用空間向量研究直線平面的位置關(guān)系精講（3大題型）（原卷版）

1.4.1用空間向量研究直線、平面的位置關(guān)系重點：1、掌握空間中點、線、面的向量表示；2、掌握平面的法向量的概念，并會用待定系數(shù)法求平面的法向量。難點：數(shù)量掌握用方向向量、法向量證明空間中的平行與垂直關(guān)系。一、空間中點的位置向量如圖，在空間中，我們?nèi)∫欢cO作為基點，那么空間中任意一點P就可以用向量eq\o(OP,\s\up6(→))來表示．我們把向量eq\o(OP,\s\up6(→))稱為點P的位置向量．二、空間中直線的向量表示式1、直線的方向向量：若A、B是直線上的任意兩點，則為直線的一個方向向量；與平行的任意非零向量也是直線的方向向量?！咀⒁狻浚?）在直線上取有向線段表示的向量，或在與它平行的直線上取有向線段表示的向量，均為直線的方向向量。（2）在解具體立體幾何題時，直線的方向向量一般不再敘述而直接應(yīng)用，可以參與向量運算或向量的坐標(biāo)運算。2、空間直線的向量表示式：直線l的方向向量為a，且過點A。如圖，取定空間中的任意一點O，可以得到點P在直線l上的充要條件是存在實數(shù)t，使eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋ta①，把eq\o(AB,\s\up6(→))＝a代入①式得eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋teq\o(AB,\s\up6(→))②，①式和②式都稱為空間直線的向量表示式．三、空間中平面的向量表示式1、平面ABC的向量表示式空間一點P位于平面ABC內(nèi)的充要條件是存在實數(shù)x，y，使，我們稱其為空間平面ABC的向量表示式。2、平面的法向量如圖，若直線，取直線的方向向量，稱為平面的法向量；過點A且以為法向量的平面完全確定，可以表示為集合3、利用待定系數(shù)法求平面法向量的步驟（1）設(shè)向量：設(shè)平面的法向量為n＝(x，y，z)（2）選向量：在平面內(nèi)選取兩個不共線向量eq\o(AB,\s\up7(→))，eq\o(AC,\s\up7(→))（3）列方程組：由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(n·\o(AB,\s\up7(→))＝0，,n·\o(AC,\s\up7(→))＝0，))列出方程組（4）解方程組：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(n·\o(AB,\s\up7(→))＝0，,n·\o(AC,\s\up7(→))＝0.))（5）賦非零值：取其中一個為非零值(常取±1)（6）得結(jié)論：得到平面的一個法向量4、求平面法向量的三個注意點（1）選向量：在選取平面內(nèi)的向量時，要選取不共線的兩個向量（2）取特值：在求n的坐標(biāo)時，可令x，y，z中一個為一特殊值得另兩個值，就是平面的一個法向量（3）注意：提前假定法向量n＝(x，y，z)的某個坐標(biāo)為某特定值時一定要注意這個坐標(biāo)不為0四、空間中直線、平面的平行1、線線平行：若分別為直線的方向向量，則使得.2、線面平行：設(shè)直線的方向向量，是平面的法向量，，則.法2：在平面內(nèi)取一個非零向量，若存在實數(shù)，使得，且，則.法3：在平面內(nèi)取兩個不共線向量，若存在實數(shù)，使得，且，則.3、面面平行：設(shè)分別是平面的法向量，則，使得.五、空間中直線、平面的垂直1、線線垂直：若分別為直線的方向向量，則.2、線面垂直：設(shè)直線的方向向量，是平面的法向量，則，使得.法2：在平面內(nèi)取兩個不共線向量，若.則.3、面面垂直：設(shè)分別是平面的法向量，則.題型一求平面的法向量【例1】（2022秋·河北滄州·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）已知，則平面ABC的一個單位法向量是（）A．B．C．D．【變式11】（2022秋·山東濟寧·高二?？茧A段練習(xí)）已知，，，則下列向量是平面法向量的是（）A．B．C．D．【變式12】（2023·江蘇·高二專題練習(xí)）《九章算術(shù)》中，將四個面都為直角三角形的四面體稱為鱉臑.在鱉臑中，平面，，.若建立如圖所示的“空間直角坐標(biāo)系，則平面的一個法向量為（）

A．B．C．D．【變式13】（2023·江蘇·高二專題練習(xí)）在棱長為2的正方體中，E，F(xiàn)分別為棱的中點，在如圖所示的空間直角坐標(biāo)系中，求：（1）平面的一個法向量；（2）平面的一個法向量.題型二利用空間向量證明平行關(guān)系【例2】（2023春·高二課時練習(xí)）已知棱長為1的正方體在空間直角坐標(biāo)系中的位置如圖所示，分別為棱的中點，求證：.【變式21】（2023春·高二課時練習(xí)）如圖，在四面體ABCD中，AD⊥平面BCD，BC⊥CD，AD=2，BD=．M是AD的中點，P是BM的中點，點Q在線段AC上，且AQ=3QC．證明：PQ平面BCD；【變式22】（2023·江蘇·高二專題練習(xí)）在如圖所示的五面體中，面是邊長為的正方形，面，，且，為的中點，為中點.求證：平面.【變式23】（2022·全國·高二專題練習(xí)）如圖，已知棱長為4的正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，M，N，E，F(xiàn)分別是棱A1D1，A1B1，D1C1，B1C1的中點，求證：平面∥平面.題型三利用向量證明垂直關(guān)系【例3】（2023春·高二課時練習(xí)）已知四棱錐中，底面為正方形，平面，，，、分別為、的中點.求證：；【變式31】（2022·全國·高三專題練習(xí)）如圖，在正方體中，，分別為，的中點．求證：平面；【變式32】（2023春·高二課時練習(xí)）如圖所示，正三棱柱AB