專題18空間向量與立體幾何全章綜合測試卷（基礎篇）（人教A版2019選擇性）

第一章空間向量與立體幾何全章綜合測試卷（基礎篇）參考答案與試題解析一．選擇題（共8小題，滿分40分，每小題5分）1．（5分）（2023·江蘇·高二專題練習）下列說法正確的是（

）A．任一空間向量與它的相反向量都不相等B．不相等的兩個空間向量的模必不相等C．同平面向量一樣，任意兩個空間向量都不能比較大小D．將空間向量所有的單位向量平移到同一起點，則它們的終點構成一個圓【解題思路】取零向量可判斷A選項；利用任意一個非零向量與其相反向量可判斷B選項；利用向量不能比大小可判斷C選項；利用單位向量的概念可判斷D選項.【解答過程】對于A選項，零向量與它的相反向量相等，A錯；對于B選項，任意一個非零向量與其相反向量不相等，但它們的模相等，B錯；對于C選項，同平面向量一樣，任意兩個空間向量都不能比較大小，C對；對于D選項，將空間向量所有的單位向量平移到同一起點，則它們的終點構成一個球，D錯.故選：C.2．（5分）（2023春·江蘇常州·高二?？茧A段練習）如圖，M是四面體OABC的棱BC的中點，點N在線段OM上，點P在線段AN上，且MN=12ON，AP=34AN，用向量OA，OB，OC表示A．14OA+C．14OA?【解題思路】根據空間向量的線性運算求得正確答案.【解答過程】OP====1故選：A.3．（5分）（2023·全國·高三對口高考）已知a=1,1,0,bA．?1 B．1 C．0 D．2【解題思路】根據空間向量的坐標運算與數量積的運算法則，求解即可.【解答過程】因為a=所以p=a?q=a+2則p?q=故選：A.4．（5分）（2023秋·山西大同·高二?？计谀┮阎臻g向量a=1,0,1,b=x,1,2，且a?A．5π6 B．2π3 C．【解題思路】利用空間向量的坐標運算，求出向量a與b的夾角的余弦值，進而可求夾角.【解答過程】因為a?b=x+0+2=3，所以x=1則有a所以cos<因為<a,b故選:D.5．（5分）（2023秋·陜西寶雞·高二統(tǒng)考期末）已知a=(2,3,?1),b=(2,0,?4),A．a⊥b B．a⊥c C．【解題思路】根據向量平行、垂直的坐標表示直接判斷即可.【解答過程】因為a?a?所以AB錯誤；因為22≠0因為?42=?6故選：D.6．（5分）（2023春·江蘇南通·高二?？茧A段練習）如圖，在三棱柱ABCA1B1C1中，BC1與B1C相交于點O，∠A1AB=∠A1AC=60°，∠BAC=90°，A1A=3，AB=AC=2，則線段AO的長度為（A．292 B．29 C．232 【解題思路】用AB,AC,AA1表示出【解答過程】因為四邊形BCC∴BO∴∵∠∴ABAB?∴AO==29∴?????即AO=29故選：A.7．（5分）（2023春·高二課時練習）布達佩斯的伊帕姆維澤蒂博物館收藏的達·芬奇方磚，在正六邊形上畫了具有視覺效果的正方體圖案（如圖1），把三片這樣的達·芬奇方磚形成圖2的組合，這個組合表達了圖3所示的幾何體．若圖3中每個正方體的棱長為1，則點A到平面QGC的距離是（

）A．14 B．12 C．22【解題思路】建立空間直角坐標系，求平面QGC的法向量，用點到平面的距離公式計算即可.【解答過程】建立空間直角坐標系如圖所示：則C(0,2,0)，Q(1,0,2)，G(0,0,2)，A(1,1,0)，QC=(?1,2,?2)，QG=(?1,0,0),AC=(?1,1,0)，設平面QGC的法向量為n=(x,y,z)，則n?QC則點A到平面QGC的距離d=n故選：C.8．（5分）（2023秋·高一單元測試）如圖，在平行六面體ABCD?A1B1C1D

A．AB．直線BD1與ACC．向量B1C與AD．AC1【解題思路】利用基底向量，結合向量模長公式即可判斷A,利用向量的夾角公式即可判斷BC,由向量垂直即可得線線垂直，進而根據線面垂直的判斷即可判斷D.【解答過程】由題意可得AB=AA又AC1=AB2+由于BD則|BD1又BD則cos<由于BB1//AA1,所以向量B1C由于BB1=BC=6,∠CB進而B1C與BB1的夾角為∠BB1CAC1?所以AC1⊥B1故AC1⊥故選：D.二．多選題（共4小題，滿分20分，每小題5分）9．（5分）（2023·全國·高一專題練習）給出下列命題，其中正確的命題是（）A．若a=b，則aB．若向量a是向量b的相反向量，則aC．在正方體ABCD?A1BD．若空間向量m，n，p滿足m=n，n【解題思路】根據向量模長，相等向量，相反向量概念逐項判斷真假.【解答過程】對于選項A：若a=b，即向量a與對于選項B：相反向量是指大小相等方向相反的兩個向量，故B正確；對于選項C：在正方體ABCD?A1B1C1D對于選項D：若m=n，n=p，則m，故選：BCD.10．（5分）（2023春·江蘇鹽城·高二校考階段練習）以下能判定空間四點P、M、A、B共面的條件是（

）A．MP=2MA+3C．PM?AB=0 D．PM【解題思路】根據空間向量的相關概念結合四點共面的結論逐項分析判斷.【解答過程】對A：若MP=2MA+3MB，結合向量基本定理知：MP,MA,MB為共面向量，故四點對B：若OP=12OA+13OB+16對C：若PM?AB=0，則PM⊥AB，可知直線PM,AB的位置關系：異面或相交，故四點P、M、A對D：若PM∥AB，可知直線PM,AB的位置關系：平行或重合，故四點P、M、A、B共面，D正確；故選：ABD.11．（5分）（2023秋·湖北襄陽·高二?？计谀┮阎蛄縜=(1,?1,m)，b=(?2,m?1,2)，則下列結論中正確的是（A．若|a|=2B．若a⊥bC．不存在實數，使得a=λD．若a?b【解題思路】運用空間向量的垂直、共線的表示及應用，以及空間向量的數量積的運算、模的運算，逐項判斷即可.【解答過程】對于A項，由|a|=2可得12對于B項，由a⊥b可得a?對于C項，假設存在實數λ，使得a=λb，則1=?2λ?1=λ(m?1)m=2λ?λ∈?對于D項，由a?b=?1可得?2+1?m+2m=?1，解得m=0故選：ACD.12．（5分）（2023秋·浙江麗水·高二統(tǒng)考期末）在棱長為2的正方體ABCD?A1B1C1D1中，P，Q分別是棱BC，CCA．若t=1，則A1BB．若t=1，則過點M，P，Q的截面面積是9C．若t=12，則點A1到平面D．若t=12，則AB與平面MPQ【解題思路】t=1時有M與A重合，對于A選項，可以利用反證法判定；對于B選項，根據平面的性質計算即可；t=12時，M為【解答過程】如圖所示，t=1時有M與A重合，對于A選項，延長PQ交BB1于L，連接AL，易得平面AB1∩平面MPQ=AL，若A1B1//平面MPQ，則A對于B項，連接AD1、D1Q，易知平面APQD1即該截面，顯然該截面為等腰梯形，易得PQ=2=1

如圖所示，t=12時，M為AB中點，以則M2,1,0MP=設平面MPQ的法向量為n=x,y,z，則令x=1，則y=1=z，故n對于C項，設點A1到平面MPQ的距離為d，則d=對于D項，設AB與平面MPQ所成角為α，則sinα=所以cosα=故選：BD.三．填空題（共4小題，滿分20分，每小題5分）13．（5分）（2023秋·上海浦東新·高二?？计谀┮阎猘=1,2,3，b=3,2,1，則a【解題思路】利用向量的數量積直接求解.【解答過程】因為a=1,2,3，所以a+所以a?故答案為：24.14．（5分）（2023·高二?？颊n時練習）已知a=(3,?2,?3)，b=(?1,x?1,1)，且a與b的夾角為鈍角，則x的取值范圍是?2,【解題思路】由a?b<0求解，再排除a與b【解答過程】因為a與b的夾角為鈍角，∴a?b由題意得a與b不共線，則?13≠x?1∴x的取值范圍是?2,5故答案為：?2,515．（5分）（2023春·云南·高二校聯考階段練習）如圖，在正方體ABCD?A1B1C1D1中，E,F分別為AB,D【解題思路】根據向量的分解和基底的定義求解.【解答過程】因為EF=所以x=?1,y=?12,z=故答案為:?1.16．（5分）（2023春·寧夏·高一?？茧A段練習）如圖1，在直角梯形EFBC中，BF∥CE，EC⊥EF，EF=1，FB=2，EC=3，A為BF中點，現沿平行于EF的AD折疊，使得ED⊥DC，如圖2所示，則關于圖2下列結論正確的有①④．

①BC⊥平面BDE

②該幾何體為三棱臺③二面角B?EF?D的大小為30°

④該幾何體的體積為2【解題思路】根據線面垂直的判定定理和性質定理即可得出①；根據棱臺的定義即可判斷②；建立空間直角坐標系，由題知AB即為平面EFD的法向量，再求出平面BEF的法向量，即可判斷出③；利用分割求出三棱錐E?BCD和四棱錐B?ADEF的體積，即可得出結論判斷④.【解答過程】因為BF∥CE，EC⊥EF，EF=1，FB=2，EC=3，A為BF中點，所以BD=A如圖作BM⊥CD，CD=2，則CM=1，BC=C所以BC即BC⊥BD，又ED⊥DA，ED⊥DC，DA,DC?平面ABCD，DA∩DC=D，所以ED⊥平面ABCD，又BC?平面ABCD，則ED⊥BC，又ED,BD?平面BDE，ED∩BD=D，所以BC⊥平面BDE，①正確；

由題知，平面ABF//平面CDE，而EF∥AD，故EF和所以該幾何體不可能為三棱臺，②錯；由題知，建立空間直角坐標系如圖，

則D0,0,0AB=0,1,0即可為平面設平面BEF的法向量為n=又BE=?1,?1,1，則n?BE=?x?y+z=0令z=1，則n=∴cos所以二面角B?EF?D的大小不是30°，③錯；該幾何體的體積V==1故答案為：①④.四．解答題（共6小題，滿分70分）17．（10分）（2023秋·高二課時練習）在正六棱柱ABCDEF?A1B

【解題思路】先利用正六棱柱的性質證得BC=【解答過程】因為六邊形ABCDEF是正六邊形，所以BC//EF，BC=EF，又在正六棱柱ABCDEF?A1B所以BC//E1F1,BC=所以AF向量BE

18．（12分）（2023春·高二課時練習）如圖所示，已知正四面體OABC的棱長為1，點E，F分別是OA，OC的中點．求下列向量的數量積：(1)OA(2)EF(3)OA【解題思路】（1）正四面體的每個面均為等邊三角形，夾角為60°，再結合空間向量數量積的運算法則，得解；（2）由EF=（3）取AB的中點D，連接DO，DC，可推出(OA+OB)?(CA【解答過程】（1）OA（2）EF?（3）取AB的中點D，連接DO，DC，則OA+OB=2在△OCD中，DO=DC=32，由余弦定理知，cos∠ODC=所以(OA19．（12分）（2023春·新疆烏魯木齊·高二?？奸_學考試）如圖所示，在平行六面體ABCD?A1B1C1D(1)用a,b,(2)設E是棱DD1上的點，且DE=23【解題思路】（1）由O為AC的中點，結合平行六面體的性質可得AO=（2）根據向量的加減法法則結合已知條件求解.【解答過程】（1）因為O為AC的中點，AB=所以AO=所以A（2）因為DE=所以EO=?=?=120．（12分）（2023秋·湖南岳陽·高二統(tǒng)考期末）已知a=(2,?1,?4),(1)若(a?b(2)若(a+3b【解題思路】（1）根據空間平行向量的性質，結合空間向量線性運算坐標表示公式進行求解即可；（2）根據空間向量互相垂直的性質，結合空間向量線性運算坐標表示公式、數量積的坐標表示公式進行求解即可；【解答過程】（1）a?b=2,?1,?4??1,k,2=3,?1?k,?6,（2）a+3b=2,?1,?4+3?1,k,2=?1,3k?1,2,a+b=21．（12分）（2023·全國·高三專題練習）如圖，在四棱錐P?ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD⊥AB，AB//DC，AD=DC=AP=2,AB=1，點E為棱PC的中點.證明：(1)BE⊥DC；(2)BE//平面PAD；(3)平面PCD⊥平面PAD.【解題思路】（1）以點A為原點建立空間直角坐標系，寫出點B,E,D,C的坐標，把BE，（2）取PD的中點，設為F，連接EF,AF，證出四邊形ABEF為平行四邊形，即得出AF//BE，利用線面平行的判定定理得到BE//平面PAD.（3）利用PA⊥DC，DC⊥AD（線線垂直）推出DC⊥面PAD（線面垂直），由于DC?面PDC，再由面面垂直的判定定理推出平面PCD⊥平面PAD.【解答過程】（1）證明：依題意，以點A為原點建立空間直角坐標系(如圖)，∵AD=DC=AP=2,AB=1，可得B(1,0,0),C(2,2,0),D(0,2,0),P(0,0,2).由E為棱PC的中點，得E(1,1,1).(1)向量BE=(0,1,1),DC=(2,0,0)所以BE?（2）取PD的中點，設為F，連接EF,AF，∵E,F分別是PD,PC的中點，∴EF//DC且EF=12DC，由題意知AB//DC，DC=2AB=2，∴EF//AB且EF=AB，即四邊形ABEF為平行四邊形，即AF//BE，∵AF?面APD,BE?面PAD，∴BE//平面（3）∵PA⊥底面ABCD，DC?底面ABCD，∴PA⊥DC，∵AD⊥AB，AB//DC，∴DC⊥AD，PA,AD?面PAD，PA∩AD=A，∴DC⊥面PAD，∵DC?面PDC，∴平面PCD⊥平面22．（12分）（2023·全國·高三專題練習）如圖，在正方體ABCD?A1B1C（1）證明：BC1//（2）求直線BC1到平面（3）求平面AD1E【解題思路】建立空間直角坐標系A?xyz，設正方體的棱長為2（1）求出平面A