8.1 直線和圓 課件-2025屆高三數(shù)學(xué)三輪專項(xiàng)復(fù)習(xí)

8.1直線和圓命題形式本專題內(nèi)容命題形式多樣,在選擇題、填空題中主要考查直線與圓的位置關(guān)系,圓錐曲

線的定義、方程和幾何性質(zhì),解答題中主要考查直線與圓錐曲線的方程及位置關(guān)系;直

線與圓錐曲線的位置關(guān)系題目涉及弦長、弦中點(diǎn)、定點(diǎn)、定值和取值范圍等問題,常

與函數(shù)、不等式等知識綜合考查,雙曲線幾何性質(zhì)的考查多集中在雙曲線的漸近線和

離心率上,而拋物線則側(cè)重考查拋物線定義在求解與距離相關(guān)的最值問題中的轉(zhuǎn)化,以及拋物線焦點(diǎn)弦的性質(zhì).結(jié)合本專題命題特點(diǎn),復(fù)習(xí)過程中需注意以下幾點(diǎn):①求解直線與圓的問題時,要注意圓

的性質(zhì)的應(yīng)用,常采用幾何法求解,同時要注意與其他知識的交匯問題;②求圓錐曲線方

程時,需關(guān)注待定系數(shù)法與定義法的應(yīng)用;③求解有關(guān)弦中點(diǎn)問題時,需關(guān)注點(diǎn)差法和根與系數(shù)的關(guān)系的應(yīng)用;④求解定值、定點(diǎn)問題時,需注意求解思路與問題轉(zhuǎn)化方法.考點(diǎn)1直線的方程1.直線的傾斜角(1)傾斜角:當(dāng)直線l與x軸相交時,我們以x軸為基準(zhǔn),x軸正向與直線l向上的方向之間所成

的角α叫做直線l的傾斜角.(2)規(guī)定:當(dāng)直線l與x軸平行或重合時,規(guī)定l的傾斜角為0°.(3)范圍:直線的傾斜角α的取值范圍是0°≤α<180°.2.直線的斜率(1)定義:當(dāng)直線l的傾斜角α≠

時,其傾斜角α的正切值tanα叫做這條直線的斜率,斜率通常用小寫字母k表示,則k=tanα.(2)范圍:全體實(shí)數(shù)R.(3)斜率公式:經(jīng)過兩點(diǎn)P1(x1,y1),P2(x2,y2)(x1≠x2)的直線的斜率公式為

=

.3.直線的方向向量直線AB上的向量

以及與它平行的非零向量都是直線AB的方向向量.若直線AB的斜率為k,

=(x,y),則k=

(x≠0).4.直線方程的幾種形式名稱條件方程適用范圍點(diǎn)斜式斜率k與點(diǎn)(x0,y0)y-y0=k(x-x0)直線的斜率必存在斜截式斜率k與直線在y軸上的截距by=kx+b直線的斜率必存在兩點(diǎn)式兩點(diǎn)(x1,y1),(x2,y2)

=

直線的斜率必存在且不為零截距式直線在x軸上的截距a與

直線在y軸上的截距b

+

=1直線的斜率必存在且不

為零,且直線不過原點(diǎn)一般式——Ax+By+C=0(A2+B2≠0)平面直角坐標(biāo)系內(nèi)的所有直線知識拓展

1.直線系方程符合特定條件的某些直線構(gòu)成一個直線系,常見的直線系方程有如下幾種:(1)過定點(diǎn)M(x0,y0)的直線系方程為y-y0=k(x-x0)(不包含直線x=x0);(2)和直線Ax+By+C=0平行的直線系方程為Ax+By+C'=0(C'≠C);(3)和直線Ax+By+C=0垂直的直線系方程為Bx-Ay+C'=0;(4)經(jīng)過兩相交直線A1x+B1y+C1=0(

+

≠0)和A2x+B2y+C2=0(

+

≠0)的交點(diǎn)的直線系方程為A1x+B1y+C1+λ(A2x+B2y+C2)=0(不包括直線A2x+B2y+C2=0).2.直線的參數(shù)方程如圖,設(shè)直線l經(jīng)過點(diǎn)P0(x0,y0),v=(m,n)是它的一個方向向量,P(x,y)是直線l上的任意一點(diǎn),

則向量

與v共線.根據(jù)向量共線的充要條件,知存在唯一的實(shí)數(shù)t,使

=tv,即(x-x0,y-y0)=t(m,n),所以

①在①中,實(shí)數(shù)t是對應(yīng)點(diǎn)P的參變數(shù),簡稱參數(shù).

5.兩直線的位置關(guān)系方程位置

關(guān)系

斜截式一般式l1:y=k1x+b1,l2:y=k2x+b2l1:A1x+B1y+C1=0(

+

≠0),l2:A2x+B2y+C2=0(

+

≠0)相交k1≠k2A1B2-A2B1≠0垂直k1k2=-1A1A2+B1B2=0平行k1=k2且b1≠b2

或

6.距離公式點(diǎn)P1(x1,y1),P2(x2,y2)之間的距離|P1P2|=

點(diǎn)P0(x0,y0)到直線l:Ax+By+C=0的距離d=

兩條平行線Ax+By+C1=0與Ax+By+C2=0間的距離d=

考點(diǎn)2圓的方程標(biāo)準(zhǔn)方程(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0)圓心為(a,b)半徑為r一般方程x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0)充要條件:D2+E2-4F>0圓心坐標(biāo):

半徑r=

知識拓展

1.同心圓系方程為(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0),其中a,b是定值,r是參數(shù).2.在平面內(nèi)給定相異兩點(diǎn)A,B,設(shè)P點(diǎn)在同一平面內(nèi),且滿足

=λ,當(dāng)λ>0且λ≠1時,P點(diǎn)的軌跡是圓,這個圓稱為阿波羅尼斯圓.(鏈接人教A版選擇性必修第一冊P89第9題)3.若圓的方程為(x-a)2+(y-b)2=r2,則圓上任意一點(diǎn)P(x,y)的坐標(biāo)可表示為

其中θ為參數(shù).(鏈接人教A版選擇性必修第一冊P89第10題)考點(diǎn)3直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系1.直線與圓的位置關(guān)系的判斷設(shè)直線l:Ax+By+C=0(A2+B2≠0),圓C:(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0),d為圓心(a,b)到直線l的距離,聯(lián)

立直線和圓的方程,消元后得到一元二次方程根的判別式Δ.位置關(guān)系圖形判斷方法公共點(diǎn)個數(shù)代數(shù)法幾何法相交

Δ>0d<r2相切

Δ=0d=r1相離

Δ<0d>r02.與圓的切線有關(guān)的結(jié)論(1)過圓x2+y2=r2上一點(diǎn)P(x0,y0)的切線方程為x0x+y0y=r2.(2)過圓(x-a)2+(y-b)2=r2上一點(diǎn)P(x0,y0)的切線方程為(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)=r2.(3)過圓x2+y2=r2外一點(diǎn)P(a,b)作圓的切線PA,PB,其中A,B為切點(diǎn),則直線AB的方程為ax+

by=r2,切線長|PA|=

.(4)過圓x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0)外一點(diǎn)P(x0,y0)引圓的切線,切點(diǎn)為T,則切線長|PT|

=

.3.直線與圓相交直線與圓相交時,若l為弦長,d為弦心距,r為半徑,則有r2=d2+

,即l=2

,求弦長或已知弦長求其他量時,一般用此公式.4.圓與圓的位置關(guān)系的判斷及公切線條數(shù)設(shè)兩圓的圓心距為d,兩圓的半徑分別為R,r(R>r),則位置關(guān)系圖形公共點(diǎn)個數(shù)d,R,r的關(guān)系公切線條數(shù)外離

0d>R+r4外切

1d=R+r3相交

2R-r<d<R+r2內(nèi)切

1d=R-r1內(nèi)含

0d<R-r0知識拓展

兩圓相交時,公共弦所在直線的方程設(shè)圓C1:x2+y2+D1x+E1y+F1=0(

+

-4F1>0)①,圓C2:x2+y2+D2x+E2y+F2=0(

+

-4F2>0)②,若兩圓相交,則有一條公共弦,由①-②,得(D1-D2)x+(E1-E2)y+F1-F2=0③.方程③表示圓C1

與C2的公共弦所在直線的方程.(鏈接人教A版選擇性必修第一冊P98練習(xí)第2題)即練即清1.判斷正誤.(對的打“√”,錯的打“?”)(1)若兩直線的傾斜角相等,則它們的斜率也一定相等.

(

)(2)若直線l的一個方向向量的坐標(biāo)為(x0,y0),則l的斜率為

.

(

)(3)不經(jīng)過原點(diǎn)的直線都可以用

+

=1表示.(

)(4)若方程x2+y2-2x+Ey+1=0表示圓,則有E≠0.

(

)(5)直線l:x=0與圓x2+y2=1的位置關(guān)系是相交且過圓心.

(

)(6)若兩圓外切,則兩圓有且只有一個公共點(diǎn),反之也成立.

(

)×××√√×2.圓x2+y2=5過點(diǎn)M(2,1)的切線方程為

.3.直線y=1-x被圓x2+y2+2y-2=0截得的弦長為

.4.圓x2-4x+y2=0與圓x2+y2+4x+3=0的公切線共有

條.2x+y-5=0

24題型一直線的傾斜角和斜率典例1

(2025屆吉林名校聯(lián)盟聯(lián)考,4)已知直線l的斜率k∈(-1,

),則直線l的傾斜角的取值范圍是

(

)A.

B.

C.

∪

D.

∪

D解析

設(shè)直線l的傾斜角為α,則k=tanα.因?yàn)閗∈(-1,

),且α∈[0,π),所以α∈

∪

.(可結(jié)合正切函數(shù)的圖象求解)故選D.變式訓(xùn)練1-1

(設(shè)問條件變式)(多選)(2025屆河北滄州月考,9)已知點(diǎn)A(-3,-5),B(2,0),直

線l過點(diǎn)P(-2,3)且與線段AB的延長線(不含點(diǎn)B)有公共點(diǎn),則直線l的斜率的取值可能為

(

)A.-

B.-

C.

D.1BC解析

由圖可知要使l與線段AB的延長線(不含點(diǎn)B)有公共點(diǎn),則kBP<kl<kAB,又kBP=

=-

,kAB=

=1,則l的斜率的取值范圍是

.故選BC.

題型二求直線、圓的方程角度1求直線的方程典例2已知A(1,0),B(-2,-1),C(2,5),若直線l經(jīng)過BC的中點(diǎn),且與直線AB平行,則l的方程

為

.y=

x+2解析

由題意知kAB=

=

,BC的中點(diǎn)坐標(biāo)為(0,2),所以l的方程為y-2=

x,即y=

x+2.變式訓(xùn)練2-1

(2025屆云南昭通市直中學(xué)月考,5)經(jīng)過直線l1:y=-2x-1和l2:y=2x+3的交點(diǎn),

且傾斜角是直線l2的傾斜角的兩倍的直線方程為(

)A.2x+y+1=0

B.x-4y+3=0C.4x+3y+1=0

D.3x+4y-1=0C解析

由

解得

則l1與l2的交點(diǎn)坐標(biāo)為(-1,1).令直線l2的傾斜角為α,則tanα=2,顯然α是銳角,則所求直線的斜率k=tan2α=

=

=-

,所以所求的直線方程為y-1=-

(x+1),即4x+3y+1=0.故選C.角度2求圓的方程典例3已知圓C的圓心在直線x+y=0上,圓C與直線x-y=0相切,且在直線x-y-3=0上截得

的弦長為

,則圓C的方程為

.(x-1)2+(y+1)2=2(或x2+y2-2x+2y=0)解析

解法一:求圓心與半徑∵所求圓的圓心在直線x+y=0上,∴可設(shè)所求圓的圓心為(a,-a).∵所求圓與直線x-y=0相切,∴半徑r=

=

|a|.又所求圓在直線x-y-3=0上截得的弦長為

,圓心(a,-a)到直線x-y-3=0的距離d=

=

,∴d2+

=r2,即

+

=2a2,解得a=1,∴圓C的方程為(x-1)2+(y+1)2=2.解法二:待定系數(shù)法(設(shè)圓的方程為標(biāo)準(zhǔn)方程)設(shè)所求圓的方程為(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0),則圓心(a,b)到直線x-y-3=0的距離d=

,∴r2=

+

,即2r2=(a-b-3)2+3.①∵所求圓與直線x-y=0相切,∴

=r,即(a-b)2=2r2.②又∵圓心在直線x+y=0上,∴a+b=0.③聯(lián)立①②③,解得

故圓C的方程為(x-1)2+(y+1)2=2.解法三:待定系數(shù)法(設(shè)圓的方程為一般方程)設(shè)所求圓的方程為x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0),則圓心為

,半徑r=

.∵圓心在直線x+y=0上,∴-

-

=0,即D+E=0.①又∵圓C與直線x-y=0相切,∴

=

,即D2+E2+2D·E-8F=0.②又知圓心

到直線x-y-3=0的距離d=

,由已知得d2+

=r2,即(D-E+6)2+12=2(D2+E2-4F).③聯(lián)立①②③,解得

故圓C的方程為x2+y2-2x+2y=0.方法總結(jié)

求圓的方程的兩種方法1.幾何法:根據(jù)圓的幾何性質(zhì),直接求出圓心坐標(biāo)和半徑,進(jìn)而寫出圓的方程.2待定系數(shù)法:(1)若已知條件與圓心(a,b)和半徑r有關(guān),則設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,依據(jù)已知條件列出關(guān)于a,b,r

的方程組,從而求出a,b,r的值;(2)若已知條件沒有明確給出圓心或半徑,則選擇設(shè)圓的一般方程,依據(jù)已知條件列出關(guān)

于D,E,F的方程組,進(jìn)而求出D,E,F的值.變式訓(xùn)練2-2

(2025屆湖南長沙長郡中學(xué)模塊測,14)設(shè)圓滿足:①截y軸所得弦長為2;②

被x軸分成兩段圓弧,其弧長的比為3∶1.在滿足條件①,②的所有圓中,圓心到直線l:x-2y

=0的距離最小的圓的方程為

.(x-1)2+(y-1)2=2或(x+1)2+(y+1)2=2解析

設(shè)圓的圓心為P(a,b),半徑為r,則點(diǎn)P到x軸,y軸的距離分別為|b|,|a|.由題設(shè)知圓P截x軸所得劣弧所對的圓心角為90°,可得圓P截x軸所得的弦長為

r,故r2=2b2,又圓P截y軸所得的弦長為2,所以有r2=a2+1,從而得2b2-a2=1.又點(diǎn)P(a,b)到直線x-2y=0的距離為d=

,所以5d2=|a-2b|2=a2+4b2-4ab≥a2+4b2-2(a2+b2)=2b2-a2=1,當(dāng)且僅當(dāng)a=b時等號成立,此時5d2

=1,從而d取得最小值.由此有

解此方程組得

或

由r2=2b2知r=

.于是,所求圓的方程是(x-1)2+(y-1)2=2或(x+1)2+(y+1)2=2.題型三直線和圓、圓和圓位置關(guān)系判斷角度1直線和圓的位置關(guān)系典例4直線l:mx-y+1-m=0與圓C:x2+(y-1)2=5的位置關(guān)系是

(

)A.相交

B.相切

C.相離

D.不確定A解析

解法一:直線系法直線l:mx-y+1-m=0過定點(diǎn)(1,1),因?yàn)?2+(1-1)2<5,則點(diǎn)(1,1)在圓x2+(y-1)2=5的內(nèi)部,所以直

線l與圓相交,故選A.解法二:幾何法因?yàn)閳AC的圓心為C(0,1),半徑r=

,則C到直線l的距離d=

=

<

=1<r=

.所以直線與圓相交.故選A.變式訓(xùn)練3-1

(關(guān)鍵元素變式)若圓x2+y2=4上恰有4個點(diǎn)到直線x-y+m=0的距離等于1,則

m的取值范圍是

.(-

,

)解析

由題意得

<1,解得-

<m<

.角度2圓和圓位置關(guān)系的判斷典例5

(多選)(2024河北衡水棗強(qiáng)中學(xué)期末,9)已知圓C1:(x+2)2+y2=1,圓C2:x2+(y-a)2=9,則

下列結(jié)論正確的是

(

)A.若C1和C2外離,則a>2

或a<-2

B.若C1和C2外切,則a=±2

C.當(dāng)a=0時,有且僅有一條直線與C1和C2均相切D.當(dāng)a=2時,C1和C2內(nèi)含ABC解析

圓C1:(x+2)2+y2=1的圓心為C1(-2,0),半徑r1=1,圓C2:x2+(y-a)2=9的圓心為C2(0,a),半徑r2=3,所以|C1C2|=

.若C1和C2外離,則|C1C2|=

>r1+r2=4,解得a>2

或a<-2

,故A正確;若C1和C2外切,則|C1C2|=

=4,解得a=±2

,故B正確;當(dāng)a=0時,|C1C2|=2=r2-r1,則C1和C2內(nèi)切,故僅有一條公切線,故C正確;當(dāng)a=2時,2=r2-r1<|C1C2|=2

<r1+r2=4,則C1和C2相交,故D錯誤.故選ABC.題型四與圓的切線相關(guān)的問題典例6已知點(diǎn)P在圓C:(x-a)2+y2=a2(a>0)上,點(diǎn)A(0,2),若|PA|的最小值為1,則過點(diǎn)A且與

圓C相切的直線方程為

(

)A.x=0或7x+24y-48=0B.x=0或7x-24y-48=0C.x=1或24x-7y-48=0D.x=1或24x+7y-48=0A解析

由圓C的方程可得圓心為C(a,0),半徑r=a,因?yàn)閨PA|的最小值為1,所以

-a=1,(圓外一定點(diǎn)A到圓上的點(diǎn)的距離的最小值為|AC|-r)解得a=

,故圓C的方程為

+y2=

.當(dāng)過點(diǎn)A(0,2)的切線斜率存在時,設(shè)切線方程為y=kx+2,則

=

,解得k=-

,所以切線方程為y=-

x+2,即7x+24y-48=0;當(dāng)過點(diǎn)A(0,2)的切線斜率不存在時,切線方程為x=0.綜上,過點(diǎn)A且與圓C相切的直線方程為x=0或7x+24y-48=0.故選A.歸納總結(jié)

過點(diǎn)(x0,y0)的圓的切線的兩種情況1.點(diǎn)(x0,y0)在圓上.(1)若切線的斜率存在且不為零,則先求切點(diǎn)與圓心連線的斜率k,再由垂直關(guān)系得切線

的斜率為-

,然后由點(diǎn)斜式可得切線方程.(2)若切線的斜率為零或不存在,則由圖形可直接得切線方程.2.點(diǎn)(x0,y0)在圓外.(1)設(shè)切線方程為y-y0=k(x-x0),由圓心到直線的距離等于半徑建立方程,可求得k,即得切

線方程.(2)當(dāng)用(1)中方法只求出一個方程時,另一個方程應(yīng)為x=x0,因?yàn)樵谏厦娴慕夥ㄖ胁话?/p>

斜率不存在的情況.(3)過圓外一點(diǎn)的切線有兩條.變式訓(xùn)練4-1

(2025屆河南省實(shí)驗(yàn)中學(xué)月考,14)已知點(diǎn)P為直線l:x+y-2=0上的動點(diǎn),過

點(diǎn)P作圓C:x2+2x+y2=0的切線PA,PB,切點(diǎn)分別為A,B,當(dāng)|PC|·|AB|最小時,直線AB的方程為

.3x+3y+1=0解析

因?yàn)閳AC:x2+2x+y2=0可化為(x+1)2+y2=1,所以圓心為C(-1,0),半徑為r=1,因?yàn)镻A,PB是圓C

的兩條切線,則PA⊥AC,PB⊥BC,由圓的知識可知,A,P,B,C四點(diǎn)共圓,且AB⊥CP,|PA|=|

PB|,所以|PC|·|AB|=4S△PAC=4×

×|PA|×|AC|=2|PA|,又|PA|=

,所以當(dāng)|PC|最小,即PC⊥l時,|PC|·|AB|取得最小值,此時PC的方程為y=x+1,聯(lián)立

解得x=

,y=

,即P

,故以PC為直徑的圓的方程為

(x+1)+y

=0,即x2+

x+y2-

y-

=0,又圓C:x2+2x+y2=0,所以兩圓的方程相減即為直線AB的方程:3x+3y+1=0.題型五與圓有關(guān)的弦長問題典例7

(多選)已知圓O:x2+y2=9,過點(diǎn)A(2,0)的動直線l與圓O相交于M,N兩點(diǎn),則

(

)A.存在直線l,使得|MN|=4B.使得|MN|為整數(shù)的直線l有3條C.存在直線l,使得△MON的面積為

D.存在直線l,使得△MON的面積為

BD解析

因?yàn)閳AO的半徑為3,|OA|=2,所以2

≤|MN|≤6,即2

≤|MN|≤6,(|MN|最短時,MN與OA垂直)故A不正確.若|MN|為整數(shù),則|MN|=5或|MN|=6,且滿足|MN|=5的直線l有2條,滿足|MN|=6的直線有1條,

故B正確.S△MON=

|OM||ON|sin∠MON=

sin∠MON,若S△MON=

,則sin∠MON=1,則∠MON=

,則O到直線l的距離為3cos

=

>2,不符合題意,故C不正確.若S△MON=

,則sin∠MON=

,則∠MON=

或

.若∠MON=

,則O到直線l的距離為3cos

=

>2,不符合題意.若∠MON=

,則O到直線l的距離為3cos

=

<2,符合題意,故D正確.故選BD.變式訓(xùn)練5-1

(關(guān)鍵元素變式)過三點(diǎn)A(1,0),B(2,1),C(2,-3)的圓與直線x-2y-1=0交于M,N

兩點(diǎn),則|MN|=

(

)A.

B.

C.

D.2

B解析

設(shè)過A,B,C三點(diǎn)的圓的方程為x2+y2+Dx+Ey+F=0,D2+E2-4F>0,則有

解得D=-6,E=2,F=5,則圓的方程為x2+y2-6x+2y+5=0,即(x-3)2+(y+1)2=5,其圓心為(3,-1),半徑r=

,點(diǎn)(3,-1)到直線x-2y-1=0的距離為d=

=

,所以|MN|=2

=2

=

.故選B.題型六對稱問題角度1點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的對稱問題典例8直線2x+11y+16=0關(guān)于點(diǎn)P(0,1)對稱的直線方程為

.2x+11y-38=0解析

解法一:由中心對稱的性質(zhì)知,所求直線與已知直線平行,故可設(shè)所求直線方程為2x+11y

+c=0(c≠16).由點(diǎn)到直線的距離公式,得

=

,即|11+c|=27,解得c=16(舍去)或c=-38.故所求直線方程為2x+11y-38=0.解法二:在直線2x+11y+16=0上取一點(diǎn)A(-8,0),則點(diǎn)A(-8,0)關(guān)于P(0,1)的對稱點(diǎn)為B(8,2).

由中心對稱的性質(zhì)知,所求直線與已知直線平行,故可設(shè)所求直線方程為2x+11y+c=0(c

≠16).將B(8,2)代入,解得c=-38.故所求直線方程為2x+11y-38=0.角度2點(diǎn)關(guān)于直線的對稱問題典例9

(2025屆吉林名校聯(lián)盟月考,14)已知點(diǎn)P(1,4),Q(6,3),直線l:x+y-3=0,M為直線l上

一動點(diǎn),則|MP|+|MQ|的最小值為

.5

解析

設(shè)P關(guān)于l的對稱點(diǎn)為P0(x0,y0),則

解得

即P0(-1,2).因?yàn)閨MP|+|MQ