓逆時針轉60．此時B點移動到C點．請問：圖中陰影部分的面積是多少平方厘米？AABBAC60°【答案】

【解析】

．7、如圖，一只小狗被拴在一個邊長為4米的正方形建筑物的一個頂點處，四周都是空地，繩長8米．那小狗的活動范圍是多少平方米？（建筑外墻不可逾越，小狗身長忽略不計，π取近似值3）狗狗【答案】

168【解析】

小狗活動范圍是一個以8為半徑，圓心角270°的大扇形，加上兩個以4為半徑，圓心角90°的小扇形，總面積為168．8、如圖，一只小狗被拴在一個邊長為4米的正五邊形建筑物的一個頂點處，四周都是空地，繩長10米．那小狗的活動范圍是多少平方米？（建筑外墻不可逾越，小狗身長忽略不計，π取近似值3）狗狗【答案】

258【解析】

根據(jù)題意，繩子的長度應該恰好是半周長10米，那么小狗就恰好能走到建筑物外墻的任一位置．因為繩子被拴在一個固定點，所以小狗的活動范圍應該是以繩長為半徑的圓形區(qū)域，但是由于墻面的限制，所以運動范圍并不是完整的圓形，應該如下圖所示．小狗的活動范圍是a、b、c、d、e五個部分，都是扇形，其中b和e一樣，c和d一樣．五邊形的內角和是，所以每個內角為；其中a的半徑是10米，圓心角為；扇形b、e的半徑是米，圓心角為；扇形c、d的半徑是米，圓心角也為72°；所以活動范圍的總面積為：小狗活動的范圍是258平方米．aaebdc9、圖中有一個邊長為6的十字架形狀的圖形，小圓的半徑是1．當小圓繞等邊三角形滾動一周又回到原來位置時，小圓掃過區(qū)域的面積是______平方厘米．（π取近似值3）【答案】

122【解析】

小圓在邊上滾動時，掃過區(qū)域的外邊界是一條線段，那么這部分圖形的相當于一個長方形；而小圓在外拐角時，掃過區(qū)域外邊界是一段圓弧，那么這部分圖形相當于一個扇形；小圓在內拐角時．會卡住，留下的軌跡也相當于圓?。?0、（1）圖中正方形的邊長是4厘米，圓形的半徑是1厘米．當圓形繞正方形滾動一周又回到原來位置時，掃過的面積有多大？（π取3.14）（2）圖中等邊三角形的邊長是3厘米，圓形的半徑是1厘米．當圓形繞等邊三角形滾動一周又回到原來位置時，掃過的面積有多大？（π取3.14）【答案】

（1）44.56平方厘米（2）30.56平方厘米【解析】

（1）圓環(huán)繞正方形無滑動地滾動一周，得到的圖形可以分成8個部分：4個直角扇形與4個長方形．與正方形相鄰的是4個長方形，長是4，寬是2，它們的面積之和是平方厘米；4個直角扇形恰好可以拼成一個圓，半徑