6.1 數列的概念及表示 課件-2025屆高三數學三輪專項復習

6.1數列的概念及表示命題形式本專題內容是高考必考內容之一,小題重點考查等差、等比數列的概念、性質、通項

公式和前n項和公式.解答題?？疾榍髷盗械耐椆郊扒蠛偷姆椒?重點體現錯位相

減法、裂項相消法及分組、并項求和法的應用.數列與其他知識相結合的創(chuàng)新題型也

是近年考試的熱點.復習時應注重基礎,提升能力,保證計算的準確性,重視分類討論、

邏輯推理、轉化與化歸思想的應用.考點1數列的有關概念1.數列的概念:一般地,把按照確定的順序排列的一列數稱為數列,數列中的每一個數叫

做這個數列的項.2.數列的通項公式如果數列{an}的第n項an與序號n之間的關系可以用一個式子an=f(n)來表示,那么這個式

子叫做這個數列的通項公式.注意

(1)并不是所有的數列都有通項公式;(2)同一個數列的通項公式在形式上未必唯一.3.數列的遞推公式:如果已知數列{an}的第一項(或前幾項),且從第二項(或某一項)開始,

任何一項an與它的前一項

(n≥2)(或前幾項)間的關系可以用一個式子來表示,那么這個式子叫做數列{an}的遞推公式.4.數列{an}的前n項和:從數列{an}的第一項起到第n項止的各項之和,記作Sn,即Sn=a1+a2+

…+an.an與Sn的關系為an=

5.數列的最大項和最小項:在數列{an}中,若an最大,則

若an最小,則

其中n≥2.考點2數列的分類1.按項與項之間的大小關系分類(1)若

>an(n∈N*),則{an}為遞增數列;(2)若

<an(n∈N*),則{an}為遞減數列;(3)若

=an,則{an}為常數列;(4)從第二項起,有些項大于它的前一項,有些項小于它的前一項,則{an}為擺動數列.2.按項數分類:若數列的項數是有限項,則為有窮數列.若數列的項數是無限項,則為無窮

數列.考點3數列與函數的關系數列{an}是從正整數集N*(或它的有限子集{1,2,3,…,n})到實數集R的函數,其自變

量是序號n,對應的函數值是數列的第n項an,記為an=f(n),即當自變量從1開始,按照從小

到大的順序依次取值時所對應的一列函數值就是數列{an},另一方面,對于函數y=f(x),

如果f(n)(n∈N*)有意義,那么f(1),f(2),…,f(n),…構成一個數列{f(n)}.即練即清1.判斷正誤.(正確的打“√”,錯誤的打“?”)(1)相同的一組數按不同順序排列時都表示同一個數列.

(

)(2)任何一個數列都可以寫出其通項公式.

(

)(3)若數列用圖象表示,則從圖象上看是一群孤立的點.

(

)(4)若數列{an}的前n項和為Sn,則?n∈N*,都有an+1=Sn+1-Sn.

(

)××√√2.(人教A版選擇性必修第二冊P8練習T3改編)在數列{an}中,a1=1,an=1+

(n≥2),則a5=

(

)A.

B.

C.

D.

3.(易錯題)已知數列{an}的前n項和Sn滿足Sn=2n+1-1,則數列{an}的通項公式為an=

.D題型一利用Sn和an的關系求通項公式1.已知Sn求an的步驟(1)先利用a1=S1求出a1.(2)用n-1替換Sn中的n,得到一個新的關系式,利用an=Sn-Sn-1(n≥2)便可求出當n≥2時an的

表達式.(3)對n=1時的結果進行檢驗,看是否符合n≥2時an的表達式,若符合,則可以把數列的通

項公式合寫;若不符合,則應該分n=1與n≥2兩段來寫.2.Sn與an關系問題的求解思路根據所求結果的不同要求,將問題向不同的兩個方向轉化.(1)利用an=Sn-Sn-1(n≥2)轉化為只含Sn、Sn-1的關系式,再求解.(2)利用Sn-Sn-1=an(n≥2)轉化為只含an、an-1的關系式,再求解.典例1

記Sn為數列{an}的前n項和.若Sn=2an+1,則S6=

.-63解析

解法一:由Sn=2an+1,得a1=2a1+1,所以a1=-1,當n≥2時,an=Sn-Sn-1=2an+1-(2an-1+1),得an=2an-1,

所以{an}是首項為-1,公比為2的等比數列.所以S6=

=

=-63.解法二:由Sn=2an+1,得S1=2S1+1,∴S1=-1,當n≥2時,由Sn=2an+1得Sn=2(Sn-Sn-1)+1,即Sn=2Sn-1-

1,∴Sn-1=2(Sn-1-1),又S1-1=-2,∴{Sn-1}是首項為-2,公比為2的等比數列,∴Sn-1=-2×2n-1=-2n,

∴Sn=1-2n,∴S6=1-26=-63.變式訓練1-1

(關鍵元素變式)已知數列{an},a1=2,Sn為數列{an}的前n項和,且對任意n≥

2,都有

=1,則{an}的通項公式為

.an=解析

對任意n≥2,都有

=1,則

=1,整理得

-

=

(常數),故數列

是以

為首項,

為公差的等差數列,則

=

,故Sn=

,當n≥2時,an=Sn-Sn-1=-

,當n=1時,不符合上式,故an=

題型二利用遞推關系求數列的通項公式角度1累加法典例2已知數列{an}滿足a1=34,且an+1-an=2n+1,則{an}的通項公式為

.an=n2+33解析

由an+1-an=2n+1(n∈N*),得an-an-1=2(n-1)+1=2n-1(n≥2),an-1-an-2=2n-3,……a2-a1=3,累加可得an-a1=3+5+…+(2n-1)=

=n2-1,又a1=34,∴an=n2-1+34=n2+33(n≥2).當n=1時,a1=34,也滿足上式.∴數列{an}的通項公式為an=n2+33,n∈N*.歸納總結

對于形如

-an=f(n)的數列的遞推關系式,若f(1)+f(2)+…+f(n)可求,則可利用an=a1+(a2-a1)+(a3-a2)+…+(an-

)(n≥2,n∈N*)求解.角度2累乘法典例3在數列{an}中,a1=

且(n+2)an+1=nan,則它的前30項和S30=

(

)A.

B.

C.

D.

A解析

∵(n+2)an+1=nan,∴

=

,∴an=a1·

·

·…·

=

×

×

×…×

=

=

-

,n≥2,∴an=

-

,n≥2,當n=1時,a1=

適合上式,則an=

-

,n∈N*.因此,S30=1-

+

-

+…+

-

=

.故選A.歸納總結

對于形如

=f(n)(an≠0)的數列的遞推關系式,若f(1)·f(2)·…·f(n)可求,則可利用an=a1·

·

·…·

(an≠0,n≥2,n∈N*)求解.角度3構造法用構造法求通項公式的類型及方法.(1)形如an+1=pan+q(其中p,q均為常數,pq(p-1)≠0)的遞推關系式,把原遞推關系式轉化為

an+1-t=p(an-t),其中t=

,然后構造

=p,即{an-t}是以a1-t為首項,p為公比的等比數列.(2)形如an+1=pan+qn(其中p,q均為常數,pq(p-1)≠0)的遞推關系式,要先在遞推關系式兩邊

同除以qn+1,得

=

·

+

,引入輔助數列{bn}

,得bn+1=

·bn+

,再用構造法解決.(3)形如an+1=kan+pn+q(n∈N*)的遞推數列,構造an+1+cn+d=k[an+c(n-1)+d],展開后比較兩邊系數,求出c,d,構造

=k,即數列{an+c(n-1)+d}為等比數列.(4)取倒數法:對an=

(其中n≥2,mkb≠0)取倒數,得到

=

·

?

=

·

+

.令bn=

,則{bn}可歸為bn+1=pbn+q(p≠0,1,q≠0)型.(5)取對數法:對an=p

(其中an>0,p>0,n≥2)兩邊同取常用對數,得lgan=rlgan-1+lgp,令bn=lgan,則{bn}可歸為bn+1=pbn+q(p≠0,1,q≠0)型.典例4數列{an}滿足a1=1,an+1=3an+4,n∈N*,則{an}的通項公式為

.an=3n-2解析

將an+1=3an+4整理得an+1+2=3(an+2),即

=3(常數),又a1+2=3,所以數列{an+2}是以3為首項,3為公比的等比數列.故an+2=3·3n-1=3n,即an=3n-2.變式訓練2-1

(an+1=pan+qn型)(2024上海復旦大學附中期末,8)數列{an}滿足a1=2,an+1=3an

+2n+1,則數列{an}的通項公式為an=

.2(3n-2n)解析

由an+1=3an+2n+1,得

=

·

+1,即

+2=

,又a1=2,

+2=3,所以數列

是首項為3,公比為

的等比數列,因此

+2=3×

,即an=2(3n-2n),所以數列{an}的通項公式為an=2(3n-2n).變式訓練2-2

(an+1=kan+pn+q型)(2024廣東湛江期中,8)在數列{an}中,已知a1=3,且an+1=4an+6n-5(n∈N*),則a15=

(

)A.415-15

B.215-29

C.215-15

D.415-29D解析

因為an+1=4an+6n-5(n∈N*),所以an+1+2n+1=an+1+2(n+1)-1=4(an+2n-1),又a1=3,所以數列{an+2n-1}是以a1+2×1-1=4為首項,4為公比的等比數列,所以an+2n-1=4·4n-1=4n,

所以an=4n-(2n-1),所以a15=415-29.故選D.變式訓練2-3

(an=

型)已知數列{an}滿足a1=1,an+1=

,則數列{anan+1}的前n項和Tn=

(

)A.

B.

C.

D.

B解析

由an+1=

識別出用取倒數法求{an}的通項公式.對an+1=

兩邊同時取倒數得

=

=

+2,∴

-

=2(常數),∴數列

是首項為

=1,公差為2的等差數列,則

=1+2(n-1)=2n-1,∴an=

,∴anan+1=

=

,∴Tn=

=

=

.故選B.變式訓練2-4

(an=p

型)(2024江蘇徐州銅北中學月考,7)已知數列{an}滿足a1=2,an+1=

,則a6的值為

(

)A.220

B.224

C.21024

D.24096C解析

由an+1=

,a1=2,易知an>0,故兩邊取以e為底的對數得lnan+1=4lnan,故{lnan}是首項為lna1=ln2,公比為4的等比數列,所以lnan=4n-1·ln2,則lna6=45ln2=ln

=ln

=ln21024,故a6=21024.故選C.題型三數列的性質角度1數列的單調性典例5

(2024浙江寧波二模,6)已知數列{an}滿足an=λn2-n,對任意n∈{1,2,3}都有an>an+1,

且對任意n∈{x|x≥7,x∈N}都有an<an+1,則實數λ的取值范圍是

(

)A.

B.

C.

D.

C解析

由題意得λ>0.?