7.5.1 立體幾何中的探索和動態(tài)問題 課件-2025屆高三數(shù)學(xué)三輪專項復(fù)習(xí)

7.5.1立體幾何中的探索和動態(tài)問題高考解讀

立體幾何中的探索性問題常常是條件不完備的情況下探討某些結(jié)論能否

成立,對于這類問題一般可用綜合推理的方法、分析法、特殊化法和向量法來解決.一

般此類立體幾何問題描述的是動態(tài)的過程,“動態(tài)”問題是高考立體幾何問題中具有

創(chuàng)新意識的題型,它滲透了一些“動態(tài)”的點、線、面等元素,給靜態(tài)的立體幾何題賦

予了活力,題型更新穎,結(jié)果具有不唯一性或者隱藏性,往往需要耐心嘗試及等價轉(zhuǎn)化,

因此,對于常見的探究方法的總結(jié)和探究能力的鍛煉是必不可少的.高考溯源1.存在性問題的探索(2019北京,16,14分)如圖,在四棱錐P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,AD⊥CD,AD∥BC,PA=

AD=CD=2,BC=3.E為PD的中點,點F在PC上,且

=

.(1)求證:CD⊥平面PAD;(2)求二面角F-AE-P的余弦值;(3)設(shè)點G在PB上,且

=

.判斷直線AG是否在平面AEF內(nèi),說明理由.解析

(1)證明:因為PA⊥平面ABCD,CD?平面ABCD,所以PA⊥CD,又因為AD⊥CD,PA∩AD=A,所以CD⊥平面PAD.(2)過A作AD的垂線交BC于點M.因為PA⊥平面ABCD,所以PA⊥AM,PA⊥AD.如圖建立

空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz,則A(0,0,0),B(2,-1,0),C(2,2,0),D(0,2,0),P(0,0,2).

因為E為PD的中點,所以E(0,1,1).所以

=(0,1,1),

=(2,2,-2),

=(0,0,2).所以

=

=

,

=

+

=

.設(shè)平面AEF的法向量為n=(x,y,z),則

即

令z=1,則y=-1,x=-1.于是n=(-1,-1,1).又因為平面PAD的一個法向量為p=(1,0,0),所以cos<n,p>=

=-

.由題知,二面角F-AE-P為銳角,所以其余弦值為

.(3)直線AG在平面AEF內(nèi).因為點G在PB上,且

=

,

=(2,-1,-2),所以

=

=

,

=

+

=

.由(2)知,平面AEF的一個法向量n=(-1,-1,1).所以

·n=-

+

+

=0.所以直線AG在平面AEF內(nèi).一題多解

(2)∵PA=AD且E為PD的中點,∴AE⊥PD.由(1)知CD⊥AE,又∵PD∩CD=D,∴AE⊥平面PCD,又EF?平面PCD,∴AE⊥EF,故可知∠FEP為二面角F-AE-P的平面角.∵PE=

=

,PF=

=

,cos∠CPD=

=

,∴sin∠CPD=

,∴EF2=

+(

)2-2×

×

×

=

,∴EF=

,在△PEF中,由正弦定理得

=

,得sin∠FEP=

=

,又∠FEP為銳角,∴cos∠FEP=

=

.故二面角F-AE-P的余弦值為

.技巧

立體幾何中探索性問題的求解策略:先建立空間直角坐標(biāo)系,引入?yún)?shù)(有些是題中已給出),設(shè)出關(guān)鍵點的坐標(biāo),然后探究這

樣的點是否存在,或參數(shù)是否滿足要求,從而作出判斷.①對于存在判斷型問題的求解,應(yīng)先假設(shè)存在,把要成立的結(jié)論當(dāng)作條件,據(jù)此列方程或

方程組,把“是否存在”問題轉(zhuǎn)化為“點的坐標(biāo)是否有解,是否有規(guī)定范圍內(nèi)的解”問

題.②對于位置探究型問題,通常借助向量,引進(jìn)參數(shù),綜合已知和結(jié)論列出等式,解出參數(shù).高考仿真如圖,在四棱錐P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,AD⊥CD,AD∥BC,PA=AD=CD=

2,BC=3,E為PD的中點,點F在棱PC上,且PC=3PF,點G在棱PB上,且

=λ.(1)求證:CD⊥平面PAD;(2)當(dāng)λ=

時,求點G到平面AEF的距離;(3)是否存在實數(shù)λ,使得A,E,F,G四點共面?若存在,求出λ的值;若不存在,說明理由.

解析

(1)證明:由PA⊥平面ABCD,CD?平面ABCD,得PA⊥CD,又AD⊥CD,且PA∩AD=A,PA,

AD?平面PAD,所以CD⊥平面PAD.(2)以A為原點,平面ABCD內(nèi)與AD垂直的直線為x軸,

,

的方向為y軸,z軸的正方向建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz,

則A(0,0,0),P(0,0,2),C(2,2,0),D(0,2,0),B(2,-1,0),由

=

可得

=

+

=(0,0,2)+

(2,2,-2)=

,由

=

可得E(0,1,1),則

=(0,1,1),設(shè)平面AEF的法向量為m=(x,y,z),則

令y=1,得x=1,z=-1,所以平面AEF的一個法向量為m=(1,1,-1),因為

=

,所以G

,

=

,所以點G到平面AEF的距離為

=

=

.(3)假設(shè)存在實數(shù)λ,使得A,E,F,G四點共面.由

=λ

可得

=λ(2,-1,-2)=(2λ,-λ,-2λ),則

=

+

=(0,0,2)+(2λ,-λ,-2λ)=(2λ,-λ,2-2λ),若A,E,F,G四點共面,則AG在平面AEF內(nèi),又平面AEF的一個法向量為m=(1,1,-1),所以m·

=0,即2λ-λ+2λ-2=0,可得λ=

.所以存在實數(shù)λ=

,使得A,E,F,G四點共面.2.動態(tài)問題的探索(多選)(2021新高考Ⅰ,12,5分)在正三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=AA1=1,點P滿足

=λ

+μ

,其中λ∈[0,1],μ∈[0,1],則

(

)A.當(dāng)λ=1時,△AB1P的周長為定值B.當(dāng)μ=1時,三棱錐P-A1BC的體積為定值C.當(dāng)λ=

時,有且僅有一個點P,使得A1P⊥BPD.當(dāng)μ=

時,有且僅有一個點P,使得A1B⊥平面AB1PBD解析

對于選項A,如圖1,當(dāng)λ=1時,

=

+μ

,即

=μ

,此時點P在線段CC1上運動,△AB1P的周長會因點P的運動而發(fā)生變化,故選項A錯誤.對于選項B,如圖2,當(dāng)μ=1時,

=λ

+

,即

=λ

,此時點P在線段B1C1上運動,點A1到平面BCP的距離不變,△BCP的面積不變,由

=

知,三棱錐P-A1BC的體積不會因點P的運動而發(fā)生變化,故選項B正確.對于選項C,如圖3,當(dāng)λ=

時,

=

+μ

,分別取BC,B1C1的中點E,F,連接EF,此時點P在線段EF上運動,當(dāng)點P在點F處時,易知A1P⊥平面BCC1B1,又BP?平面BCC1B1,所以A1P

⊥BP;當(dāng)點P不在點F處時,若A1P⊥BP,只需A1P在平面BCC1B1上的射影PF與BP垂直即可,當(dāng)且僅當(dāng)點P在點E處滿足題意,所以有兩點E,F,使得A1P⊥BP,故選項C錯誤.對于選項D,如圖4,當(dāng)μ=

時,

=λ

+

,分別取BB1,CC1的中點M,N,連接MN,此時點P在線段MN上運動,取B1C1的中點D,連接BD,易知A1B在平面BCC1B1上的射影為BD,因為

A1B⊥AB1,所以只需BD與B1P垂直即可,當(dāng)且僅當(dāng)點P在點N處滿足題意,故選項D正確,故

選BD.

歸納總結(jié)求解動態(tài)范圍的選擇題、填空題,有時應(yīng)把這類動態(tài)的變化過程充分地展

現(xiàn)出來,通過動態(tài)思維,觀察它的變化規(guī)律,找到兩個極端位置,即用特殊法求解范圍.高考仿真

(多選)(2024江蘇蘇錫常鎮(zhèn)一模,11)如圖,在棱長為2的正方體ABCD-A1B1C1D1

中,E為棱AA1的中點,點F滿足

=λ

(0≤λ≤1),則

(

)

A.當(dāng)λ=0時,AC1⊥平面BDFB.對任意λ∈[0,1],三棱錐F-BDE的體積是定值C.存在λ∈[0,1],使得AC與平面BDF所成的角為

D.當(dāng)λ=

時,平面BDF截該正方體的外接球所得截面的面積為

πACD解析

λ=0時,F與A1重合,平面BDF為平面BDA1,易證AC1⊥平面BDA1,∴AC1⊥平面BDF,A正確.∵A1B1不與平面BDE平行,∴F到平面BDE的距離不為定值,∴三棱錐F-BDE的體積不為

定值,B錯誤.當(dāng)F在A1處時,易得AC與平面BDF所成角的正弦值為

<

,此時AC與平面BDF所成角小于

,當(dāng)F在B1處時,AC與平面BDF所成角為

>

,∴存在λ∈[0,1],使得AC與平面BDF所成角為

,C正確.如圖所示建系,則D(0,0,0),B(2,2,0),F(2,2λ,2),A(2,0,0),C(0,2,0),

設(shè)平面BDF的法向量為n=(x,y,z),則

∴

不妨令x=1,則y=-1,z=λ-1,n=(1,-1,λ-1),由λ=

,得F

,n=

,易知球心O的坐標(biāo)為(1,1,1),則O到平面BDF的距離d=

=

,又外接球半徑R=

=

,∴截面圓半徑r=

=

,S=πr2=

π,D正確,故選ACD.高考變式動點的軌跡類型探索典例

(2023北京市東直門中學(xué)開學(xué)測試,9)已知正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為2,點P

為正方形ABCD所在平面內(nèi)一動點,給出下列三個命題:①若點P總滿足PD1⊥DC1,則動點P的軌跡是一條直線;②若點P到直線BB1與到平面CDD1C1的距離相等,則動點P的軌跡是拋物線;③若點P到直線DD1的距離與到點C的距離之和為2,則動點P的軌跡是橢圓.其中正確的命題個數(shù)是

(

)A.0

B.1

C.2

D.3C解析

對于①,如圖,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,連接BD1,CD1,

因為四邊形CDD1C1為正方形,所以CD1⊥DC1,又BC⊥平面CDD1C1,DC1?平面CDD1C1,所以BC⊥DC1,又CD1∩BC=C,CD1,BC?平面BCD1,所以DC1⊥平面BCD1,平面BCD1∩平面ABCD=BC,P∈平面ABCD,點P總滿足PD1⊥DC1,所以P∈平面BCD1,所

以P∈BC,則動點P的軌跡是一條直線,①正確;對于②,BB1⊥平面ABCD