2025版高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí)第五章數(shù)列第28講數(shù)列的概念與簡(jiǎn)單表示法課時(shí)達(dá)標(biāo)理含解析新人教A版

PAGEPAGE1第28講數(shù)列的概念與簡(jiǎn)潔表示法課時(shí)達(dá)標(biāo)一、選擇題1．已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an＝2n－4，n∈N*，若它的第k項(xiàng)滿意2<ak<5，則k＝()A．2 B．3C．4 D．5C解析數(shù)列{an}的第k項(xiàng)滿意2<ak<5，即2<2k－4<5，解得3<k<4.5.因?yàn)閗∈N*，所以k＝4.故選C.2．若數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn滿意Sn＝4－an(n∈N*)，則a5＝()A．16 B.eq\f(1,16)C．8 D.eq\f(1,8)D解析當(dāng)n＝1時(shí)，a1＝S1＝4－a1，所以a1＝2；當(dāng)n≥2時(shí)，an＝Sn－Sn－1＝an－1－an，所以an＝eq\f(1,2)an－1，所以數(shù)列{an}是以2為首項(xiàng)，以eq\f(1,2)為公比的等比數(shù)列，所以a5＝2×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))4＝eq\f(1,8).故選D.3．?dāng)?shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn＝2n2－3n(n∈N*)，若p－q＝5，則ap－aq＝()A．10 B．15C．－5 D．20D解析當(dāng)n≥2時(shí)，an＝Sn－Sn－1＝2n2－3n－[2(n－1)2－3(n－1)]＝4n－5；當(dāng)n＝1時(shí)，a1＝S1＝－1也符合上式，所以an＝4n－5，所以ap－aq＝4(p－q)＝20.4．函數(shù)f(x)由下表定義：x25314f(x)12345若a0＝5，an＋1＝f(an)(n∈N)，則a2018的值為()A．1 B．2C．4 D．5A解析因?yàn)閍0＝5，an＋1＝f(an)，所以a1＝f(a0)＝f(5)＝2，a2＝f(a1)＝f(2)＝1，a3＝f(a2)＝f(1)＝4，a4＝f(a3)＝f(4)＝5，a5＝f(a4)＝f(5)＝2，…，所以a1＝a5.所以{an}是以4為周期的周期數(shù)列．所以a2018＝a2＝1.5．(2024·翼州中學(xué)聯(lián)考)若數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式是an＝(－1)n(3n－2)，則a1＋a2＋…＋a10等于()A．15 B．12C．－12 D．－15A解析由題意知a1＋a2＋…＋a10＝－1＋4－7＋10－…＋(－1)10×(3×10－2)＝(－1＋4)＋(－7＋10)＋…＋[(－1)9×(3×9－2)＋(－1)10×(3×10－2)]＝3×5＝15.6．?dāng)?shù)列{an}中，an＋1＋(－1)nan＝2n－1，則數(shù)列{an}的前12項(xiàng)和等于()A．76 B．78C．80 D．82B解析由已知an＋1＋(－1)nan＝2n－1，①得an＋2＋(－1)n＋1an＋1＝2n＋1，②由①②得an＋2＋an＝(－1)n(2n－1)＋(2n＋1)，取n＝1,5,9及n＝2,6,10，結(jié)果相加可得S12＝a1＋a2＋a3＋a4＋…＋a11＋a12＝78.故選B.二、填空題7．若數(shù)列的前4項(xiàng)分別是eq\f(1,2)，－eq\f(1,3)，eq\f(1,4)，－eq\f(1,5)，則此數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式為_(kāi)_______．解析數(shù)列的前4項(xiàng)分別是eq\f(1,2)，－eq\f(1,3)，eq\f(1,4)，－eq\f(1,5)，可得奇數(shù)項(xiàng)為正數(shù)，偶數(shù)項(xiàng)為負(fù)數(shù)，第n項(xiàng)的肯定值等于eq\f(1,n＋1)，故此數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式為eq\f(－1n＋1,n＋1).答案eq\f(－1n＋1,n＋1)(答案不唯一)8．?dāng)?shù)列{an}滿意an＝eq\f(1,1－an－1)(n≥2，且n∈N*)，a7＝2，則a1＝________.解析當(dāng)a7＝2時(shí)，a7＝eq\f(1,1－a6)，a6＝eq\f(1,2)，所以eq\f(1,1－a5)＝eq\f(1,2)，a5＝－1，所以eq\f(1,1－a4)＝－1，a4＝2，所以a7＝a4，數(shù)列{an}是周期數(shù)列，故a1＝a4＝2.答案29．(2024·山東重點(diǎn)中學(xué)聯(lián)考)傳聞古希臘畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的數(shù)學(xué)家常常在沙灘上面畫(huà)點(diǎn)或用小石子表示數(shù)．他們探討過(guò)如圖所示的三角形數(shù)：將三角形數(shù)1,3,6,10，…記為數(shù)列{an}，則數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為_(kāi)_______．解析由圖可知an＋1－an＝n＋1，a1＝1，由累加法可得an＝eq\f(nn＋1,2).答案an＝eq\f(nn＋1,2)三、解答題10．?dāng)?shù)列{an}的通項(xiàng)公式是an＝n2－7n＋6(n∈N*)．(1)這個(gè)數(shù)列的第4項(xiàng)是多少？(2)150是不是這個(gè)數(shù)列的項(xiàng)？若是這個(gè)數(shù)列的項(xiàng)，它是第幾項(xiàng)？(3)該數(shù)列從第幾項(xiàng)起先各項(xiàng)都是正數(shù)？解析(1)當(dāng)n＝4時(shí)，a4＝42－4×7＋6＝－6.(2)令an＝150，即n2－7n＋6＝150，解得n＝16或n＝－9(舍去)，即150是這個(gè)數(shù)列的第16項(xiàng)．(3)令an＝n2－7n＋6>0，解得n>6或n<1(舍去)．所以從第7項(xiàng)起各項(xiàng)都是正數(shù)．11．(2024·云南昆明一模)已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn＝n2＋1，數(shù)列{bn}滿意bn＝eq\f(2,an＋1)，且前n項(xiàng)和為T(mén)n.設(shè)cn＝T2n＋1－Tn.(1)求數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式；(2)推斷數(shù)列{cn}的增減性．解析(1)a1＝S1＝2，an＝Sn－Sn－1＝2n－1(n≥2)，所以bn＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)，n＝1，,\f(1,n)，n≥2.))(2)因?yàn)閏n＝bn＋1＋bn＋2＋…＋b2n＋1＝eq\f(1,n＋1)＋eq\f(1,n＋2)＋…＋eq\f(1,2n＋1)，所以cn＋1－cn＝eq\f(1,2n＋2)＋eq\f(1,2n＋3)－eq\f(1,n＋1)＝－eq\f(1,2n＋22n＋3)<0，即cn＋1<cn，所以數(shù)列{cn}是遞減數(shù)列．12．(2024·開(kāi)封模擬)已知數(shù)列{an}中，an＝1＋eq\f(1,a＋2n－1)(n∈N*，a∈R且a≠0)．(1)若a＝－7，求數(shù)列{an}中的最大項(xiàng)和最小項(xiàng)的值；(2)若對(duì)隨意的n∈N*，都有an≤a6成立，求a的取值范圍．解析(1)因?yàn)閍n＝1＋eq\f(1,a＋2n－1)(n∈N*，a∈R，且a≠0)，又a＝－7，所以an＝1＋eq\f(1,2n－9)(n∈N*)．結(jié)合函數(shù)f(x)＝1＋eq\f(1,2x－9)的單調(diào)性，可知1＞a1＞a2＞a3＞a4，a5＞a6＞a7＞…＞an＞1(n∈N*)．所以數(shù)列{an}中的最大項(xiàng)為a5＝2，最小項(xiàng)為a4＝0.(2)an＝1＋eq\f(1,a＋2n－1)＝1＋eq\f(\f(1,2),n－\f(2－a,2))，已知對(duì)隨意的n∈N*，都有an≤a6成立，結(jié)合函數(shù)f(x)＝1＋eq\f(\f(1,2),x－\f(2－a,2))的單調(diào)性，可知5＜eq\f(2－a,2)＜6，即－10＜a＜－8.13．[選做題](2024·山西師大附中月考)定義：稱eq\f(n,P1＋P2＋…＋Pn)為n個(gè)正數(shù)P1，P2，…，Pn的“均倒數(shù)”．若數(shù)列{an}的前n項(xiàng)的“均倒數(shù)”為eq\f(1,2n－1)，則數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為()A．a(chǎn)n＝2n－1 B．a(chǎn)n＝4n－1C．a(chǎn)n＝4n－3 D．a(chǎn)n＝4n－5C解析因?yàn)閑q\f(n,a1＋