4.4 解三角形 課件-2025屆高三數(shù)學(xué)三輪專項(xiàng)復(fù)習(xí)

4.4解三角形考點(diǎn)1正弦定理、余弦定理

正弦定理余弦定理內(nèi)容

=

=

=2Ra2=b2+c2-2bccosA;b2=a2+c2-2accosB;c2=a2+b2-2abcosC變形公式a∶b∶c=sinA∶sinB∶sinC;a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC;sinA=

,sinB=

,sinC=

;

=2RcosA=

;cosB=

;cosC=

考點(diǎn)2解三角形及其綜合應(yīng)用1.在△ABC中,已知a,b和A,解的情況如下:

A為銳角A為鈍角或

直角

圖形

關(guān)系式a<bsinAa=bsinAbsinA<a<ba≥ba>ba≤b解的個(gè)數(shù)無解一解兩解一解一解無解2.三角形中常用的結(jié)論(1)在△ABC中,大角對(duì)大邊,大邊對(duì)大角,如:a>b?A>B?sinA>sinB.(2)有關(guān)三角形內(nèi)角的常用三角恒等式:sin(A+B)=sinC;cos(A+B)=-cosC;tan(A+B)=-tanC

;sin

=cos

;cos

=sin

.(3)在斜△ABC中,tanA+tanB+tanC=tanA·tanBtanC.(4)三角形中的射影定理:a=bcosC+ccosB,b=acosC+ccosA,c=acosB+bcosA.3.三角形的面積公式設(shè)△ABC的三邊為a,b,c,所對(duì)的三個(gè)內(nèi)角分別為A,B,C,其面積為S,△ABC的外接圓半徑

為R,內(nèi)切圓半徑為r.(1)S=

ah(h為BC邊上的高);(2)S=

absinC=

acsinB=

bcsinA;(3)S=

(a+b+c)r(r為△ABC內(nèi)切圓的半徑);(4)S=

.4.實(shí)際問題中的常用角(1)仰角和俯角:與目標(biāo)視線在同一鉛垂平面內(nèi)的水平線和目標(biāo)視線的夾角,目標(biāo)視線在

水平線上方的角叫仰角,目標(biāo)視線在水平線下方的角叫俯角(如圖a).(2)方位角:方位角是指從某點(diǎn)的正北方向順時(shí)針轉(zhuǎn)到目標(biāo)方向線的水平角,如B點(diǎn)的方位角為α(如圖b).(3)坡角:坡面與水平面所成的銳二面角.即練即清1.判斷正誤.(對(duì)的打“√”,錯(cuò)的打“?”)(1)在△ABC中,若A∶B∶C=1∶2∶3,則a∶b∶c=1∶2∶3.

(

)(2)在△ABC中,若b2+c2>a2,則此三角形是銳角三角形.

(

)(3)勾股定理是余弦定理的特例,余弦定理是勾股定理的推廣.

(

)(4)在△ABC中,已知a,b,A,則三角形有唯一解.

(

)××√×2.已知銳角三角形ABC中,內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,△ABC的面積為

ab,則C=

.3.在△ABC中,內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別是a,b,c,若3(a-c)2=3b2-2ac,則cosB的值為

.4.如圖所示,D、C、B在地平面同一直線上,DC=10m,從D、C兩地測得A點(diǎn)的仰角分別

為30°和45°,則A點(diǎn)到地面的距離AB=

m.

題型一利用正、余弦定理解三角形角度1利用正、余弦定理求基本量典例1

(2025屆江蘇泰州中學(xué)開學(xué)調(diào)研,13)在△ABC中,a,b,c分別為內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊,

若

sin(A+B)=sinA+sinB,cosC=

,且S△ABC=1,則c=

.2解析

因?yàn)閏osC=

,則C∈

,所以sinC=

=

,又因?yàn)镾△ABC=1,所以

absinC=

ab×

=1,解得ab=

.由

sin(A+B)=

sinC=sinA+sinB(根據(jù)誘導(dǎo)公式和三角形內(nèi)角和定理可知sin(A+B)=sinC)及正弦定理,可得

c=a+b,由余弦定理可得c2=a2+b2-2abcosC=a2+b2-2×

ab=(a+b)2-

ab=3c2-8,整理得c2=4,即c=2.方法總結(jié)

三角形中基本量計(jì)算的解題技巧在處理三角形中的邊角關(guān)系時(shí),一般全部化為角的關(guān)系或全部化為邊的關(guān)系.若出現(xiàn)的

是一次式,則一般采用正弦定理,若出現(xiàn)邊的二次式,則一般采用余弦定理.若已知條件

同時(shí)含有邊和角,但不能直接使用正弦定理或余弦定理得到答案,要選擇“邊化角”或

“角化邊”.變式訓(xùn)練1-1

(關(guān)鍵元素變式)(2024安徽蚌埠三模,4)在△ABC中,角A,B,C的對(duì)邊分別

為a,b,c,已知a=acosB+bcosA=1,sinC=

,則(

)A.b=1

B.b=

C.c=

D.c=

B解析

因?yàn)閍=acosB+bcosA,所以由正弦定理可得sinA=sinAcosB+sinBcosA,即sinA=sin(A+B)=sinC,又sinC=

,所以sinA=

,因?yàn)锳,C∈(0,π)且A+C∈(0,π),所以A=C=

,所以B=

,又a=1,所以c=1,b=

=

.故選B.小題巧解

根據(jù)三角形中的射影定理:c=acosB+bcosA求解.因?yàn)閍=acosB+bcosA=1,所以有a=c=1,所以三角形ABC是等腰三角形,sinC=sinA=

,故A=C=

,則B=

,所以b=

.變式訓(xùn)練1-2

(設(shè)問條件變式)(2024安徽A10名校聯(lián)盟聯(lián)考,6)在△ABC中,內(nèi)角A,B,C的

對(duì)邊分別為a,b,c,若a=c,且

=2(1+

sinB),則B=

(

)A.

B.

C.

D.

D解析

由

=2(1+

sinB)及正弦定理得

=2(1+

sinB),即b2=2a2(1+

sinB),由a=c及余弦定理可得b2=a2+c2-2accosB=2a2(1-cosB),∴2a2(1+

sinB)=2a2(1-cosB),∴

sinB=-cosB,∴tanB=-

.又0<B<π,∴B=

.故選D.角度2三角形形狀的判斷典例2

(2024河北保定一中月考,2)在△ABC中,內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,若acosA?

cosB+bcos2A=acosA,則△ABC的形狀是(

)A.直角三角形

B.等腰三角形C.等腰直角三角形

D.等腰或直角三角形D解析

解法一:邊化角根據(jù)正弦定理及題意得sinA·cosAcosB+sinBcos2A=sinAcosA,所以(sinAcosB+sinBcosA-sinA)cosA=0,所以[sin(A+B)-sinA]cosA=0,所以[sin(π-C)-sinA]cosA=0,即(sinC-sinA)cosA=0,所以sinC=sinA或cosA=0,(注意有兩種情況)所以c=a或A=

,即△ABC的形狀是等腰或直角三角形.故選D.解法二:角化邊因?yàn)閍cosAcosB+bcos2A=acosA,所以cosA(acosB+bcosA-a)=0,則當(dāng)cosA=0時(shí),A=

,當(dāng)acosB+bcosA-a=0時(shí),由余弦定理的推論得a×

+b×

=a,所以有2c2=2ac,即a=c.綜上,c=a或A=

,所以△ABC的形狀是等腰或直角三角形.故選D.歸納總結(jié)

三角形形狀的判斷方法

易錯(cuò)警示

1.判斷三角形形狀要對(duì)所給的邊角關(guān)系式進(jìn)行轉(zhuǎn)化,使之變?yōu)橹缓吇蛑?/p>

含角的式子進(jìn)行判斷,注意不要輕易兩邊同除以一個(gè)式子.2.在判斷三角形形狀時(shí)一定要注意解是否唯一,并注意挖掘隱含條件.另外,在變形過程

中要注意角A,B,C的范圍對(duì)三角函數(shù)值的影響.變式訓(xùn)練1-3

(關(guān)鍵元素變式)(2024江蘇南通如皋中學(xué)開學(xué)考,7)在△ABC中,若a-ccosB

=b-ccosA,則△ABC的形狀是

(

)A.等腰三角形

B.直角三角形C.等腰直角三角形

D.等腰或直角三角形D解析

由a-ccosB=b-ccosA,得a-c×

=b-c×

,(用余弦定理角化邊)化簡得

=

,當(dāng)a2+b2-c2=0,即a2+b2=c2時(shí),△ABC為直角三角形;當(dāng)a2+b2-c2≠0時(shí),得a=b,則△ABC為等腰三角形.綜上,△ABC為等腰或直角三角形.故選D.角度3三角形中的最值和范圍問題1.三角形中的最值、范圍問題的解題策略(1)定基本量:根據(jù)題意畫出圖形,找出三角形中的邊、角,利用正弦、余弦定理求出相

關(guān)的邊、角,并選擇邊、角作為基本量,確定基本量的范圍.(2)構(gòu)建函數(shù):根據(jù)正弦、余弦定理或三角恒等變換,將所求范圍的變量表示成函數(shù)形

式.(3)求最值:利用基本不等式或函數(shù)的單調(diào)性等求函數(shù)的最值.2.求解三角形中的最值、范圍問題的注意點(diǎn)(1)涉及求范圍的問題,一定要搞清變量的范圍;若已知邊的范圍,求角的范圍可利用余

弦定理進(jìn)行轉(zhuǎn)化.(2)注意題目中的隱含條件,如A+B+C=π,0<A<π,|b-c|<a<b+c,三角形中大邊對(duì)大角等.典例3

(2020課標(biāo)Ⅱ理,17,12分)△ABC中,sin2A-sin2B-sin2C=sinBsinC.(1)求A;(2)若BC=3,求△ABC周長的最大值.解析

(1)由正弦定理和已知條件得BC2-AC2-AB2=AC·AB,∴cosA=

=-

.∵A∈(0,π),∴A=

.(2)解法一:利用正弦定理將邊化為角由正弦定理及(1)得

=

=

=2

,從而AC=2

sinB,AB=2

sin(π-A-B)=3cosB-

sinB.故BC+AC+AB=3+

sinB+3cosB=3+2

sin

.又0<B<

,所以當(dāng)B=

時(shí),△ABC周長取得最大值3+2

.解法二:利用余弦定理和基本不等式求解設(shè)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,∵a=3,A=

,又a2=b2+c2-2bccosA,∴9=b2+c2+bc=(b+c)2-bc≥(b+c)2-

(b+c)2,∴b+c≤2

(當(dāng)且僅當(dāng)b=c時(shí),“=”成立),則△ABC周長的最大值為3+2

.變式訓(xùn)練1-4

(條件設(shè)問變式)(2024山東濟(jì)寧一中模擬,15)在銳角△ABC中,角A,B,C的

對(duì)邊分別為a,b,c,

(acosC+ccosA)=2bsinB.(1)求角B的值;(2)若b=2

,求a2+c2的取值范圍.解析

(1)因?yàn)?/p>

(acosC+ccosA)=2bsinB,所以由正弦定理可得

(sinAcosC+sinCcosA)=2sinBsinB,所以

sin(A+C)=

sinB=2sinBsinB,又sinB≠0,所以sinB=

,又B為銳角,則B=

.(2)由正弦定理得

=

=

=

=4,則a=4sinA,c=4sinC,所以a2+c2=16sin2A+16sin2C=8(1-cos2A)+8(1-cos2C)=16-8cos2A-8cos2C=16-8cos2A-8cos

=16-8cos2A-8

=16+4

sin2A-4cos2A=16+8sin

,因?yàn)椤鰽BC是銳角三角形,所以

解得

<A<

,所以

<2A-

<

,則

<sin

≤1,20<16+8sin

≤24,所以a2+c2的取值范圍為(20,24].變式訓(xùn)練1-5

(逆反條件變式)設(shè)△ABC的內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c(a,b,c∈N*),

若

=

.(1)求

的值;(2)若a<b且三個(gè)內(nèi)角中最大角是最小角的兩倍,當(dāng)△ABC周長取最小值時(shí),求△ABC的

面積.解析

(1)因?yàn)?/p>

=

,所以sinA+sinAcosB=2sinB-cosAsinB.因?yàn)镃=π-(A+B),所以sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB,所以sinA+sinC=2sinB,由正弦定理

=

=

,得a+c=2b,即

=2.(2)由a+c=2b可得c-b=b-a>0,故c>b>a,于是C=2A,由

=

及cosA=

可得

=

=2cosA=

=

=

=

=

=

,解得c=a(舍)或c=

a,故b=

a,因?yàn)閍,b,c∈N*,所以當(dāng)a=4時(shí),△ABC的周長最小,此時(shí)a=4,b=5,c=6,cosA=

=

,所以sinA=

=

,所以△ABC的面積為

bcsinA=

×5×6×

=

.變式訓(xùn)練1-6

(命題推廣變式)(2024山東泰安新泰一中模擬,17)在△ABC中,角A,B,C所

對(duì)的邊分別為a,b,c.若2a+bcosA-c=btanBsinA.(1)求B;(2)若△ABC為銳角三角形,求

的取值范圍.解析

(1)因?yàn)?a+bcosA-c=btanBsinA,所以

=tanBsinA-cosA=

=-

=

,所以2acosB-ccosB=bcosC,即2acosB=bcosC+ccosB,由正弦定理得2sinAcosB=sinBcosC+cosBsinC=sin(B+C)=sinA,因?yàn)?<A<π,所以sinA

≠0,cosB=

,又0<B<π,所以B=

.(2)因?yàn)椤鰽BC為銳角三角形,B=

,所以0<C<

,且0<

-C<

,所以C∈

.解法一:

=

=

×

+

=

·

+

=

·

+

,因?yàn)镃∈

,所以

∈

,tan

∈(2-

,1),所以

·