2025屆高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)第二篇考點五解析幾何考查角度4軌跡方程與探索性問題突破訓(xùn)練文

PAGEPAGE1考查角度4軌跡方程與探究性問題分類透析一軌跡方程的求解例1已知平面內(nèi)一動點P到點F(1,0)的距離與點P到y(tǒng)軸的距離的差等于1.(1)求動點P的軌跡C的方程;(2)過點F作兩條斜率存在且相互垂直的直線l1,l2,設(shè)l1與軌跡C相交于點A,B,l2與軌跡C相交于點D,E,求AD·EB的最小值.分析(1)設(shè)動點為P(x,y),依據(jù)兩點間的距離公式和點到直線的距離公式,列方程,并化簡;(2)設(shè)出直線l1的方程,與拋物線方程聯(lián)立消去y,得到關(guān)于x的一元二次方程,用韋達定理,求出兩個根的和與積.由l1與l2的關(guān)系,同理求出另外兩個根的和與積,再代入AD·EB,利用基本不等式求出其最小值.解析(1)設(shè)動點P的坐標(biāo)為(x,y),由題意得(x-1化簡得y2=2x+2|x|.當(dāng)x≥0時,y2=4x;當(dāng)x<0時,y=0.所以動點P的軌跡C的方程為y2=4x(x≥0)和y=0(x<0).(2)由題意知,直線l1的斜率存在且不為0,設(shè)為k,則l1的方程為y=k(x-1).由y=k(x-1),y2=4x,得k2x2設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則x1,x2是上述方程的兩個實根,于是x1+x2=2+4k2,x1x2=因為l1⊥l2,所以l2的斜率為-1k設(shè)D(x3,y3),E(x4,y4),則同理可得x3+x4=2+4k2,x3x4=1.故AD·EB=(AF+FD)·(EF+FB)=AF·EF+AF·FB+FD·EF+FD·FB=|AF|·|FB|+|FD|·|EF|=(x1+1)(x2+1)+(x3+1)(x4+1)=x1x2+(x1+x2)+1+x3x4+(x3+x4)+1=1+2+4k2+1+1+(2+4k2=8+4k2+1k2≥8+4×當(dāng)且僅當(dāng)k2=1k2,即k=±1時,AD·EB方法技巧干脆求曲線方程時最關(guān)鍵的就是把幾何條件或等量關(guān)系翻譯為代數(shù)方程,要留意翻譯的等價性.通常將步驟簡記為建系設(shè)點、列式、代換、化簡、證明這五個步驟,但最終的證明可以省略,假如給出了直角坐標(biāo)系則可省去建系這一步,求出曲線的方程后還需留意檢驗方程的正確性.分類透析二探究性問題例2已知橢圓E:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的離心率為32,過橢圓E的右頂點R隨意作直線l,設(shè)直線l交拋物線y2=2x于(1)求橢圓E的方程;(2)設(shè)P是橢圓E上第一象限內(nèi)的點,點P關(guān)于原點O的對稱點為A,關(guān)于x軸的對稱點為Q,線段PQ與x軸相交于點C,點D為CQ的中點,若直線AD與橢圓E的另一個交點為B,試推斷直線PA,PB是否相互垂直?并證明你的結(jié)論.分析(1)設(shè)直線l:ty=x-a,代入y2=2x并整理得方程,利用韋達定理結(jié)合OM⊥ON,即可求出橢圓方程;(2)用根與系數(shù)的關(guān)系或點差法證明kPA·kPB=-1.解析(1)設(shè)點M(x1,y1),N(x2,y2),設(shè)直線l:ty=x-a,代入y2=2x并整理得y2-2ty-2a=0,所以y故OM·ON=x1x2+y1y2=14(y1y2)2+y1y2=14×4a2-2a=a2-2a=0,解得a=又e=ca=32,所以c=3,所以橢圓E的方程為x24+y2=(2)PA⊥PB恒成立.證明如下:設(shè)B(x1,y1),P(x0,y0),則A(-x0,-y0),Dx0,-y02,x124+y12=1,x024+y02=1,兩式相減得y12又kAB=kAD=-y02+y0x0所以kPA·kPB=y0x0·-x0方法技巧涉及中點弦的問題的兩種解法:①點差法:在求解圓錐曲線且題目中已有直線與圓錐曲線相交和被截線段的中點坐標(biāo)時,設(shè)出直線和圓錐曲線的兩個交點坐標(biāo),代入圓錐曲線的方程并作差,從而求出直線的斜率,然后利用中點求出直線方程.“點差法”的常見題型有求中點弦方程、求(過定點、平行弦)弦中點軌跡、垂直平分線問題.必需提示的是“點差法”具有不等價性,即要考慮判別式Δ是否為正數(shù).②根與系數(shù)的關(guān)系:即聯(lián)立直線與圓錐曲線的方程得到方程組,化為一元二次方程后,由根與系數(shù)的關(guān)系求解.分類透析三探究滿意條件的點例3已知直線l:4x+3y+10=0,半徑為2的圓C與l相切,圓心C在x軸上且在直線l的上方.(1)求圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程.(2)隨意過點M(1,0)的直線與圓C交于A,B兩點(A在x軸上方),問在x軸正半軸上是否存在定點N,使得x軸平分∠ANB?若存在,懇求出定點N的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.解析(1)設(shè)圓心C(a,0)a>-52,則|4a+10所以圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2+y2=4.(2)當(dāng)直線AB⊥x軸時,在x軸正半軸上任一點,都可使x軸平分∠ANB.當(dāng)直線AB斜率存在時,設(shè)直線AB的方程為y=k(x-1),N(t,0),A(x1,y1),B(x2,y2),聯(lián)立圓C的方程和直線AB的方程,得x2+y2=4,y=k(x-1)?(k2故x1+x2=2k2k2+1,x1若x軸平分∠ANB,則kAN=-kBN?y1x1-t+y2x2-t=0?k(x1-1)x1-t+k(x2-1)x2-t=0?當(dāng)定點N的坐標(biāo)為(4,0)時,能使得∠ANM=∠BNM恒成立.方法技巧解決探究性問題的一般步驟:假設(shè)滿意條件的元素(點、直線、曲線或參數(shù))存在,用待定系數(shù)法設(shè)出,列出關(guān)于待定系數(shù)的方程組,若方程組有實數(shù)解,則元素(點、直線、曲線或參數(shù))存在;否則,元素(點、直線、曲線或參數(shù))不存在.1.(2024年全國Ⅰ卷,理20改編)設(shè)圓x2+y2+23x-13=0的圓心為A,直線l過點B(3,0)且與x軸不重合,l交圓A于C,D兩點,過點B作AC的平行線交AD于點E.(1)證明|EA|+|EB|為定值,并寫出點E的軌跡方程;(2)過點M1,32作直線MG,MP分別與橢圓相交于G,P兩點,滿意直線MG與MP的傾斜角互補,推斷直線解析(1)∵BE∥AC,∴△BDE∽△CAD,∴DEAD=BE∵AD=AC=4,∴DE=BE.∵AE+DE=4,∴|EA|+|EB|=4,是定值.由橢圓的定義得點E的軌跡方程為x24+y2=1(y(2)設(shè)G(x1,y1),P(x2,y2),直線MG的方程是y=k(x-1)+32,直線MP的方程是y=-k(x-1)+3聯(lián)立x24+y2=1,y=k(x-1)+32,消去y得(4k2+1)x2∵xM=1,∴x1=4k2-43k-又y1-y2=k(x1-1)+k(x2-1)=k(x1+x2)-2k,則直線GP的斜率kGP=y2-y1x2.(2024年全國Ⅱ卷,文20改編)設(shè)O為坐標(biāo)原點,動點M在圓C:x2+y2=2上,過點M作x軸的垂線,垂足為N,點P滿意2NP=NM(1)求點P的軌跡G的方程;(2)設(shè)點Q在直線x=-3上,且OM·MQ=1.證明過點M且垂直于OQ的直線l過軌跡G的左焦點F.解析(1)設(shè)P(x,y),M(x',y'),N(x',0),由2NP=NM,得2(x-x',y)=(0,y'即x-x'=0,2y=y',得x'=x,y'=2y,代入圓的方程(x')2+(y')(2)由題意知,橢圓的左焦點為F(-1,0),設(shè)M(m,n),Q(-3,t),則OM=(m,n),OQ=(-3,t),MQ=(-3-m,t-n),MF=(-1-m,-n).由OM·MQ=1,得-3m-m2+tn-n2=1.又m2+n2=2,∴3+3m-tn=0.∴OQ·MF=3+3m-tn=0,即OQ⊥MF.∵過點M存在唯始終線垂直于OQ,∴過點M且垂直于OQ的直線l過G的左焦點F.1.(安徽省淮南市2025屆高三其次次模擬考試)已知拋物線C的頂點在原點,焦點在y軸上,且拋物線上有一點P(m,5)到焦點的距離為6.(1)求該拋物線C的方程;(2)已知拋物線上一點M(4,t),過點M作拋物線的兩條弦MD和ME,且MD⊥ME,推斷直線DE是否過定點,并說明理由.解析(1)由題意設(shè)拋物線方程為x2=2py,其準(zhǔn)線方程為y=-p2∵P(m,5)到焦點的距離等于其到準(zhǔn)線的距離,∴5+p2=6,∴p=2,∴拋物線C的方程為x2=4(2)過定點(-4,8).證明如下:由(1)可得點M的坐標(biāo)為(4,4).設(shè)直線MD的方程為y=k(x-4)+4,聯(lián)立y=k(x-4)+4,x2=4y設(shè)D(x1,y1),E(x2,y2),則xM·x1=16k-16,∴x1=16k-164=4k-4,y1=(4k同理可得x2=-4k-4,y2=41∴直線DE的方程為y-4(k-1)2=4(k-1)=k+1kk-=k-1k-2(化簡得y=k-1k-2x+4k-4k=k∴直線DE過定點(-4,8).2.(江西上饒市2025屆高三上學(xué)期第一次模擬考試)已知拋物線E:y2=2px(p>0)的頂點在坐標(biāo)原點O,過拋物線E的焦點F的直線l與該拋物線交于M,N兩點,△MON面積的最小值為2.(1)求拋物線E的方程;(2)試問是否存在定點D,過點D的直線n與拋物線E交于B,C兩點,當(dāng)A,B,C三點不共線時,使得以BC為直徑的圓必過點Ap2,p.若存在,求出解析(1)設(shè)直線的方程為x=my+p2,設(shè)M(x1,y1),N(x2,y2聯(lián)立x=my+p2,y2=2px,∴y2-2pmy-p2∴|y1-y2|=(y1+y2)2∴當(dāng)m=0時,|y1-y2|最小,最小值為2p,即△MON的面積最小,∴2=12·p2·2p,解得p=2,∴拋物線E的方程為y2=(2)假設(shè)存在這樣的定點D,當(dāng)m不垂直于x軸時,可設(shè)直線為y=kx+m,明顯k≠0.聯(lián)立y=kx+m,y2=4x,∵p=2,∴點A的坐標(biāo)為(1,2).設(shè)B(x1,y1),C(x2,y2),則y1+y2=4k,y1·y2=4mk,AB·∴AB·AC=(x1-1,y1-2)·(x2-1,y2-2)=y124-1y224-1+y1y2-2(y1+y2)+4=m2k2-1化簡可得m2+6km+(5k2+8k-4)=0,即[m+(5k+2)][m+(k-2)]=0.當(dāng)m=-k+2時,y=k(x-1)+2,恒過定點(1,2),即點A不合題意;當(dāng)m=-5k-2時,y=k(x-5)-2,恒過定點D(5,-2),此時存在定點,滿意條件.簡單驗證當(dāng)直線過點D(5,-2)且垂直于x軸時,AB·AC=0,綜上,存在唯一的定點D(5,-2)滿意條件.3.(四川省德陽市2025屆高三二診考試)已知橢圓C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的兩個焦點與短軸的一個端點構(gòu)成的三角形的面積為2(1)求橢圓C的方程;(2)過點(4,0)且斜率不為零的直線l與橢圓C交于兩點M,N,點T(22,0),摸索究:直線MT與NT的斜率之積是否為常數(shù).解析(1)由題意得bc=23,c所以橢圓C的方程為x28+y2(2)由題意設(shè)直線l的方程為x=my+4,M(x1,y1),N(x2,y2),由x=my+4,x28+y22=1,所以y所以x1+x2=m(y1+y2)+8=32m2+4,x1x2=m2y1y2+4m(y1+y2)+16所以kMT·kNT=y1y2(x故直線MT與NT的斜率之積為常數(shù).4.(2025屆河南省安陽市高三第一次模擬)已知橢圓C:y2a2+x2b2=1(a>b>0)的上、下兩個焦點分別為F1、F2,過點F1與y軸垂直的直線交橢圓C于M,N兩點,△MNF2的面積為(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;(2)已知O為坐標(biāo)原點,直線l:y=kx+m與y軸交于點P,與橢圓C交于A,B兩個不同的點,若存在實數(shù)λ,使得OA+λOB=4OP,求m的取值范圍.解析(1)已知橢圓C的焦距為2c,當(dāng)y=c時,|MN|=|xM-xN|=2b由題意知△MNF2的面積為12|F1F2||MN|=c|MN|=2b2又ca=32,∴b2=1,∴a2∴橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2+y24=(2)若m=0,則P(0,0),由橢圓的對稱性得AP=PB,即OA+OB=0,∴m=0能使OA+λOB=4OP成立.若m≠0,由OA+λOB=4OP,得OP=14OA+∵A,B,P三點共線,∴1+λ=4,解得λ=3.設(shè)A(x1,kx1+m),B(x2,kx2+m),由y得(k2+4)x